Диссертация (Генерация, передача и хранение широкополосного яркого излучения в квантовой оптике и квантовой информатике), страница 14

Ñæàòèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòîòíîçàâèñèìûì - îíî ìàêñèìàëüíî äëÿ íóëåâîé ÷àñòîòû, óáûâàåò ïðèåå óâåëè÷åíèè è ôàêòè÷åñêè ïðîïàäàåò íà ÷àñòîòàõ áîëüøèõ ñïåêòðàëüíîé øèðèíûñèãíàëüíîé ìîäû. Êðîìå òîãî ñæàòèå çàâèñèò îò ïàðàìåòðà µ: îíî òåì áîëüøå, ÷åìáëèæå ðåæèì ãåíåðàöèè ÂÏÃÑ ê ïîðîãó. ×òî êàñàåòñÿ ïîëÿ íàêà÷êè, äëÿ íåãî òàêæå íàáëþäàåòñÿ ôàçîâîå ñæàòèå, îäíàêî îíî ñòîëü íåâåëèêî, ÷òî íå ïðåäñòàâëÿåòïðàêòè÷åñêîãî èíòåðåñà.92Ãëàâà 33.1.5 Íàñêîëüêî áëèçêî âîçìîæíî "ïîäîéòè"ê ïîðîãó?Òàê êàê õîðîøåå ñæàòèå, êàê ìû óáåäèëèñü, íàáëþäàåòñÿ âáëèçè ïîðîãà ãåíåðàöèèÂÏÃÑ, òî åñòåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ ñêîëü áëèçêèå ê ïîðîãó ãåíåðàöèè çíà÷åíèÿ µ ìû ìîæåì îáñóæäàòü.

Êàê ìû ïîêàæåì, ýòîò âîïðîñ îïðåäåëÿåòñÿ â ïåðâóþî÷åðåäü ýêñïåðèìåíòàëüíûìè âîçìîæíîñòÿìè, îäíàêî ïðåæäå ÷åì ñäåëàòü ýòîò âûâîä ìû äîëæíû ðàññìîòðåòü âîçìîæíûå îãðàíè÷åíèÿ, ñâÿçàííûå ñ ïðèìåíèìîñòüþèñïîëüçóåìûõ ìåòîäîâ.Êàê ìû ïîìíèì, íàøå ðåøåíèå îãðàíè÷åíî ðàìêàìè ïðèìåíèìîñòè ìåòîäà ìàëûõ ôîòîííûõ ôëóêòóàöèé. Òàê êàê ôëóêòóàöèè âáëèçè ïîðîãà ãåíåðàöèè ìîãóòíàðàñòàòü, òî íåîáõîäèìî âûÿñíèòü, êàêîâ õàðàêòåð ýòîãî ðîñòà.Ìû ïîêàæåì çäåñü, ÷òî äàæå ïðè äîñòèæåíèè çíà÷èòåëüíîãî ñæàòèÿ â ôàçîâîéêâàäðàòóðå (è ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàñòÿæåíèÿ àìïëèòóäíîé êâàäðàòóðû ïîëÿ), ýòîîãðàíè÷åíèå íå ÿâëÿåòñÿ ïðèíöèïèàëüíûì äëÿ ðàáîòû ñ âûñîêîäîáðîòíûìè ðåçîíàòîðàìè.Äëÿ îöåíêè ïðèìåíèìîñòè òåîðèè îïðåäåëèì äèñïåðñèè ðàñòÿíóòûõ êâàäðàòóðïîëÿ íàêà÷êè è ñèãíàëüíîãî ïîëÿ, ïðîèíòåãðèðîâàâ ïî ÷àñòîòå ñîîòâåòñòâóþùèåâíóòðèðåçîíàòîðíûå ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè (3.34), (3.36):∫κp + κ1(δx̂2p )ω dω ==2π4κp∫2(µ − 1)(κp + κ) + κp1(δx̂2 )ω dω =,⟨δx̂2 ⟩ =2π8(µ − 1)κp⟨δx̂2p ⟩(3.47)(3.48)Ïðè κp ≫ κ è â ðåæèìå ãåíåðàöèè ÂÏÃÑ âûøå ïîðîãà (µ > 1) âûðàæåíèÿ óïðîùàþòñÿ:1411⟨δx̂2 ⟩ = +.4 8(µ − 1)⟨δx̂2p ⟩ =(3.49)(3.50)Âèäíî, ÷òî äëÿ ïîëÿ íàêà÷êè óñëîâèå ìàëîñòè ôëóêòóàöèé âûïîëíÿåòñÿ, à ïðè óäî-Èñòî÷íèêè øèðîêîïîëîñíîãî ñæàòîãî ñâåòà93âëåòâîðåíèè óñëîâèÿ κp ≫ κ âíóòðèðåçîíàòîðíîå ñîñòîÿíèå ïîëÿ íàêà÷êè ñòàíîâèòñÿêîãåðåíòíûì (íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå äèñïåðñèÿ ôàçîâîé êâàäðàòóðûïîëÿ íàêà÷êè òàêæå ðàâíà 1/4).

Âûðàæåíèå (3.50) íåîáõîäèìî ñðàâíèòü ñî ñðåäíèì÷èñëîì ôîòîíîâ â ñèãíàëüíîé ìîäå. Ïîëó÷åííûå íàìè ðåøåíèÿ ñïðàâåäëèâû äî òåõïîð, ïîêà⟨δx̂2 ⟩ ≪ n,(3.51)êîòîðîå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:µ−1≫1.8n(3.52)Äëÿ âûñîêîäîáðîòíîãî ðåçîíàòîðà ñðåäíåå ÷èñëî ôîòîíîâ ïðè ïàðàìåòðè÷åñêîé ãåíåðàöèè îáû÷íî ñîñòàâëÿåò n ∼ 109 , òàê ÷òî ýòî óñëîâèå î÷åâèäíî âûïîëíÿåòñÿ äëÿëþáûõ ðåàëüíûõ çíà÷åíèé µ è ðàññìàòðèâàåìûé ïîäõîä ïðèìåíèì. Òàê êàê óñëîâèå (3.52) ÿâëÿåòñÿ î÷åíü "ìÿãêèì" îãðàíè÷åíèåì çíà÷åíèé µ, à çíà÷èò è ñòåïåíèñæàòèÿ ôàçîâîé êâàäðàòóðû âûõîäíîãî èçëó÷åíèÿ, òî íàì ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè, ïîêàçûâàþùèìè âîçìîæíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ê ïîðîãó ãåíåðàöèè.

Çíà÷åíèÿ µ, ôèãóðèðóþùèå â ýêñïåðèìåíòàõ, ñîñòàâëÿþò íà ñåãîäíÿµ − 1 ∼ 0.1 [114]. Èìåííî ýòî çíà÷åíèå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü êàê îöåíî÷íîå â èíôîðìàöèîííûõ ïðèëîæåíèÿõ.3.2Òåîðèÿ îäíîìîäîâîãî ñóáïóàññîíîâñêîãî ëàçåðàñ çàõâàòîì ôàçûÏåðâàÿ èç ðàáîò, ïîñâÿùåííûõ òåîðèè ñóáïóàññîíîâñêîãî ëàçåðà [28] áûëà îïóáëèêîâàíà 30 ëåò íàçàä. Àâòîðû, ñòðîèëè ìîäåëü, îñíîâûâàÿñü íà øèðîêî èçâåñòíîìïîäõîäå Ëýìáà-Ñêàëëè [115] â òåðìèíàõ óðàâíåíèÿ äëÿ ïîëåâîé ìàòðèöû ïëîòíîñòè.Ñïóñòÿ äâà ãîäà èõ èäåÿ áûëà ðåàëèçîâàíà ýêñïåðèìåíòàëüíî [30] â ïîëóïðîâîäíèêîâîì ëàçåðå. Íà ñåãîäíÿ, íàèëó÷øèå ðåçóëüòàòû ïî ïîäàâëåíèþ øóìà íèæå êâàí-94Ãëàâà 3òîâîãî ïðåäåëà óäàåòñÿ äîñòè÷ü â íèçêîðàçìåðíûõ ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ëàçåðàõ (â÷àñòíîñòè, â âèêñåëàõ, ðàññìîòðåííûõ â Ãëàâå 1).Ñóáïóàññîíîâñêèå ëàçåðû íå ïîëó÷èëè øèðîêîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ â êâàíòîâûõèíôîðìàöèîííûõ ïðèëîæåíèÿõ â ñèëó ýôôåêòà ôàçîâîé äèôôóçèè, ïðèñóùåãî äàííûì èñòî÷íèêàì èçëó÷åíèÿ.

Ñëó÷àéíûé íàáåã ôàçû äåëàåò íåâîçìîæíûì íàáëþäåíèå êâàäðàòóðíîãî ñæàòèÿ, ÷òî ñóùåñòâåííî îãðàíè÷èâàåò âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿëàçåðîâ â êâàíòîâûõ ñõåìàõ.Îäíîé èç âîçìîæíîñòåé ïîäàâèòü ôàçîâóþ äèôôóçèþ ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèåâíåøíåãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â êîãåðåíòíîì ñîñòîÿíèè [116, 117]. Òàêîé ïîäõîäáûë èñïîëüçîâàí â ðàáîòå [118], ãäå àâòîðàìè ðåøàåòñÿ çàäà÷à î ãåíåðàöèè ñæàòîãîñâåòà â öåïè îáðàòíîé ñâÿçè. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è èìè âûáðàí àïïàðàò ïîñòðîåíèÿ óðàâíåíèÿ äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Âèãíåðà.

È õîòÿ îñíîâíîå âíèìàíèå âðàáîòå ñîñðåäîòî÷åíî íà èññëåäîâàíèè ðîëè îáðàòíîé ñâÿçè, íåêîòîðûå èç ïîëó÷åííûõ òàì ðåçóëüòàòîâ ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ è â ñâåòå äàííîãî îáñóæäåíèÿ.Äâå ïðè÷èíû ïîáóæäàþò íàñ îïÿòü ïåðåôîðìóëèðîâàòü êâàíòîâóþ òåîðèþ ëàçåðà ñ çàõâàòîì ôàçû. Ïðåæäå âñåãî, íàì áû õîòåëîñü ïîñòðîèòü òåîðèþ, ïðèìåíèìóþ íå òîëüêî ê ãàçîâûì, íî è ê ïîëóïðîâîäíèêîâûì ëàçåðàì, ïîñêîëüêó èìåííîîíè ïðåäñòàâëÿþò íàèáîëüøèé èíòåðåñ äëÿ êâàíòîâîé îïòèêè è êâàíòîâîé òåîðèèèíôîðìàöèè. (Èçâåñòíî, ÷òî òåîðåòè÷åñêèé ïîäõîä, îñíîâàííûé íà ïîñòðîåíèè îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ïðèìåíèì òîëüêî äëÿ ãàçîâûõ ëàçåðîâ, ãäå ñïåêòðàëüíàÿ øèðèíàìîäû ðåçîíàòîðà ìíîãî ìåíüøå, ÷åì âðåìÿ ðåëàêñàöèè àòîìíîé ñðåäû [119].) Ìûñôîðìóëèðóåì òåîðèþ â òåðìèíàõ óðàâíåíèé Ãàéçåíáåðãà-Ëàíæåâåíà.

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ãàéçåíáåðãîâ ôîðìàëèçì ê òîìó æå íàèáîëåå óäîáåí äëÿ äàëüíåéøåãîâêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêîâ â èíôîðìàöèîííûå ïðîòîêîëû.Êðîìå òîãî, òðåáóåò îáñóæäåíèÿ âîïðîñ î ñîâìåñòèìîñòè òðåáîâàíèé ê âíåøíåìóñèíõðîíèçèðóþùåìó ïîëþ. Ñ îäíîé ñòîðîíû îíî äîëæíî áûòü äîñòàòî÷íî ñëàáûì,Èñòî÷íèêè øèðîêîïîëîñíîãî ñæàòîãî ñâåòà√kαin95â, â†|1i|2iγ1γ2Ðèñ. 3.1: Îäíîìîäîâûé ëàçåð ñ çàõâàòîì ôàçû.÷òîáû íå íàâÿçàòü ñîáñòâåííóþ êîãåðåíòíóþ ñòàòèñòèêó èçëó÷åíèþ ëàçåðà è íå ðàçðóøèòü åãî êâàíòîâûå îñîáåííîñòè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîëå äîëæíî îáåñïå÷èòü ýôôåêòèâíûé çàõâàò ôàçû, è íåîáõîäèìî âûÿñíèòü, âîçìîæíî ëè ðåàëèçîâàòü çàõâàòôàçû íå ðàçðóøèâ ñòàòèñòèêó.

Äàííûé âîïðîñ íå îáñóæäàëñÿ ðåíåå.3.2.1 Ôèçè÷åñêàÿ ìîäåëü è óðàâíåíèÿ Ãàéçåíáåðãà-ËàíæåâåíàÏðåæäå âñåãî îïðåäåëèì ôèçè÷åñêóþ ìîäåëü ëàçåðà, íà êîòîðîé áóäåò îñíîâûâàòüñÿ íàøå îáñóæäåíèå (ñì ðèñ. 3.1). Îñíîâíûå ýëåìåíòû ìîäåëè íå îòëè÷àþòñÿ îòðàññìàòðèâàåìûõ îáû÷íî ïðè îáñóæäåíèè ëàçåðíîé òåîðèè Ãàéçåíáåðãà-Ëàíæåâåíà[70, 71, 120]. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âûñîêîäîáðîòíûé ðåçîíàòîð ïîääåðæèâàåò òîëüêîîäíó ëàçåðíóþ ìîäó, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ îïåðàòîðàìè ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿôîòîíîâ ↠è â, ïîä÷èíÿþùèìèñÿ êàíîíè÷åñêèì ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì[ †]â, â = 1. Îäíî èç çåðêàë ðåçîíàòîðà ïðåäïîëàãàåòñÿ ÷àñòè÷íî ïðîçðà÷íûì, ÷òîäàåò âîçìîæíîñòü ëàçåðíîìó èçëó÷åíèþ ïîêèíóòü ðåçîíàòîð; ýòîò ñâåò ðåãèñòðèðóåòñÿ ôîòîïðèåìíèêîì.Àêòèâíàÿ ëàçåðíàÿ ñðåäà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê àíñàìáëü íåâçàèìîäåéñòâóþùèõäâóõóðîâíåâûõ àòîìîâ; ñîñòîÿíèå |1⟩ ñîîòâåòñòâóåò âåðõíåìó ëàçåðíîìó óðîâíþ, ñîñòîÿíèå |2⟩ - íèæíåìó.

Äëÿ óïðîùåíèÿ ìîäåëè ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî àòîìíûéïåðåõîä ìåæäó ýòèìè óðîâíÿìè íàõîäèòñÿ â òî÷íîì ðåçîíàíñå ñ ìîäîé ðåçîíàòîðà.Âðåìåíà æèçíè àòîìíûõ ñîñòîÿíèé îïðåäåëÿþòñÿ ñêîðîñòÿìè ñïîíòàííîãî ðàñïàäà96Ãëàâà 3γ1 è γ2 . Íàèáîëåå èíòåðåñíûì ñ òî÷êè çðåíèÿ êâàíòîâîé ñòàòèñòèêè èçëó÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå êîíñòàíò γ1 ≪ γ2 [28].Èìåÿ ââèäó äàííóþ ìîäåëü ëàçåðà, ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ ÃàéçåíáåðãàËàíæåâåíà:κâ˙ = − (â − ain ) + g P̂ + F̂a ,2˙P̂ = −γ⊥ P̂ + g(N̂1 − N̂2 )â + F̂p ,(3.53)˙N̂1 = R − γ1 N̂1 − g(↠P̂ + âP̂ † ) + F̂1 ,(3.55)˙N̂2 = −γ2 N̂2 + g(↠P̂ + âP̂ † ) + F̂2 .(3.56)(3.54)Çäåñü â è ↠- îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ è ðîæäåíèÿ ôîòîíîâ, óïîìÿíóòûå âûøå, P̂- îïåðàòîð ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ êîëëåêòèâíîé àòîìíîé ïîëÿðèçàöèè íà ëàçåðíîìïåðåõîäå, N̂1 è N̂2 - îïåðàòîðû çàñåëåííîñòåé ñîîòâåòñòâóþùèõ àòîìíûõ ñîñòîÿíèé.Êðîìå òîãî â óðàâíåíèÿõ ïðèñóòñòâóþò ñëåäóþùèå êîíñòàíòû: ñïåêòðàëüíàÿ øèðèíàìîäû ðåçîíàòîðà κ, êîíñòàíòà ñâÿçè g , ñêîðîñòè ñïîíòàííîãî ðàñïàäà γ1 è γ2 , ñêîðîñòüïîïåðå÷íîé ðåëàêñàöèè γ⊥ , è ñêîðîñòü íåêîãåðåíòíîé íàêà÷êè íà âåðõíèé ëàçåðíûéóðîâåíü R.Íåîäíîðîäíûé ÷ëåí â ïåðâîì óðàâíåíèè κain /2, êîòîðûé ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäåain =√nin eiφin ,(3.57)îáåñïå÷èâàåò êîãåðåíòíîå âîçáóæäåíèå ëàçåðíîé ìîäû âíåøíèì êëàññè÷åñêèì ïîëåì,òàêîå ÷òî âíóòðèðåçîíàòîðíàÿ àìïëèòóäà ðàâíà ain .Êðîìå ÷ëåíà ain ñèñòåìà óðàâíåíèé (7.46)-(7.49) ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ ïîëó÷åííûìè â ðàáîòàõ [70, 71, 120].

Îòìåòèì, ÷òî çàïèñàííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ïîçâîëÿåòòàêæå ó÷åñòü àäèàáàòè÷åñêè ìåäëåííîå èçìåíåíèå ôàçû ñèíõðîíèçèðóþùåãî ïîëÿ,ïîëàãàÿ φin = φin (t). Íàì äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû óøèðåíèå, ñâÿçàííîå ñÈñòî÷íèêè øèðîêîïîëîñíîãî ñæàòîãî ñâåòà97äèôôóçèåé ôàçû, áûëî ìíîãî ìåíüøå, ÷åì κ, ÷òî îáû÷íî âûïîëíÿåòñÿ íà ïðàêòèêå,îñîáåííî äëÿ ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ëàçåðîâ, òàêèõ êàê âèêñåë.Íåîäíîðîäíûå ÷ëåíû F̂ , ïðèñóòñòâóþùèå â óðàâíåíèÿõ (7.46)-(7.49), îòâå÷àþòøóìîâûì ïðîöåññàì â ëàçåðíîé ñèñòåìå. Îíè âîçíèêàþò èç-çà âçàèìîäåéñòâèÿ ðåçîíàòîðíîãî ïîëÿ è àòîìîâ ñî ñâîèìè Ëàíæåâåíîâñêèìè ðåçåðâóàðàìè, êîòîðûå äëÿîáåèõ ïîäñèñòåì ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîíòèíóóì ìîä â âàêóóìíîì ñîñòîÿíèè. Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ýòèõ îïåðàòîðîâ ðàâíû íóëþ, è îíè îïðåäåëÿþòñÿ ñâîèìè ïàðíûìè êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ýéíøòåéíà, ìîæíî çàïèñàòü íåíóëåâûå ïàðíûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè:⟨F̂a (t)F̂a† (t′ )⟩ = κ δ(t − t′ ),(3.58)⟨F̂1 (t)F̂1 (t′ )⟩ = [γ1 ⟨N1 ⟩ + R(1 − p)] δ(t − t′ ),(3.59)⟨F̂2 (t)F̂2 (t′ )⟩ = γ2 ⟨N2 ⟩ δ(t − t′ ),(3.60)⟨F̂p† (t)F̂p (t′ )⟩ = [(2γ⊥ − γ1 )⟨N1 ⟩ + R] δ(t − t′ ),(3.61)⟨F̂p (t)F̂p† (t′ )⟩ = (2γ⊥ − γ2 )⟨N2 ⟩ δ(t − t′ ),(3.62)⟨F̂p (t)F̂1 (t′ )⟩ = γ1 ⟨P ⟩ δ(t − t′ )(3.63)⟨F̂2 (t)F̂p (t′ )⟩ = γ2 ⟨P ⟩ δ(t − t′ ).(3.64)Êàê ïîêàçàíî â ðàáîòàõ [70, 71, 120], äàííàÿ ìîäåëü ïîçâîëÿåò ââåñòè ñòàòèñòèêó íàêà÷êè.

Åå ìîæíî ñìîäåëèðîâàòü, ââîäÿ ðàñïðåäåëåíèå ìîìåíòîâ âðåìåíè, â êîòîðûåâîçáóæäåííûå àòîìû ïîïàäàþò â ðåçîíàòîð. Ïðîöåññ ìîäåëèðóåòñÿ îäíèì ïàðàìåòðîì p ≤ 1, çíà÷åíèå p = 1 îòâå÷àåò ðåãóëÿðíîé íàêà÷êå, ïðèâîäÿùåé ê ñóáïóàññîíîâñêîé ñòàòèñòèêå ôîòîíîâ, p = 0 ñîîòâåòñòâóåò ïóàññîíîâñêîé íàêà÷êå, à p < 0 ñóïåð-ïóàññîíîâñêîé ñòàòèñòèêå. äàëüíåéøåì, ÷òîáû îáñóæäàòü ñòàòèñòèêó ôîòîòîêà, íàì ïîíàäîáÿòñÿ íå òîëü-98Ãëàâà 3êî êîððåëÿòîðû (7.50)-(7.54), íî òàêæå èõ íîðìàëüíî óïîðÿäî÷åííûå ñðåäíèå:[]⟨: F̂1 (t)F̂1 (t′ ) :⟩ = γ1 ⟨N̂1 ⟩ − g ⟨↠P̂ + âP̂ † ⟩ + R (1 − p) δ(t − t′ ),(3.65)[]⟨: F̂2 (t)F̂2 (t′ ) :⟩ = γ2 ⟨N2 ⟩ − g ⟨↠P̂ + âP̂ † ⟩ δ(t − t′ ),(3.66)⟨: F̂1 (t)F̂2 (t′ ) :⟩ = g ⟨↠P̂ + âP̂ † ⟩ δ(t − t′ ),(3.67)⟨: F̂p† (t)F̂p (t′ ) :⟩ = [(2γ⊥ − γ1 )⟨N1 ⟩ + R ] δ(t − t′ ),(3.68)⟨: F̂p (t)F̂p (t′ ) :⟩ = 2g ⟨âP̂ ⟩ δ(t − t′ ),(3.69)⟨: F̂p (t)F̂2 (t′ ) :⟩ = γ2 ⟨P ⟩ δ(t − t′ ).(3.70)Çäåñü çàïèñàíû âñå êîððåëÿòîðû îòëè÷íûå îò íóëÿ.