Диссертация (Генерация, передача и хранение широкополосного яркого излучения в квантовой оптике и квантовой информатике), страница 10

 ñèëó ñèììåòðèè çàäà÷è ìû ìîæåìïîëàãàòü ïðè ïîëóêëàññè÷åñêîì ðàññìîòðåíèè αi = αs ≡ α. Êðîìå òîãî, äî òåõ ïîð,ïîêà ìîùíîñòü õîëîñòîé è ñèãíàëüíîé âîëí íåâåëèêà, ìû ìîæåì ïðåíåáðå÷ü âëèÿíèåì ýòèõ âîëí íà âîëíó íàêà÷êè è çàïèñàòü óðàâíåíèÿ äëÿ àìïëèòóäû α â âèäåα̇ = −√√κ(α − N in ) + g Npin α∗ .2(2.12)Çäåñü âèäíî, ÷òî ýíåðãèÿ õîëîñòîé è ñèãíàëüíîé âîëí íà÷èíàåò íàðàñòàòü íåîãðàíè÷åííî, åñëè ìîùíîñòü íàêà÷êè ñòàíîâèòñÿ âûøå ïîðîãîâîé√(√)ininNp >Np=th.κ.2g(2.13) äàëüíåéøåì íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü èìåííî ýòîò ñëó÷àé, äëÿ êîòîðîãî óðàâíåíèå(2.12) îêàçûâàåòñÿ íåïðèåìëåìûì, è ìû äîëæíû ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùóþ ñèñòåìó√κp(αp − Npin ) − gα2 ,2√κα̇ = − (α − N in ) + gαp α∗ .2α̇p = −(2.14)(2.15)Áóäåì èñêàòü ðåøåíèÿ â âèäåαp =√Np ,α=√N,(2.16)Òðåõìîäîâûé ïàðàìåòðè÷åñêèé ãåíåðàòîð ñâåòà61ãäå íóëåâûå ôàçû èñêîìûõ ïîëåé çàäàíû íóëåâûìè ôàçàìè âíåøíèõ âûíóæäàþùèõïîëåé.Ìû áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî âíåøíèå ïîëÿ√N in íàñòîëüêî ìàëû, ÷òî äàþò òîëüêîìàëûé âêëàä â ìîùíîñòü ñèãíàëüíîé è õîëîñòîé âîëí òàê, ÷òî ïàðàìåòð èíæåêöèè√N inµ=(2.17)Nâñåãäà îñòàåòñÿ ìíîãî ìåíüøåé åäèíèöû.

Äâå ïðè÷èíû ïîáóæäàþò íàñ îãðàíè÷èòüñÿñëó÷àåì ìàëûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà èíæåêöèè. Âî-ïåðâûõ, ìû íàìåðåíû èñïîëüçîâàòü û äàëüíåéøåì ìåòîä ëèíåàðèçàöèè, îãðàíè÷èâàÿñü ðàññìîòðåíèåì ìàëûõ ôëóêòóàöèé ÷èñåë ôîòîíîâ, ÷òî áûëî áû íåâîçìîæíî â îáëàñòè áèñòàáèëüíîé ãåíåðàöèè.Êðîìå òîãî, ïðè çíà÷èòåëüíîé èíæåêöèè, ïóàññîíîâñêàÿ ñòàòèñòèêà èíæåêòèðóåìîãîïîëÿ ðàçðóøàëà áû êâàíòîâûå ñâîéñòâà ðåçîíàòîðíîé ìîäû. ðàññìàòðèâàåìûõ ïðèáëèæåíèÿõ ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíûâ âèäå:Np =κ2,4g 2N=κp κ(µp − 1) ,4g 2(2.18)ãäå ìû ââåëè ïàðàìåòð íàêà÷êè µp êàê îòíîøåíèå ìîùíîñòè íàêà÷êè ê åå ïîðîãîâîìóçíà÷åíèþ, êîòîðûé â íàøåì ñëó÷àå âñåãäà áîëüøå åäèíèöû√Npinµp = ( in ) > 1.Np th(2.19) äàëüíåéøåì äëÿ íàñ áóäóò ïîëåçíû òàêæå ðàâåíñòâàg2.3√κNp = (1 − µ),2gNκp√= (µp − 1),2Npκ(1 − µ)N = κp (µp − 1)Np . (2.20)Ëèíåàðèçàöèÿ îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ïî ìàëûì ôëóêòóàöèÿì àìïëèòóä è ôàçÁëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì ïàðàìåòðè÷åñêóþ ãåíåðàöèþ ñ ôàêòîðàìèñèíõðîíèçàöèè, ìû ìîæåì ïîëàãàòü, ÷òî ïðè îïåðèðîâàíèè âûøå ïîðîãà ãåíåðàöèè62Ãëàâà 2îòíîñèòåëüíûå ôëóêòóàöèè àìïëèòóä è ôëóêòóàöèè ôàç àêòóàëüíûõ ïîëåé îêàçûâàþòñÿ ìàëûìè [101].

Çàïèøåì êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû â ôîðìåαm =√um eiφm ,m = p, i, s,(2.21)è ïîòðåáóåì, ÷òîáû âåùåñòâåííûå àìïëèòóäû è ôàçû â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå ñëàáîôëóêòóèðîâàëè îêîëî ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëóêëàññè÷åñêèõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé,ðàññìîòðåííûõ íàìè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:um = Nm + εm ,εm ≪ Nm ,(Ni = Ns ≡ N )φm ≪ 1(2.22)(2.23)Òîãäà, ëèíåàðèçóÿ óðàâíåíèÿ ïî óêàçàííûì ìàëûì âåëè÷èíàì, ìû ìîæåì ôàêòîðèçîâàòü èñõîäíîå ðàñïðåäåëåíèå Ãëàóáåðà â ñëåäóþùåé ôîðìåP (αp , αi , αs , t) = P (εp , ε+ , t)P (ε− , t)P (φp , φ+ , t)P (φ− , t),(2.24)ãäå èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèåε± = εi ± εs ,φ± = φi ± φs(2.25)Äëÿ êàæäîãî èç ñîìíîæèòåëåé ìîæåò áûòü çàïèñàíî ñâîå óðàâíåíèå Ôîêêåðà-Ïëàíêà,îïèñûâàþùåå ñîîòâåòñòâåííî àìïëèòóäíûå è ôàçîâûå ôëóêòóàöèè.

Óðàâíåíèÿ äëÿàìïëèòóäíûõ ðàñïðåäåëåíèé èìåþò âèä∂P (εp , ε+ , t)1 ∂=(κp εp + κ(1 − µ)ε+ ) P (εp , ε+ , t) +∂t2 ∂εp)∂ ( µκ∂2+ε+ − κp (µp − 1)εp P (εp , ε+ , t) + κN (1 − µ) 2 P (εp , ε+ , t), (2.26)∂ε+ 2∂ε+2∂∂∂P (ε− , t)= κ(1 − µ/2)ε− P (ε− , t) − κN (1 − µ) 2 P (ε− , t),(2.27)∂t∂ε−∂ε−Òðåõìîäîâûé ïàðàìåòðè÷åñêèé ãåíåðàòîð ñâåòà63Äëÿ ôàçîâûõ ðàñïðåäåëåíèé óðàâíåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ â âèäå∂P (φp , φ+ , t)κp ∂=(φp + (µp − 1)φ+ ) P (φp , φ+ , t) +(2.28)∂t2 ∂φpκ∂∂2(κ(1 − µ/2)φ+ − κ(1 − µ)φp ) P (φp , φ+ , t) −P (φp , φ+ , t),+(1 − µ)∂φ+4N∂φ2+∂P (φ− , t)κµκ ∂∂2φ− P (φ− , t) +P (φ− , t).(2.29)=(1 − µ)∂t2 ∂φ−4N∂φ2−Ïðåæäå âñåãî ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ôëóêòóàöèè ÷èñëà ôîòîíîâ è ôëóêòóàöèè ôàçû ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìû â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå òðåõìîäîâîãî ðåçîíàíñíîãîâçàèìîäåéñòâèÿ.

Êðîìå òîãî, èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ âèäíî, ÷òî èíæåêöèÿ ïðèâîäèò ê ïîäàâëåíèþ äèôôóçèè ðàçíîñòíîé ôàçû, êàê èçâåñòíî èìåþùåé ìåñòî äëÿâûðîæäåííîé íàäïîðîãîâîé ãåíåðàöèè. Îäíàêî, êàê áûëî îòìå÷åíî âûøå, èíæåêòèðóåìûå ïîëÿ ïîðòÿò êâàíòîâóþ ñòàòèñòèêó èíòåðåñóþùèõ íàñ ìîä. Âîçíèêàåò âîïðîñ, â êàêîé ìåðå âîçìîæíî ñîõðàíèòü êâàíòîâûå êîððåëÿöèè â èññëåäóåìîì ïîëåâ ïðèñóòñòâèè èíæåêöèè, îêàçûâàþùåé íà íèõ îäíîâðåìåííî è ïîëîæèòåëüíîå èîòðèöàòåëüíîå âëèÿíèå.

Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ìû ïîëó÷èì äàëåå, ïåðåõîäÿ îò óðàâíåíèÿ Ôîêêåðà-Ïëàíêà ê óðàâíåíèÿì Ëàíæåâåíà, êîòîðûå çàïèñûâàþòñÿ äëÿ ñàìèõàìïëèòóäíûõ è ôàçîâûõ ôëóêòóàöèé.2.4Âíóòðèðåçîíàòîðíûå ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè øóìîâÇà âíóòðèðåçîíàòîðíûìè ôëóêòóàöèÿìè ïðîùå âñåãî ïðîñëåäèòü, èñïîëüçóÿ íå óðàâíåíèÿ Ôîêêåðà-Ïëàíêà, íî ñîîòâåòñòâóþùèå èì óðàâíåíèÿ Ëàíæåâåíà.

Çàïèøåì èõ,64Ãëàâà 2èñïîëüçóÿ õîðîøî èçâåñòíûå ðåöåïòû ïåðåõîäà, â ôîðìåε̇p = −κp /2 εp − κ/2(1 − µ) ε+ ,(2.30)ε̇+ = −κµ/2 ε+ + κp (µp − 1) εp + f+ (t),(2.31)ε̇− = −κ(1 − µ/2) ε− + f− (t),(2.32)φ̇p = −κp /2 φp − κp /2(µp − 1) φ+ ,(2.33)φ̇+ = −κ(1 − µ/2) φ+ + κ(1 − µ) φp + g+ (t),(2.34)φ̇− = −κµ/2 φ− + g− (t),(2.35)ãäå ñòîõàñòè÷åñêèå èñòî÷íèêè f± , g± îïðåäåëÿþòñÿ ñâîèìè ïàðíûìè êîððåëÿòîðàìè:⟨f+ (t)f+ (t′ )⟩ = 2κN (1 − µ) δ(t − t′ ),(2.36)⟨f− (t)f− (t′ )⟩ = −2κN (1 − µ) δ(t − t′ ),(2.37)⟨g+ (t)g+ (t′ )⟩ = −κ(1 − µ)/(2N ) δ(t − t′ ),(2.38)⟨g− (t)g− (t′ )⟩ = κ(1 − µ)/(2N ) δ(t − t′ ).(2.39)Âñå îñòàëüíûå ïàðíûå êîððåëÿòîðû ðàâíû íóëþ.

Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ (2.30)-(2.35),ìû ñìîæåì ÿâíûì îáðàçîì âûðàçèòü âñå ôëóêòóàöèè ÷åðåç ñòîõàñòè÷åñêèå èñòî÷íèêè. Ýòî äàñò íàì âîçìîæíîñòü ïîñòðîèòü èíòåðåñóþùèå íàñ êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè. Çàïèøåì èõ íå âî âðåìåííîì ïðåäñòàâëåíèè, à â ÷àñòîòíîì, ïîñðåäñòâîì ñîîòâåòñòâóþùèõ Ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèé∫1εm (ω) = √εm (t) eiωt dt,2π ∫1φm (ω) = √φm (t) eiωt dt,2π∫1εm (t) = √εm (ω) e−iωt dω,2π ∫1φm (t) = √φm (ω) e−iωt dω2π(2.40)(2.41)Ïîñêîëüêó ìû ðàññìàòðèâàåì çàäà÷ó ñî ñòàöèîíàðíûìè ñâåòîâûìè ïîòîêàìè, ìûèìååì âîçìîæíîñòü íàïèñàòü ñîîòâåòñòâóþùèå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè â âèäå⟨εm (ω) εm′ (ω ′ )⟩ = (εm εm′ )ω δ(ω + ω ′ ),⟨φm (ω) φm′ (ω ′ )⟩ = (φm φm′ )ω δ(ω + ω ′ ),m, m′ = p, ±,(2.42)Òðåõìîäîâûé ïàðàìåòðè÷åñêèé ãåíåðàòîð ñâåòà65ãäå ìíîæèòåëè ïåðåä δ -ôóíêöèÿìè íàçûâàþò ñïåêòðàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåìåííûõ.

Èç èñõîäíûõ óðàâíåíèé Ëàíæåâåíà (2.30)-(2.35), ïåðåïèñàííûõ ÷åðåç Ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå, ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâîéñòâ èñòî÷íèêîâ (2.36)-(2.39),òàêæå ïåðåïèñàííûõ â Ôóðüå-êàðòèíå, ïîëó÷àþòñÿ ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ àìïëèòóäíûõ ôëóêòóàöèé(ε2+ )ω =2N κ(κ2p + 4ω 2 )(1 − µ),[2ω 2 − κp κ[µ/2 + (µp − 1)(1 − µ)]]2 + ω 2 (κp + κµ)22Np κ2 κp (1 − µ)2 (µp − 1)(ε2p )ω =,[2ω 2 − κp κ[µ/2 + (µp − 1)(1 − µ)]]2 + ω 2 (κp + κµ)22N κ2 κp (1 − µ)(εp ε+ )ω = −,[2ω 2 − κp κ[µ/2 + (µp − 1)(1 − µ)]]2 + ω 2 (κp + κµ)22N κ(1 − µ)(ε2− )ω = − 2,κ (1 − µ/2)2 + ω 2)1( 2(ε2i )ω = (ε2s )ω =(ε+ )ω + (ε2− )ω4(2.43)(2.44)(2.45)(2.46)(2.47)è äëÿ ôàçîâûõ ôëóêòóàöèéκ2 κp (µp − 1)(1 − µ)2,[2ω 2 − κκp [µ/2 + µp (1 − µ)]]2 + ω 2 [κp + 2κ(1 − µ/2)]2κ(κ2p + 4ω 2 )(1 − µ)2N (φ2+ )ω = −,[2ω 2 − κκp [µ/2 + µp (1 − µ)]]2 + ω 2 [κp + 2κ(1 − µ/2)]2κκ2p (µp − 1)(1 − µ),2N (φp φ+ )ω =[2ω 2 − κκp [µ/2 + µp (1 − µ)]]2 + ω 2 [κp + 2κ(1 − µ/2)]2κ(1 − µ)2N (φ2− )ω =.(κµ/2)2 + ω 22Np (φ2p )ω = −(2.48)(2.49)(2.50)(2.51)Íàïîìèíàåì, ÷òî â ñèëó òîãî, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè ýòèõ âåëè÷èí ìû èñïîëüçîâàëèêîãåðåíòíîå ïðåäñòàâëåíèå, òî ïî ñóòè ìû âû÷èñëèëè íå ïðîèçâåäåíèÿ âåëè÷èí, íîèõ íîðìàëüíî óïîðÿäî÷åííûå ïðîèçâåäåíèÿ.

Äàëåå, ðàçóìååòñÿ, íåîáõîäèìî èìåòüýòî ââèäó.66Ãëàâà 22.5Êîððåëÿöèè äëÿ íàáëþäàåìûõ ïîëåé ñíàðóæèðåçîíàòîðàÂåðíåìñÿ ñíîâà ê îïåðàòîðíîé çàïèñè àêòóàëüíûõ àìïëèòóä ïîëÿ âm (t) (m = p, i, s)âíóòðè ðåçîíàòîðà, äëÿ êîòîðûõ èìåþò ìåñòî êàíîíè÷åñêèå ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ[]âm (t), â†n (t) = δmn ,[âm (t), ân (t)] = 0.(2.52)Êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèå âîëíû, âûõîäÿùèå èç ðåçîíàòîðà â ñâîáîäíîå ïðîñòðàíñòâî îïèñûâàþòñÿ îïåðàòîðàìè Âm (t), äëÿ êîòîðûõ êàíîíè÷åñêèå ïåðåñòàíîâî÷íûåñîîòíîøåíèÿ îêàçûâàþòñÿ äðóãèìè[]Âm (t), Ân (t′ )† = δmn δ(t − t′ ),[]Âm (t), Ân (t′ ) = 0.(2.53)Ôèçè÷åñêèé ñìûñë îïåðàòîðîâ âíóòðè è âíå ðåçîíàòîðà òîæå îêàçûâàåòñÿ ðàçíûì.Åñëè ⟨â†m âm ⟩ ýòî ñðåäíåå ÷èñëî ôîòîíîâ, çàïàñåííîå â îáúåìå ðåçîíàòîðà, òî ⟨†m Âm ⟩ýòî ñðåäíèé ïîòîê ôîòîíîâ.Èñïîëüçóÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà âûõîäíîì çåðêàëå, âîçìîæíî íàïèñàòü ðàâåíñòâî, ñâÿçûâàþùåå âûõîäíîå ïîëå èç ðåçîíàòîðà ñ âíóòðèðåçîíàòîðíûì ïîëåì:Âm (t) =()√κm âm (t) − Cm + Âm,vac (t) ,m = p, i, s.(2.54)Çäåñü, êîíå÷íî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðîõîæäåíèå ÷åðåç çåðêàëî íå âûçûâàåò íèêàêèõïîòåðü ïîëÿ.

Âòîðîå ñëàãàåìîå ñïðàâà ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî êàæäàÿ èç âîëí íàêà÷èâàåò√ñÿ èçâíå ïîëÿìè â êîãåðåíòíûõ ñîñòîÿíèÿõ ñî ñðåäíèìè àìïëèòóäàìè Cp = κp Npin /2√äëÿ âîëíû íàêà÷êè è Ci = Cs = κN in /2 äëÿ ñèãíàëüíîé è õîëîñòîé âîëí. Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ âûõîäíîãî çåðêàëà ïðåäïîëàãàåòñÿ ðàâíûì 1.Äëÿ âàêóóìíûõ ôëóêòóàöèé, êàê äëÿ ëþáîãî ïîëÿ ñíàðóæè ðåçîíàòîðà, èìåþòìåñòî ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ âèäà][Âm,vac (t), Ân,vac (t′ )† = δmn δ(t − t′ ),[]Âm,vac (t), Ân,vac (t′ ) = 0.(2.55)Òðåõìîäîâûé ïàðàìåòðè÷åñêèé ãåíåðàòîð ñâåòà67Ïåðåïèøåì ðàâåíñòâî (2.54), çàïèñàííîå äëÿ àìïëèòóä àêòóàëüíûõ ïîëåé, äëÿ ôëóêòóàöèé ïîëåé δ Âm = Âm − ⟨Âm ⟩ è δâm = âm − ⟨âm ⟩. Òîãäà äëÿ èõ ôóðüå-êîìïîíåíòìîæíî íàïèñàòüδ Âm (ω) =√κm δâm (ω) − Âm,vac (ω).(2.56)Äàâàéòå äèñêðåòèçèðóåì ÷àñòîòíóþ øêàëó ñëåäóþùèì îáðàçîì: ðàçîáüåì âñþ øêàëóíà îäèíàêîâûå ó÷àñòêè ðàçìåðîì ∆ ñ öåíòðàìè â òî÷êàõ ωl . Ââåäåì â ðàññìîòðåíèåíîâûå îïåðàòîðû òàêèå, ÷òî1δ Âlm = √∆Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òîωl∫+∆/2(2.57)δ Âm (ω) dω.ωl −∆/2[]δ Âlm , (δ Âkm )† = δlk .(2.58)Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå êâàäðàòóðû ïîëåé ñîãëàñíî ñëåäóþùåìólδ X̂m)1(l †l=(δ Âm ) + δ Âm ,2δ Ŷml)i(l †l=(δ Âm ) − δ Âm .2(2.59)è âû÷èñëèì ñðåäíèå îò êâàäðàòîâ ýòèõ âåëè÷èí.