Диссертация (Адаптивное и робастное управление динамическими сетями с запаздыванием на основе пассификации), страница 4

Поскольку > 0, ( ) = 0 влечёт = 0. Поформуле (1.15) получаем алгоритмы управления˙ () = Γ ( () )[ () − ()], = 1, . . . , с положительно определёнными матрицами Γ ∈ R× . Из (1.12) следует, что = ,поэтому () = ( () − ()) . Итак, получаем адаптивные законы управления, которые18не зависят от :[︀]︀ () = − () () − () + (), > 0 ,[︀]︀[︀]︀˙ () = Γ () − () () − () , = 1, . . . , ,(2.10)где Γ ∈ R× – положительно определённые матрицы. Начальные данные (0 ) ∈ R выбираютсяпроизвольно.Замечание 2.3. Значения Γ определяют скорость сходимости. Если Γ слишком малы по норме,то сходимость будет медленной.

В то же время, Γ со слишком большими нормами могутпривести к нежелательным колебаниям параметров .2.3Условия синхронизацииДля всякого ∈ Ξ Предположение 2.1 гарантирует существование матрицы и вектора таких, что выполнены соотношения (1.12). Тогда существует некоторое число > 0 такое, что > 0, * + * < − , = ,(2.11)где * = − . В дальнейшем важную роль будет играть величина = inf −1max ( ),∈Ξ(2.12)которая имеет смысл наименьшей степени устойчивости матриц * . Пример того, как можнонайти подходящее , приведён в разделе 2.5.Введём обозначения: = max=1,..., = max=1,...,∑︁[ + ],=1 [︂∑︁=1(2.13)]︂ +,1−где , из (2.2), – верхняя граница для производной запаздывания: ()˙ 6 < 1. Значения и имеют смысл сил связей. В силу децентарлизованности регуляторов (2.10), для синхронизации системы (2.1), (2.3), (2.5), (2.6), (2.10) необходимо, чтобы сумма + была достаточномала.

Граница на величину + , при которой достигается синхронизация, будет выведена длядвух типов нелинейности 0 . Начнём с липшицевых нелинейностей.192.3.1Липшицевы нелинейностиПредположение 2.2. Функция 0 (, ) кусочно-непрерывна по первому аргументу и удовлетворяет глобальному условию Липшица по второму аргументу: ∃0 : ∀ > 0 , ∀, ∈ R‖0 (, ) − 0 (, )‖ 6 0 ‖ − ‖.(2.14)Теорема 2.1. Пусть система (2.1) удовлетворяет Предположениям 2.1, 2.2. Если выполненонеравенство + < − 20 ,(2.15)где определено в (2.12), , определены в (2.13), 0 из (2.14), то адаптивный алгоритмуправления (2.10) обеспечивает выполнение соотношения (2.7) на траекториях системы (2.1),(2.3), (2.5), (2.6), (2.10) и стремление настраиваемых параметров () к постоянным значениям.Доказательство. Предположение 2.1 гарантирует существование , , удовлетворяющих(2.11).

Обозначим () = ( + ), ∈ [−(), 0] и рассмотрим функционал (, 1 , . . . , ) = 1 + 2 + 3 ,(2.16)где1 =∑︁ () (),∑︁2 =( − ) Γ−1 ( − ),=1с ==1max ( )1−∑︀=13 = ∫︁∑︁=1 () () −() .Вычислим производную вдоль траекторий системы (2.8), (2.10).˙1 =∑︁∑︁[︀]︀[︀ (︀)︀(︀)︀]︀ + () + 2 () 0 , () − 0 , () ()=1∑︁+2=1 ()=1+2∑︁−2[︀ (︀)︀(︀)︀]︀ , () − , ()=1 ()=1∑︁∑︁∑︁[︀ (︀)︀(︀)︀]︀ , ( − ()) − , ( − ())=1[︀]︀ () () () − () .=1Ввиду Предположения 2.22∑︁∑︁[︀ (︀)︀(︀)︀]︀ () 0 , () − 0 , () 6 2max ( )0‖ ()‖2 .=1=120(2.17)Далее,2∑︁∑︁[︀ ()=16(︀ ∑︁)︀(︀)︀]︀ ∑︁, () − , () 62max ( ) ‖ ()‖‖ ()‖=1 ∑︁∑︁=1 =1∑︁∑︁[︀]︀]︀[︀222 + ‖ ()‖max ( ) ‖ ()‖ + ‖ ()‖ = max ( )=1=1=1 =16 max ( )∑︁(2.18)‖ ()‖2 .=1Аналогично2∑︁ ()=1∑︁[︀(︀)︀(︀)︀]︀ , ( − ()) − , ( − ())=16 ∑︁∑︁(2.19)max ( )[︀]︀‖ ()‖2 + ‖ ( − ())‖2 .=1 =1Итак,˙ 1 6+∑︁∑︁∑︁[︀]︀‖ ()‖2 () + () + 2max ( )0‖ ()‖2 + max ( )=1 ∑︁∑︁=1=1[︀]︀max ( ) ‖ ()‖2 + ‖ ( − ())‖2 − 2=1 =1∑︁[︀]︀ () () () − () .=1Теперь вычислим производную 2 с учётом того, что = :˙ 2 = 2=2∑︁∑︁[︀]︀[︀]︀˙ () = 2( () − ) () − () () − () ( () − ) Γ−1=1∑︁=1∑︁[︀]︀ () () () − () − 2 () ().=1=1Производная 3 имеет вид:˙ 3 =6∑︁[︀ ]︀ () () − (1 − ())˙ ( − ()) ( − ())=1[︃∑︁=1]︃∑︁∑︁()()maxmax − (1 − )‖ ( − ())‖2 .‖ ()‖21 − =11 − =1Складывая полученные оценки и используя обозначение * = − , получаем:˙ 6∑︁ ()[︀]︀(︀)︀ ∑︁ * + * () + 20 max ( ) + max ( ) + max ( )‖ ()‖2=1=1)︀(︀6 − + 20 max ( ) + max ( ) + max ( )∑︁‖ ()‖2 .=1Таким образом,˙ 6 −∑︁‖ ()‖2 6 0,=121где = − 20 max ( ) − max ( ) − max ( ) > 0 в силу неравенства (2.15).

Неотрицательная невозрастающая функция () = (, 1 , . . . , ) ограничена, поэтому ограничены и , а значит решение системы (2.8), (2.10) существует и равномерно непрерывно на [0 , +∞).Поскольку∫︁ ∑︁‖ ()‖2 6 (0 ) − (),0 =1существует конечный предел∫︀ ∞ ∑︀0=1‖ ()‖2 . Из леммы Барбалата [56, стр. 323] следует,что () → 0 при → ∞ для всех = 1, . . . , , а значит выполняется цель управления (2.7).Проинтегрируем второе уравнение в (2.10):∫︁ [︀]︀[︀]︀ () − () () − () () = (0 ) + Γ∫︁ 0= (0 ) + Γ () () .0∫︀∞Из существования конечного интеграла ‖ ()‖2 , следует существование конечного интегра0∫︀ ∞ла 0 () () , а значит существует конечный предел∫︁ ∞lim () = (0 ) + Γ () () .→∞0Из условий Теоремы 2.1 видно, что запаздывание () может быть произвольно большим.Отметим, что траектории () могут быть неограниченными.

Если же () ограничены, то () тоже ограничены.2.3.2Согласованные нелинейностиТеперь рассмотрим второй класс нелинейностей.Предположение 2.3. Существует функция ℎ0 (, ) : [0 , ∞) × R → R такая, что 0 (, ) = ℎ0 (, ) и для всех начальных условий из [−ℎ, 0] и кусочно-непрерывных уравнения (2.1),(2.5) имеют решения продолжимые на > 0 .Если Предположение 2.3 выполнено, то 0 (, ) называется согласованной нелинейностью.Теорема 2.2. Пусть система (2.1) удовлетворяет Предположениям 2.1, 2.3 и ∀1 , 2 ∈ R(1 − 2 ) (ℎ0 (, 1 ) − ℎ0 (, 2 )) 6 0.(2.20) + < ,(2.21)Если выполнено неравенство22где определено в (2.12), , определены в (2.13), то адаптивный алгоритм управления (2.10)обеспечивает выполнение соотношения (2.7) на траекториях системы (2.1), (2.3), (2.5), (2.6),(2.10) и стремление настраиваемых параметров () к постоянным значениям.Доказательство.

Рассмотрим функционал (2.16). Вычисляя верхнюю границу для ˙ , получаем:˙ 6 −′∑︁2‖ ()‖ + 2=1∑︁[︀ (︀)︀(︀)︀]︀ () 0 , () − 0 , () ,=1где ′ = − max ( ) − max ( ) > 0. Поскольку 0 (, ) = ℎ0 (, ), = и ℎ0удовлетворяет (2.20), получаем:22∑︁=1∑︁ ()∑︁[︀ (︀)︀(︀)︀]︀[︀ (︀)︀(︀)︀]︀0 , () − 0 , () = 2 () ℎ0 , () − ℎ0 , () ==1[︀]︀ [︀ (︀)︀(︀)︀]︀ () − () ℎ0 , () − ℎ0 , () 6 0.=1∑︀2Следовательно, ˙ 6 −′ =1 ‖ ()‖ . Окончание доказательства совпадает с окончанием доказательства Теоремы 2.1.Условие (2.20) называется -монотонностью.

Если = 1 и > 0, то (2.20) означает, что ℎ0 невозрастает по второму аргументу. В общем случае (2.20) означает, что в направлениях, составляющих острый угол с вектором , функция ℎ0 не возрастает, в направлениях, составляющихтупой угол с вектором , функция ℎ0 не убывает, а в направления ортогональных функция ℎ0постоянна.Условие (2.21) Теоремы 2.2 менее ограничительно, чем условие (2.15) Теоремы 2.1. ОднакоТеорема 2.2 применима только в том случае, если 0 (, ) = ℎ0 (, ) с ℎ0 удовлетворяющей(2.20). При этом 0 может не быть глобально липшицевой.Как и в Теореме 2.1 запаздывание () может быть произвольно большим и траектории ()будут ограниченными если ограничены ().2.3.3Случай линейных связейПредположим, что связи между подсистемами имеют вид: (, ) = (),(2.22) (, ) = (),где (), () – кусочно-непрерывные, неотрицательные, ограниченные функции для ̸= и () = −∑︁ () = − (),=1̸=∑︁=1̸=23 ().Тогда система (2.1) преобразуется к виду:(︀)︀ ∑︁[︀]︀˙ () = () + 0 , () + () () − ()=1̸=+∑︁(2.23)[︀]︀ () ( − ()) − ( − ()) + (),=1̸= () = (), > 0 , = 1, .

. . , .Функции , удовлетворяют условию (2.4) с Φ(, ) = Ψ(, ) ≡ 0, поэтому система лидер(2.5) имеет вид˙ () = () + 0 (, ()) + (),(2.24) () = ().Функции , удовлетворяют условию (2.2) с = sup | ()|, = sup | ()|,∈[0 ,∞)∈[0 ,∞)поэтому применимы результаты подразделов 2.3.1, 2.3.2. Однако в случае связей вида (2.22)можно получить менее ограничительные условия синхронизации. Введём обозначение =max0=,∑︁∈{1,..., } ∈[0 ,∞)Покажем, что > 0. Действительно,⎡∑︁sup( () − ()) .(2.25)=1̸=⎡⎤⎤∑︁⎢∑︁⎥⎢∑︁⎥ ∑︁⎢⎥.⎢⎥(()−())()+= =⎣⎦⎣⎦=1Поэтому если одно из слагаемых=1̸=∑︀=1=1,̸==1̸=( () − ()) отрицательно, то должно существоватьи положительное слагаемое. Итак, очевидно, что 0 6 6 , где из (2.13). Значение можно интерпретировать как степень несимметричности матрицы { ()},=1 . В частности,если { ()} симметричная матрица в любой момент времени > 0 , то = 0.Теорема 2.3.

Пусть система (2.23) удовлетворяет Предположениям 2.1, 2.2. Если выполненонеравенство + < − 20 ,где определено в (2.12), определено в (2.25), определено в (2.13), 0 из (2.14), то адаптивный алгоритм управления (2.10) обеспечивает выполнение соотношения (2.7) на траекторияхсистемы (2.23), (2.3), (2.24), (2.6), (2.10) и стремление настраиваемых параметров () к постоянным значениям.24Доказательство. В случае связей вида (2.22) вместо оценки (2.18) можно получить более точнуюоценку.2∑︁ ()=1=2∑︁[︀∑︁(︀)︀(︀)︀]︀ , () − , () = 2 () () ()=1 ∑︁∑︁=1=1 () () ()=1 =1̸=−2 ∑︁∑︁ () () ().=1 =1̸=Пользуясь Утверждением 1.1, оценим первое слагаемое.2 ∑︁∑︁ () () ()=(︀)︀ () () () + () ()=1 =1̸==1 =1̸= ∑︁∑︁6 ∑︁∑︁( () + ()) () ().=1 =1̸=Таким образом,2∑︁ () () () 6 max ( )=1=1∑︁‖ ()‖2 .=1Оставшаяся часть доказательства аналогична доказательству Теоремы 2.1.Теорема 2.4.

Пусть система (2.23) удовлетворяет Предположениям 2.1, 2.3 и ∀1 , 2 ∈ R(1 − 2 ) (ℎ0 (, 1 ) − ℎ0 (, 2 )) 6 0.Если выполнено неравенство + < ,где определено в (2.12), определено в (2.25), определено в (2.13), то адаптивный алгоритм управления (2.10) обеспечивает выполнение соотношения (2.7) на траекториях системы(2.23), (2.3), (2.24), (2.6), (2.10) и стремление настраиваемых параметров () к постояннымзначениям.Доказательство Теоремы 2.4 очевидным образом вытекает из доказательств Теорем 2.2 и 2.3.2.4Предельная ограниченность возмущённых системЛюбая математическая модель является некоторым приближением физической системы. Длятого, чтобы на практике уверенно применять теоретически полученные регуляторы, важно проверять их робастность по отношению к неточностям модели и внешним возмущениям, которым25подвержена практически любая реальная система. В данном разделе исследуется система с ограниченными возмущениями:(︀)︀ ∑︁(︀)︀ ∑︁(︀)︀˙ () = () + 0 , () + , () + , ( − ()) + () + (),=1 () = (), > 0 ,=1 = 1, .

. . , ,(2.26)где , , , , , , 0 , , те же, что и в (2.1), и ∈ R – неизвестные ограниченныефункции такие, что для некоторых ∆ :‖ ‖ 6 ∆ , = 1, . . . , .(2.27)В отличие от (2.1) здесь мы предполагаем, что переменное запаздывание () является ограниченной дифференцируемой функцией, такой что:0 6 () 6 ℎ,(2.28)()˙ 6 < 1.Поскольку цель управления (2.7), вообще говоря, недостижима в случае наличия возмущений,будем рассматривать другую цель управления:lim→∞∑︁‖ () − ()‖2 6 ,(2.29)=1где > 0 – некоторое число, – состояние системы лидера (2.5), (2.6).

Если выполнено условие(2.29), говорят, что разности () − () предельно ограничены.Нетрудно понять, что коэффициенты при законе обратной связи (2.10) могут уходить набесконечность: ‖ ‖ → ∞ при → ∞. Для обеспечения ограниченности во второе уравнениерегулятора (2.10) добавим отрицательную обратную связь, называемую -регуляризацией [60]:[︀]︀ () = − () () − () + (),[︀]︀[︀]︀˙ () = Γ () − () () − () − (),(2.30)где Γ ∈ R× – положительно определённые матрицы и > 0.Введём обозначение: ℎ = max=1,..., [︂∑︁=1]︂ +,1−ℎгде , из (2.2), ℎ и из (2.28), – параметр регулятора (2.30).26(2.31)2.4.1Липшицевы нелинейностиТеорема 2.5.

Пусть система (2.26) удовлетворяет Предположениям 2.1, 2.2. Если выполненонеравенство + ℎ < − 20 ,(2.32)где , , 0 , ℎ определены в (2.12), (2.13), (2.14), (2.31), соответственно, то адаптивныйалгоритм управления (2.30) c)︀1 (︀ − 20 − − ℎ2обеспечивает выполнение соотношения (2.29) с=(2.33)∑︁max ( ) ∑︁ 21= 2∆ + Γ−1 , min ( ) =1min ( ) =1 где ∆ из (2.27), , из (2.11), на траекториях системы (2.26), (2.3), (2.5), (2.6), (2.30) иограниченность настраиваемых параметров ().Доказательство. Предположение 2.1 гарантирует существование , , удовлетворяющих(2.11).