Диссертация (1145377), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ïîëó÷àþùèåñÿïðè ýòîì óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ãàéçåíáåðãà-Ëàíæåâåíà è îòëè÷àþòñÿîò äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé òåì, ÷òî îíè, âî-ïåðâûõ, çàïèñàíû äëÿ îïåðàòîðîâ, àíå äëÿ c-÷èñëîâûõ ôóíêöèé, è, âî-âòîðûõ, ñîäåðæàò íåîäíîðîäíûå ÷ëåíû (èñòî÷íèêè øóìà), êîòîðûå òîæå ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðàìè è ñâîéñòâà êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìûõ ñîîòíîøåíèé Ýéíøòåéíà. Èìååòñÿ âîçìîæíîñòü, îñòàâàÿñü â ðàìêàõ êâàíòîâûõ âîççðåíèé è òåì ñàìûì ñîõðàíÿÿ âîçìîæíîñòè äëÿ îïèñàíèÿ ðàçíîãî ðîäà êâàíòîâûõ ïðîÿâëåíèé, çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü ìàòåìàòè÷åñêóþñèòóàöèþ, ïðåâðàùàÿ îïåðàòîðíûå óðàâíåíèÿ â c-÷èñëîâûå. Ïðè ïðåâðàùåíèè ëàçåð-Ãåíåðàöèÿ ïîëÿðèçàöèîííî ñæàòîãî ñâåòà47íûõ îïåðàòîðíûõ ïåðåìåííûõ â c-÷èñëîâûå ôóíêöèè íóæíî ïðàâèëüíî ïåðåïèñàòüêîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè äëÿ èñòî÷íèêîâ.
Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåòñÿ òðàäèöèîííûéïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó ïðè óñðåäíåíèè íîðìàëüíî óïîðÿäî÷åííîãî ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ ïîñëåäíèå ìîãóò áûòü çàìåíåíû íà c-÷èñëîâûå ôóíêöèè.Óðàâíåíèÿ äëÿ c-÷èñëîâûõ ïåðåìåííûõ ïðèíÿòî ïî òðàäèöèè íàçûâàòü óðàâíåíèÿìèËàíæåâåíà. Ïîñëå àäèàáàòè÷åñêîãî èñêëþ÷åíèÿ ïîëÿðèçàöèè îíè ñòàíîâÿòñÿ î÷åíüïîõîæè âíåøíå íà óðàâíåíèÿ äëÿ âèêñåëîâ ñ êîðîòêîæèâóùèì íèæíèì óðîâíåì èèìåþò ñëåäóþùèé âèä [G2]:ȧ± = −κa± − (κa + iωp ) a∓ + c (1 − iα) (D ± d) a± + ξ±(1.119)()()Ḋ = R − γD − 2cD | a+ |2 + | a− |2 − 2cd | a+ |2 − | a− |2 + ξD (1.120)()()d˙ = −γs d − 2cD | a+ |2 − | a− |2 − 2cd | a+ |2 + | a− |2 + ξd(1.121)ãäå ñîõðàíåíû âñå ïðåæíèå îáîçíà÷åíèÿ, êðîìå ñëåäóþùèõ:1[(N1+ + N1− ) − (N2+ + N2− )]21d = [(N1+ − N1− ) − (N2+ − N2− )] ,2D=(1.122)(1.123)à ñòîõàñòè÷åñêèå èñòî÷íèêèc(1 − iα) FP ±g()∗∗ξD = FD − a∗+ ξ+ + a∗− ξ− + a+ ξ++ a− ξ −()∗∗ξd = Fd − a∗+ ξ+ − a∗− ξ− + a+ ξ+− a− ξ−ξ± =(1.124)(1.125)(1.126)48Ãëàâà 1îïðåäåëÿþòñÿ íåíóëåâûìè êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè:)1[ (FD (t)FD (t′ ) =γ N 1+ + N 1− + N 2+ + N 2− + 2R (1 − p)4( ∗)]−4g a+ P+ + a+ P+∗ + a∗− P− + a− P−∗ δ(t − t′ ).()1[(γ + 4γc ) N 1+ + N 1− + N 2+ + N 2− + 2R−Fd (t)Fd (t′ ) =4)]( ∗−4g a+ P+ + a+ P+∗ + a∗− P− + a− P−∗ δ(t − t′ ).)1[ (FD (t)Fd (t′ ) = Fd (t)FD (t′ ) =γ N 1+ − N 1− + N 2+ − N 2− −4( ∗)]−4g a+ P+ + a+ P+∗ − a∗− P− − a− P−∗ δ(t − t′ ).(1.127)(1.128)(1.129)1FD (t)FP ± (t′ ) = − (γ + γc ) P ± δ(t − t′ ).21Fd (t)FP± (t′ ) = ∓ (γ + γc ) P ± δ(t − t′ ).[2]()∗′FP ± (t)FP ± (t ) = (2γ⊥ − γ) N 1± − γc N 1± − N 1∓ + R δ(t − t′ ),(1.130)FP ± (t)FP ± (t′ ) = 2g (a± P± ) δ(t − t′ ),(1.133)(1.131)(1.132)Äàëåå íàõîäèì ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóÿ ìåòîä, èçëîæåííûé âûøå.
Ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè êâàíòîâûõ ïàðàìåòðîâ Ñòîêñà äëÿ x-ïîëÿðèçîâàííîãî èçëó÷åíèÿ âèêñåëà èìåþò âèä:()= nx κx 2Ω (r + 1) + γ r(p − pr + 4) /λ1 (Ω)()(δS22 )Ω = 2nx κx Ω4 /4 (r + 1) + a2 Ω2 + b2 /λ(Ω)()(δS32 )Ω = 2nx κx Ω4 /4 (r + 1) + a3 Ω2 + b3 /λ(Ω)()(δS2 δS3)Ω = 2nx κx γ(r − 1) a23 Ω2 /4 + b23 /λ(Ω)(δS12 )Ω22(1.134)(1.135)(1.136)(1.137)Ãåíåðàöèÿ ïîëÿðèçàöèîííî ñæàòîãî ñâåòà49ãäå êîýôôèöèåíòû îïðåäåëåíû êàê()a2 = (ωp2 + κ2a + Γ2s /4)(r + 1) + γ(r − 1) α2 rΓs /4 + (αωp − κx )(r + 1)[]b2 = γs2 (ωp2 + κ2a )(r + 1) + γs γ(r − 1) r(ωp + ακa )2 + 2κ(αωp − κa )(r + 1) +[]22222+γ (r − 1) κ (r + 1)(α + 1) − (ωp + ακa )a3 = (ωp2 + κ2a + γs2 /4)(r + 1) + (αωp − Γs /2)(r − 1)(r + 1)γ + γ(r − 1)rΓs /4[]b3 = Γ2s (r + 1)(κ2a + ωp2 ) + γ(r − 1)Γs r(α2 ωp2 − κ2a ) + 2κa (αωp − κa )[]a23 = α Γs + 2(r + 1)(κ − κa )[()]b23 = γs r(ωp + ακa )(αωp − κa ) + (r + 1) ωp (αωp − κa ) + κ(ωp + ακa ) +[]2+γ(r − 1) (ωp + ακa )(αωp − κa ) + (r + 1)(α + 1)κωp()2λ1 (Ω) = Ω2 − 2γκx (r − 1) + Ω2 γ 2 r2[]2 [λ(Ω) = Ω2 −Ω2 /4 + κ2a + ωp2 − κa γs + γ(r − 1)(κ − κa )/2 + Ω2 (κa − Γs /4)+]222+γ(r − 1)κx (αωp − κa ) + Γs (κa + ωp ) .Ñðàâíèì ïîëó÷åííûå íàìè ðåçóëüòàòû ñ ðàñ÷åòàìè, ïðîâåäåííûìè íà îñíîâå ôåíîìåíîëîãè÷åñêîãî ââåäåíèÿ èñòî÷íèêîâ øóìîâ â äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ [64], îñíîâûâàÿñü íà àíàëèçå ãðàôèêîâ, ïðèâåäåííûõ â ðàáîòå [67].Ðèñ.
1.5a ñêîïèðîâàí íàìè èç ðàáîòû [67]. Íà ðèñ. 1.5b ìû ïîñòðîèëè àíàëîãè÷íûåêðèâûå, îñíîâûâàÿñü íà íàøåì àíàëèçå è âûáèðàÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ïàðàìåòðû ðàñ÷åòà: γ = 1GHz, κ = 300GHz, κa = 0, ωp = 1GHz, α = −3, γs = 100GHz, r = 1, 04.Êðèâàÿ ñ îäíèì ìàêñèìóìîì íà ðèñ. 1.5a ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ôëóêòóàöèé ïîëíîé ìîùíîñòè ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ïåðâîãî ïàðàìåòðà Ñòîêñà. Äëÿ ñðàâíåíèÿ ìû ïîñòðîèëè çàâè-50Ãëàâà 1Ðèñ. 1.5: (à)Ôðàãìåíò ðèñóíêà 1 èç ñòàòüè [67].
Ñïåêòðàëüíûå ìîùíîñòè, ðàññ÷èòàííûå èñõîäÿ èç ôåíîìåíîëîãè÷åñêîé ìîäåëè ñòàòèñòèêè âèêñåëà. (b) Ñïåêòðàëüíûå ìîùíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðåäñòàâëåííûì íà ðèñ. 1.5a, ðàññ÷èòàííûå íà îñíîâå êâàíòîâî-ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè âèêñåëà. Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ðàñ÷åòà: κ =300, κa = 0, ωp = 1, α = −3, γ = 1, γs = 100, r = 1.04.ñèìîñòü îò ÷àñòîòû ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè (δS12 )Ω . ×òî êàñàåòñÿ êðèâîé ñ äâóìÿìàêñèìóìàìè, òî ìîæíî óâèäåòü, ÷òî ðå÷ü èäåò î ÷àñòîòíîé çàâèñèìîñòè âåëè÷èíû1/4 ((δS12 )Ω + (δS22 )Ω ).Ñðàâíèâàÿ ðèñóíêè 1.5a è 1.5b, ìîæåì âèäåòü, ÷òî êà÷åñòâåííî îíè î÷åíü ïîõîæè.Áîëåå òîãî, ïîëîæåíèÿ ìàêñèìóìîâ ïî îñè àáñöèññ ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ ñîâïàäàþò. òî æå ñàìîå âðåìÿ, âèäíî ïî ïîëîæåíèþ òî÷åê âäîëü îñè îðäèíàò, ÷òî óðîâåíü øóìîâ äëÿ ïàðàìåòðîâ Ñòîêñà, ïðåäñêàçûâàåìûé íàøåé òåîðèåé äëÿ âûáðàííîãî íàáîðà ïàðàìåòðîâ, íåñðàâíåííî íèæå, ÷åì ïðåäñêàçûâàåìûé â ôåíîìåíîëîãè÷åñêîìïîäõîäå. Ëåãêî îáúÿñíèìî, ïî÷åìó ÷àñòîòíîå ïîëîæåíèå õàðàêòåðíûõ ìàêñèìóìîâíà íàøèõ êðèâûõ îêàçàëîñü òî÷íî ñîâïàäàþùèì.
Ñàìî ïî ñåáå íàëè÷èå ìàêñèìóìîâñâÿçàíî ñ íàëè÷èåì ðåëàêñàöèîííûõ êîëåáàíèé â ñèñòåìå, õàðàêòåðíûå ÷àñòîòû êîòîðûõ ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíû äèíàìè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè âèêñåëà è íèêàê íå ñâÿçàíû,òàêèì îáðàçîì, ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè èñòî÷íèêàìè â óðàâíåíèÿõ Ëàíæåâåíà è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ìîãóò íèêàê çàâèñåòü îò ñïîñîáà èõ ââåäåíèÿ â òåîðèþ. Îòíîñèòåëüíîðàñõîæäåíèÿ â óðîâíå øóìà, ïðåäñêàçûâàåìîì â äâóõ îáñóæäàåìûõ ïîäõîäàõ, îòìå-Ãåíåðàöèÿ ïîëÿðèçàöèîííî ñæàòîãî ñâåòà51òèì, ÷òî óðàâíåíèÿ Ëàíæåâåíà â ðàáîòå [67] ôîðìèðîâàëèñü íå íà îñíîâå ïîëíîéñèñòåìû äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé, à íà îñíîâå óêîðî÷åííîé ñèñòåìû, â êîòîðîé ôèãóðèðóþò óæå íå çàñåëåííîñòè âñåõ ïîäóðîâíåé N1± è N2± , íî òîëüêî äâå âåëè÷èíûD è d. Óòåðÿííûå ïðè ýòîì èñòî÷íèêè îêàçûâàåòñÿ òðóäíî ó÷åñòü ôåíîìåíîëîãè÷åñêè, è èìåííî ïîòîìó âñå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè îêàçàëèñü ïðîïîðöèîíàëüíûìèðàçíîñòÿì çàñåëåííîñòåé N1± − N2± , à ÷ëåíû, çàâèñÿùèå îò ñàìèõ çàñåëåííîñòåé,èñ÷åçëè.Îáñóäèì òåïåðü âîïðîñ î âîçìîæíîñòè íàáëþäåíèÿ ïîëÿðèçàöèîííîãî ñæàòèÿ ââèêñåëå ñ îäèíàêîâûìè âðåìåíàìè æèçíè óðîâíåé.
Êàê ìû ïîêàçàëè âûøå, íàáëþäåíèå ïîëÿðèçàöèîííîãî ñæàòèÿ â âèêñåëå ñâÿçàíî ñ âîçìîæíîñòüþ ñîçäàíèÿ ñóáïóàññîíîâñêîé ñòàòèñòèêè ôîòîíîâ. Õîðîøî èçâåñòíî [28], ÷òî äëÿ îðãàíèçàöèè ñóáïóàññîíîâñêîé ñòàòèñòèêè íåîáõîäèìî ïîäîáðàòü òàêóþ ñðåäó, ÷òî âðåìÿ æèçíè íèæíåãîëàçåðíîãî óðîâíÿ áûëî áû ãîðàçäî ìåíüøå âåðõíåãî.  ñëó÷àå âèêñåëà ñ êîðîòêîæèâóùèì íèæíèì óðîâíåì, ðàññìîòðåííîãî âûøå, àòîìû ðàñïðåäåëÿþòñÿ ïî ïîäóðîâíÿì ñëó÷àéíûì îáðàçîì äàæå ïðè ðåãóëÿðíîé íàêà÷êå.
Òåì íå ìåíåå, ýòî îêàçûâàåòñÿ íåñóùåñòâåííûì ïðè ãåíåðàöèè ëèíåéíî-ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà. È ïðè÷èíàýòîãî ïðîñòàÿ - â ôîðìèðîâàíèè ãåíåðàöèè ðîëü èãðàåò òîëüêî ñóììàðíàÿ çàñåëåííîñòü âåðõíåãî óðîâíÿ, à íå êàæäîãî èç ïîäóðîâíåé â îòäåëüíîñòè.Äëÿ âèêñåëà æå ñ îäèíàêîâî æèâóùèìè ëàçåðíûìè óðîâíÿìè ïîìèìî åñòåñòâåííîãî îãðàíè÷åíèÿ, íå ïîçâîëÿþùåãî ïîäàâèòü äðîáîâûé øóì áîëåå, ÷åì íàïîëîâèíó [28], ìîãóò âîçíèêíóòü åùå äîïîëíèòåëüíûå òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñî ñëó÷àéíûìâîçáóæäåíèåì ïîäóðîâíåé. Êàê ìîæíî óâèäåòü èç àíàëèçà óðàâíåíèé [G2] â ôîðìèðîâàíèè ñòàòèñòèêè èçëó÷åíèÿ ðîëü òåïåðü èãðàåò íå òîëüêî ïîëíàÿ çàñåëåííîñòüâåðõíåãî óðîâíÿ, íî è çàñåëåííîñòè êàæäîãî èç ïîäóðîâíåé.Óáåäèìñÿ â ýòîì, àíàëèçèðóÿ ñïåêòð ôëóêòóàöèé ôîòîòîêà (1.116) ñ ó÷åòîì (1.134)ïðè p = 1 è â îòñóòñòâèå äèõðîèçìà κa = 0. Íàì äîñòàòî÷íî ïðîñëåäèòü òîëüêî çà52Ãëàâà 1îäíîé òî÷êîé Ω = 0, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ãëóáèíó ïðîâàëà íèæå äðîáîâîãî øóìà.
Ìûáóäåì èìåòü ñëåäóþùåå:(δi2− )Ω=0 /⟨i+ ⟩ = 1 +1 5−r rr≫1 1−→2 r−1 r−12(1.138)Äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðèâåäåì òó æå ñàìóþ ôîðìóëó äëÿ ñëó÷àÿ äâóõóðîâíåâîãî ëàçåðàáåç âûðîæäåíèÿ óðîâíåé [28]:(δi2− )Ω=0 /⟨i+ ⟩ = 1 +1 5 − r r≫1 1−→2 r−12(1.139)Êàê âèäèì, ïîâåäåíèå íàáëþäàåìîé òî÷êè â ñïåêòðå øóìà î÷åíü ïîõîæå íà òî, êîòîðîå èìååò ìåñòî è áåç âûðîæäåíèÿ. Äîïîëíèòåëüíûé ôàêòîð r/(r − 1) ãîâîðèò íàìî òîì, ÷òî ïðè r < 5 óðîâåíü øóìà îêàçûâàåòñÿ âûøå, ÷åì ïðè îòñóòñòâèå âûðîæäåíèÿ.
Ýòî, ïî-âèäèìîìó, ìîæíî îòíåñòè íà ñ÷åò ñëó÷àéíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ àòîìîâïî ïîäóðîâíÿì â ïðîöåññå íàêà÷êè. Ïðè r > 5 ýôôåêòèâíîñòü ôàêòîðà îêàçûâàåòñÿìèíèìèçèðîâàííîé, è, ïî ñóòè, ñèñòåìû îêàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè.Èíòåðåñíî òàêæå ñðàâíèòü ñèòóàöèþ ñ âèêñåëîì ñ êîðîòêî æèâóùèì íèæíèìóðîâíåì:(δi2− )Ω=0 /⟨i+ ⟩ = 1 +3 − r r r≫1−→ 0r−1 r−1(1.140)Ñðàçó âèäíî, ÷òî ýòîì ñëó÷àå ýôôåêòèâíîñòü ñæàòèÿ íåñðàâíåííî âûøå, ÷åì ïðèîäèíàêîâûõ âðåìåíàõ æèçíè óðîâíåé. Íàïðèìåð, ïðè r = 6, êîãäà â ñëó÷àå êîðîòêîæèâóùåãî íèæíåãî óðîâíÿ äîñòèãàåòñÿ óæå çàìåòíîå ïîäàâëåíèå äðîáîâîãî øóìà äîóðîâíÿ 0.28, ïðè ðàâíûõ âðåìåíàõ æèçíè ïîäàâëåíèå îñòàåòñÿ åùå åäâà çàìåòíûì, èóðîâåíü øóìà îò äðîáîâîãî óðîâíÿ ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó 0.84.Çàêëþ÷åíèå ê ãëàâå 1.
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì åùå ðàç, ÷òî äëÿ êîððåêòíîãîàíàëèçà êâàíòîâî-ñòàòèñòè÷åñêèõ ïîëÿðèçàöèîííûõ ñâîéñòâ èçëó÷åíèÿ âèêñåëà íàìÃåíåðàöèÿ ïîëÿðèçàöèîííî ñæàòîãî ñâåòà53íåîáõîäèìî ðàññìàòðèâàòü øóìû âñåé ñèñòåìû, à íå òîëüêî èçëó÷àþùåé ìîäû. ýòîé ãëàâå ìû ïîñòðîèëè ïîëíîñòüþ êâàíòîâóþ ìîäåëü âèêñåëà ñ ó÷åòîì äâîéíîãî ëó÷åïðåëîìëåíèÿ è äèõðîèçìà â èçëó÷àþùåé ñðåäå.
Ìû ïîêàçàëè, ÷òî äàæåïðè íàëè÷èè ýòèõ ôàêòîðîâ ìîæíî îáåñïå÷èòü ðåæèì ãåíåðàöèè íåêëàññè÷åñêîãîèçëó÷åíèÿ.Ìû òåîðåòè÷åñêè ïðåäñêàçàëè ýôôåêò ïîëÿðèçàöèîííîãî ñæàòèÿ â âèêñåëå, ïðîÿâëÿþùèéñÿ â óìåíüøåíèè ôëóêòóàöèé êâàíòîâîãî ïàðàìåòðà Ñòîêñà S1 íèæå ñòàíäàðòíîãî êâàíòîâîãî ïðåäåëà. Ïðèðîäà ýòîãî êâàíòîâîãî ñâîéñòâà èçëó÷åíèÿ çàêëàäûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîñòüþ íàêà÷êè àêòèâíîé ëàçåðíîé ñðåäû. Îäíàêî, òîëüêî ëèøüòðåáîâàíèÿ ðåãóëÿðíîñòè íàêà÷êè íåäîñòàòî÷íî, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàòü ïîëÿðèçàöèîííîå ñæàòèå, â ñèëó íàëè÷èÿ øóìà, ñâÿçàííîãî ñî ñëó÷àéíûì ïåðåðàñïðåäåëåíèåìàòîìîâ ìåæäó äâóìÿ âåðõíèìè ëàçåðíûìè ïîäóðîâíÿìè.Ïðîàíàëèçèðîâàíû äèíàìè÷åñêèå è êâàíòîâî-ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà èçëó÷åíèÿâèêñåëà äëÿ äâóõ êîíôèãóðàöèé (ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçëè÷íîìó ñîîòíîøåíèþ ìåæäóðåëàêñàöèîííûìè êîíñòàíòàìè), âñòðå÷àþùèõñÿ â ýêñïåðèìåíòàõ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
