Диссертация (Адаптивное и робастное управление динамическими сетями с запаздыванием на основе пассификации), страница 6

. . , .(3.5)Далее будут выведены условия синхронизации систем (3.1) при законах обратной связи (3.3),(3.4). Как и ранее, будут рассматриваться гипер-минимально-фазовые системы.Предположение 3.2. Существует вектор ∈ R такой, что функция () = ( −)−1 гипер-минимально-фазовая.3.2Консенсусный регулятор первого типаДля начала выведем условие существования синхронного решения системы (3.1), (3.3).

Подставив () = ¯() в (3.1), получим () = (), а так как ̸= 0, то ∀, = 1, . . . , ]︃[︃ ∑︁(︀)︀ ∑︁(︀)︀ () ¯() − ¯( − ()) − () ¯() − ¯( − ()) = 0.=1=1Для того, чтобы выполнялось последнее равенство, будем накладывать следующее предположение.35Предположение 3.3. ∃(), (), ℎ : ∀ > 0, ∀, = 1, . . . , ∑︁ () = (), () = (),0 6 () 6 ℎ.=1Определим матрицу Лапласа () = { ()},=1 , где⎧⎪⎪⎪⎨ − (), ̸= , () =⎪⎪⎪⎩∑︁ (), = .=1Введём обозначения () = { ()},=1 , 1 = (1, . .

. , 1) , 0 = (0, . . . , 0) ,⎛⎞10⎠. =⎝1 − −1Заметим, что −1 = ,⎛ () = ⎝0*⎞⎠,0 Λ()⎛⎞() *⎠, () = ⎝0 Ω()(3.6)где Λ(), Ω() – некоторые матрицы.Теорема 3.1. Пусть выполнены Предположения 3.1–3.3 и для некоторого * > 0Λ() + Λ () > * ,(3.7)где Λ() из (3.6). Тогда для достаточного большого существуют достаточно малые ℎ и такие, что закон обратной связи (3.3) с = − обеспечивает выполнение (3.5) натраекториях системы (3.1), (3.3).Доказательство. Систему (3.1), (3.3) можно записать в виде⎛⎞(,())1∫︁ ⎜⎟..⎜⎟()˙= ( ⊗ )() + (() ⊗ )() + (() ⊗ )()˙ + ⎜⎟,.⎝⎠−()(, ())где () = (1 (), .

. . , ()) . Сделаем замену переменной ¯() = ( ⊗ )(). Тогда∫︁ ¯˙ () = ( ⊗ )¯ () + ( () ⊗ )¯ () + ( () ⊗ )¯˙ () − ()⎛⎞(, ¯1 ())⎟⎜⎟⎜⎜ (, ¯1 ()) − (, ¯1 () − ¯2 ()) ⎟⎟,+⎜⎜⎟..⎜⎟.⎝⎠(, ¯1 ()) − (, ¯1 () − ¯ ())36где ¯1 () = 1 (), ¯ = 1 − для = 2, . . . , . Обозначим⎛⎞⎛⎞¯2 ()(, ¯1 ) − (, ¯1 − ¯2 )⎜⎟⎜⎟..⎜ . ⎟⎜⎟() = ⎜ .. ⎟ , Φ(, ¯1 , ) = ⎜⎟..⎝⎠⎝⎠¯ ()(, ¯1 ) − (, ¯1 − ¯ )Тогда∫︁˙ = ( −1 ⊗ ) + (Λ() ⊗ )() + (Ω() ⊗ )()˙ + Φ(, ¯1 (), ()).(3.8)−()Поскольку выполнено Предположение 3.2, существуют > 0 и * , такие что выполнено (1.12)c * = * .

Рассмотрим функцию () = ()( −1 ⊗ )(). Покажем, что удовлетворяетусловиям Теоремы 1.4. Условие (1.7) выполнено с () = 2 ( ) и () = 2 ( ). Крометого, lim→∞ () = ∞. Проверим, когда выполняется условие (1.8). Производная в силу системы(3.8) с = − равна˙ = ()( −1 ⊗ [ + ])() + 2 ()(Λ() ⊗ )()∫︁ ()˙ + 2 ()( −1 ⊗ )Φ(, ¯1 (), ())+ 2 ()(Ω() ⊗ )−()= ()( −1 ⊗ [* + * + 2* ])() − 2 ()(Λ() ⊗ )()∫︁ ()˙ + 2 ()( −1 ⊗ )Φ(, ¯1 (), ()),− 2 ()(Ω() ⊗ )−()где * = − * . Далее˙ = ()( −1 ⊗ [* + * ])() + ()([2* −1 − {Λ() + Λ ()}] ⊗ [ ])()∫︁ ()˙ + 2 ()( −1 ⊗ )Φ(, ¯1 (), ()).− 2 ()(Ω() ⊗ )−()В силу (1.12) существует > 0 такое, что первое слагаемое не превосходит −‖()‖2 . Второе слагаемое можно сделать неположительным, выбрав > 2* /* .

Четвёртое удовлетворяетнеравенству2| ()( −1 ⊗ )Φ(, ¯1 (), ())| 6 2max ( ) ‖()‖2 .Теперь оценим третье слагаемое:∫︁ ∫︁ [︀()˙ =( −1 ⊗ )() − (() −1 ⊗ )()−()−()]︀+ (Ω() ⊗ )( − ()) + Φ(, ¯1 (), ()) .Воспользуемся условием (1.8) с > 1, () = . Если (( + )) < (()) для ∀ ∈ [−2ℎ, 0],√︁( ). Тогдато ‖( + )‖ < ‖()‖ c = ( )⃦∫︁ ⃦⃦⃦⃦()˙ ⃦⃦⃦ 6 ℎ‖()‖(‖‖ + ( + Ω )‖‖‖ ‖ + ) = ℎ ‖()‖,−()37где = sup>0 |()|, Ω = sup>0 ‖Ω()‖ конечны, поскольку () ограниченные функции.Таким образом∫︁()˙ 6 2ℎΩ ‖ ‖2 ‖()‖2 .−2 ()(Ω() ⊗ )−()Итак,˙ () 6 (2max ( ) − )‖()‖2 + ()([2* − {Λ() + Λ ()}] ⊗ [ ])()+ 2ℎΩ ‖ ‖2 ‖()‖2 .Как видно, если <2max ( ),>2*,*ℎ< − 2max ( ),2Ω ‖ ‖2то выполняются условия теоремы Ляпунова-Разумихина (1.8) и нулевое решение системы (3.8)глобально равномерно асимптотически устойчиво, а значит на траекториях системы (3.1), (3.3)выполнено соотношение (3.5).3.3Консенсусный регулятор второго типаПодставив () = ¯() в (3.1), получим, что для существования синхронного решения системы(3.1), (3.4) необходимо () = ().

Поскольку ̸= 0, ∀, = 1, . . . , [︃ ]︃∑︁(︀)︀ ∑︁(︀)︀ () ¯( − ()) − ¯( − ()) − () ¯( − ()) − ¯( − ()) = 0.=1=1Для того, чтобы выполнялось последнее равенство, будем накладывать следующее предположение.Предположение 3.4. ∃ℎ : ∀ > 0, ∀, = 1, . . . , () = (), () 6 ℎ.Теорема 3.2. Пусть выполнены Предположения 3.1, 3.2, 3.4 и для некоторого * > 0Λ() + Λ () > * ,(3.9)где Λ() из (3.6). Тогда для достаточного большого существуют достаточно малые ℎ и такие, что закон обратной связи (3.4) с = − обеспечивает выполнение (3.5) натраекториях системы (3.1), (3.4).38Доказательство.

Уравнение замкнутой системы (3.1), (3.4) имеет вид(︂)︂∑︁˙ () = () + () ( − ()) − ( − ()) + (, ()).=1Сделаем замену переменной 1 () = 1 (), () = 1 () − () для = 2, . . . , . Учитывая, что () ≡ 0, для = 2, . . . , получаем˙ () = () + [(, 1 ) − (, )]+[︃ ]︃∑︁∑︁∑︁+ 1 () ( − 1 ()) + () ( − ()) − () ( − ()) . (3.10)=2=1Обозначим⎛=2⎞ ()⎜ 2 ⎟⎜ .. ⎟() = ⎜ . ⎟ ,⎝⎠ ()⎛⎜⎜Φ(, 1 , ) = ⎜⎝⎞(, 1 ) − (, 1 − 2 )⎟..⎟⎟..⎠(, 1 ) − (, 1 − )Поскольку выполнено Предположение 3.2, существуют > 0 и * , такие что выполнено (1.12)c * = * . Рассмотрим функцию () = ()( −1 ⊗ )(). Покажем, что удовлетворяетусловиям Теоремы 1.4. Условие (1.7) выполнено с () = 2 ( ) и () = 2 ( ).

Крометого, lim→∞ () = ∞. Проверим, когда выполняется условие (1.8). Производная в силу системы(3.10) с = − равна˙ = ()( −1 ⊗ [ + ])() + 2 ()( −1 ⊗ )Φ(, 1 (), ())[︂∑︁∑︁∑︁+2 () 1 () ( − 1 ()) + () ( − ())=2=2=1]︂∑︁− () ( − ())=2= ()( −1 ⊗ [* + * + 2* ])() + 2 ()( −1 ⊗ )Φ(, 1 (), ())[︂∑︁∑︁∑︁ () 1 () ( − 1 ()) + () ( − ())− 2=2−∑︁=2=1]︂ () ( − ()) ,=2где * = − * . Подставим ( − ()) = () −∫︀ ˙ () :− () ˙ = ()( −1 ⊗ [* + * ])() + ()([2* −1 − {Λ() + Λ ()}] ⊗ [ ])()[︂∑︁∫︁ ∫︁ ∑︁∑︁1 ()˙ () + ()˙ () + 2 () =2−∑︁=2=2∫︁ ()−1 ()=1]︂− ()˙ () + 2 ()( −1 ⊗ )Φ(, 1 (), ()).− ()39В силу (1.12) существует > 0 такое, что первое слагаемое не превосходит −‖()‖2 . Второеможно сделать неположительным выбрав > 2* /* .

Четвёртое удовлетворяет неравенству:2| ()( −1 ⊗ )Φ(, 1 (), ())| 6 2max ( ) ‖‖2 .Оценим третье слагаемое. Для = 2, . . . , обозначим () = () ,∫︁ ∫︁∫︁ ∑︁∑︁∑︁˙ () + ()˙ () − () () =1 ()−1 ()=2− ()=1=2˙ () .− ()Тогда третье слагаемое запишется в виде: 2 ()(). Очевидно, что ‖()‖ 6 ‖ ‖2 ‖()‖ и∑︀‖()‖ 6 =2 ‖ ()‖, где () = (2 (), . . . , ()) , () = (2 (), . . . , ()) .∫︁ ∫︁ ∫︁ ∑︁∑︁∑︁‖ ()‖ 61 ()‖˙ ()‖ + ()‖˙ ()‖ + ()‖˙ ()‖ .−ℎ=2−ℎ=1=2−ℎПоэтому,⎛∫︁⎜⎜‖()‖ 6 1 Λ+ ()⎜−ℎ ⎝‖˙2 ()‖⎞⎟⎟. . .

⎟ ,⎠‖˙ ()‖где 1 = (1, . . . , 1) и матрица Λ+ () вычисляется по формуле⎛Π=⎝0 −1⎞⎠,Λ+ () = Π + (() + ())+ Π,⎛⎞(︃ )︃∑︁∑︁1 0⎠ , () = diag+ = ⎝1 (), . . . , () .1 −1=1=1Тогда√∫︁‖()‖ 6 + − 1‖()‖˙,−ℎгде + = sup>0 ‖Λ+ ()‖ конечно, поскольку () – ограниченные функции. Воспользуемсяусловием (1.8) с > 1, () = . Если (( + )) < (()) для ∈ [−2ℎ, 0], то |( + )| <√︁( )|()| c = . Тогда ( )∫︁ ∫︁ ‖()‖˙ 6‖‖‖()‖ + ‖()‖ + ‖‖‖ ‖‖()‖ ,−ℎ−ℎ×( −1)где вектор () ∈ Rсоставлен из векторов ( = 2, . . .

, )[︃ ]︃∑︁∑︁∑︁ () =1 () ( − 1 ()) + () ( − ()) − () ( − ()) .=2=1=2Далее‖()‖ 6∑︁‖ ()‖ 6=2+ ∑︁∑︁ ∑︁∑︁1 ()‖ ( − 1 ())‖ +=2 =2 ∑︁∑︁=2 =1 ()‖ ( − ())‖.=2 =240 ()‖ ( − ())‖Поскольку ‖ ( − ())‖ 6 ‖()‖‖()‖ 6 ‖()‖[︃ ∑︁∑︁=21 () +=2∑︁ () +=1∑︁]︃ ()=2или‖()‖ 6 + ( − 1)‖()‖.Таким образом∫︁ ‖()‖˙ 6 ℎ‖()‖(‖‖ + ‖‖‖ ‖+ ( − 1) + ) = ℎ ‖()‖.−ℎТогда√2 ()() 6 2ℎ + − 1‖ ‖2 ‖()‖2 .Итак,˙ () 6 (2max ( ) − )‖()‖2 + ()([2* − {Λ() + Λ ()}] ⊗ [ ])()√+ 2ℎ + − 1‖ ‖2 ‖()‖2 .Как видно, если <2max ( ),>2*,*ℎ< − 2max ( )√,2 + − 1‖ ‖2то выполняются условия теоремы Ляпунова-Разумихина (1.8) и нулевое решение системы (3.10)глобально равномерно асимптотически устойчиво, а значит на траекториях системы (3.1), (3.4)выполнено соотношение (3.5).Замечание 3.1.

Если матрица () постоянна и симметрична, т. е. граф связей не изменяетсяи не ориентирован, то условия (3.7), (3.9) равносильны связности графа.41Глава 4Адаптивное управление с переменнымзапаздыванием в управлении и измерениях4.1Постановка задачиРассмотрим неопределённую линейную систему()˙= () + ( − 1 ()),(0) = 0 ,(4.1)() = ( − 2 ()),где ∈ R – состояние, ∈ R – вход, ∈ R – измеряемый выход системы; – неизвестнаяматрица, лежащая в известном политопе =∑︁ ,0 6 6 1,=1∑︁ = 1.(4.2)=1Запаздывания 1 (), 2 () предполагаются неизвестными и ограниченными:0 6 1 () 6 ℎ1 ,0 6 2 () 6 ℎ2 .Положим () = 0 при < 0.

Это не повлияет на решение () системы (4.1) и будет означать,что () = 0 при − 2 () < 0.Обозначим() = 1 () + 2 ( − 1 ()).Следуя [61], мы предполагаем следующее.Предположение 4.1. Существует единственное * > 0 такое, что⎧⎨ − () < 0, < * ,⎩ − () > 0,42 > * .(4.3)Ясно, что * 6 ℎ1 + ℎ2 .Как и раньше будем рассматривать гипер-минимально-фазовые системы:Предположение 4.2. Существует и известен вектор ∈ R такой, что ( − )−1 гипер-минимально-фазовая для всех из (4.2).При заданном , удовлетворяющем Предположению 4.2, рассмотрим адаптивный регулятор() = −() (),(︀)︀2˙()= −2 () ,(4.4)где , ∈ R, > 0.При 1 () = 2 () ≡ 0 в условиях Предположения 4.2 было показано [1], что решения замкнутой системы (4.1), (4.4) удовлетворяют следующему свойству: ∀(0) ∈ R , ∀(0) ∈ Rlim ‖()‖ = 0, lim () = const.→∞→∞(4.5)В данной главе будут выведены условия, гарантирующие выполнение (4.5) для подходящего(0) при ненулевых запаздываниях 1 (), 2 ().4.2Основной результатЗамкнутая система (4.1), (4.4) может быть представлена в виде()˙= () − * ( − ()) + (* − ( − 1 ())) ( − ()),(︀)︀2˙()= −2 ( − 2 ()) .(4.6)На основе метода пассификации был предложен следующий подход [1, 7].

Если выполненоПредположение 4.2, существуют > 0 и * , удовлетворяющие (1.12). Рассмотрим функциюЛяпуновского типа0 (, ) = + 2 ( − * )2 .Её производная в силу системы (4.6) имеет вид[︀]︀˙ 0 = 2 () () − * ( − ()) + 2(* − ( − 1 ())) () ( − ())(4.7)(︀)︀2+ 2(() − * ) ( − 2 ()) .При 1 () = 2 () ≡ 0 два последних слагаемых сокращаются, поскольку = . Тогдасоотношения (1.12) гарантируют, что ˙ 0 6 −‖‖2 для некоторого > 0. Последнее влечёт (4.5).43Замечание 4.1. Описанный выше подход может быть легко применён к системам с запаздыванием в состоянии. Рассмотрим систему()˙= 0 () + 1 ( − ()) + (),(4.8)() = ().Вычисляя ˙ 0 , получаем:[︀]︀˙ 0 = 2 () 0 () + 1 ( − ()) − * () + 2(* − ()) () ()+ 2(() − * )( ())2 .Поскольку = , последние два слагаемых сокращаются и анализ устойчивости системы(4.8) сводится к стандартному анализу устойчивости линейных систем с запаздыванием при() = −* ().