Диссертация (Адаптивное и робастное управление динамическими сетями с запаздыванием на основе пассификации), страница 5

Обозначим () = ( + ) = ( + ) − ( + ), ∈ [−(), 0] и рассмотрим функционал (, 1 , . . . , ) = 1 + 2 + 4 ,(2.34)где 1 и 2 из (2.16),4 = ∫︁∑︁=1с =max ( ) ∑︀−(−) () () −() .=11−Вычитая (2.5) из (2.26), получим уравнение для отклонений (). Вычислим производную в силу получившейся системы.˙1 =∑︁∑︁[︀]︀[︀ (︀)︀(︀)︀]︀ + () + 2 () 0 , () − 0 , () ()=1∑︁=1 ()+2=1+2[︀ (︀)︀(︀)︀]︀ , () − , ()=1∑︁ ()=1−2∑︁∑︁[︀ (︀)︀(︀)︀]︀ , ( − ()) − , ( − ())=1∑︁∑︁[︀]︀ () − () + 2 () ().

() ()=1=1Пользуясь Утверждением 1.1, получаем2∑︁ ()=16 ∑︁∑︁∑︁[︀(︀)︀(︀)︀]︀ , ( − ()) − , ( − ())=1[︀]︀max ( ) ℎ ‖ ()‖2 + −ℎ ‖ ( − ())‖2 ,=1 =1272∑︁ () ()=16∑︁ () ()=11 ∑︁ + () (), =1 где > 0 выберем таким, что + ℎ + + 6 − 20 .(2.35)Пользуясь оценками (2.17), (2.18) и неравенствами, приведёнными выше, получаем˙ 1 6+∑︁ ()[︀=1 ∑︁∑︁ + ]︀ () + 2max ( )0∑︁2‖ ()‖ + max ( )=1∑︁‖ ()‖2=1]︀[︀max ( ) ℎ ‖ ()‖2 + −ℎ ‖ ( − ())‖2=1 =1−2∑︁ () ()=1∑︁[︀]︀1 ∑︁ () − () + () () + () ().

=1 =1Теперь вычислим производную 2 с учётом того, что = :˙ 2 = 2∑︁∑︁[︀]︀[︀]︀( () − ) () − () () − () − 2( () − ) Γ−1 ()=1=2−=1∑︁[︀]︀ () () () − () − 2=1∑︁( () − ) Γ−1 ( () − ) + =1∑︁ () ()=1∑︁ Γ−1 .=1Производная 4 имеет вид:˙ 4 = [︁]︁∑︁−() ˙ ( − ()) ( − ()) − 4 () () − (1 − ())=16∑︁=1[︃]︃∑︁∑︁()()maxmax‖ ()‖2 − (1 − )−ℎ ‖ ( − ())‖2 − 4 .1 − =11 − =1Таким образом,˙ + − 6 −∑︁‖ ()‖2 +=1∑︁max ( ) ∑︁ 2∆ + Γ−1 − ,=1=1где = − 20 max ( ) − max ( ) − ℎ max ( ) − max ( ) − max ( ) > 0.

Пусть∑︁max ( ) ∑︁ 2=∆ + Γ−1 .=1=1Тогда˙ 6 − + .Из принципа сравнения [56, стр. 102] следует, что:(︂)︂00 (, 1 , . . . , ) 6 (0 , 1 , . . . , ) −−(−0 ) + .28(2.36)Поэтомуlim∑︁→∞‖ ()‖2 6 ,=1где∑︁max ( ) ∑︁ 21=∆ + Γ−1= .min ( )min ( ) =1min ( ) =1(2.37)Чем больше произведение тем меньше граница . Находя максимум при условии (2.35),получаем оптимальное значение параметров , :==)︀1 (︀ − 20 − − ℎ .2Ограниченность функций следует из ограниченности функционала .2.4.2Согласованные нелинейностиТеорема 2.6. Пусть система (2.26) удовлетворяет Предположениям 2.1, 2.3 и ∀1 , 2 ∈ R(1 − 2 ) (ℎ0 (, 1 ) − ℎ0 (, 2 )) 6 0.(2.38) + ℎ < ,(2.39)Если выполнено неравенствогде , , ℎ определены в (2.12), (2.13), (2.31), соответственно, то адаптивный алгоритмуправления (2.30) с=)︀1 (︀ − − ℎ2(2.40)обеспечивает выполнение соотношения (2.29) с=∑︁1max ( ) ∑︁ 2∆+ Γ−1 , 2 min ( ) =1 min ( ) =1 где ∆ из (2.27), , из (2.11), на траекториях системы (2.26), (2.3), (2.5), (2.6), (2.30) иограниченность настраиваемых параметров ().Доказательство Теоремы 2.6 очевидным образом вытекает из доказательств Теорем 2.2 и 2.5.2.5Пример: сеть систем ЧуаВ качестве примера рассмотрим сеть связанных систем Чуа с возмущениями:44)︀ ∑︁(︀)︀ ∑︁(︀)︀˙ () = () + ℎ0 () + , () + , ( − ()) + () + (),(︀=1 () = (),=1 = 1, .

. . , 4,(2.41)29где ℎ0 () = − 21 (0 − 1 )(| + 1| − | − 1| − 2), 0 < 1 < 0,⎛⎞⎛ ⎞−(1 + 0 )1 1 01⎜⎟⎜ ⎟(︁)︁⎜⎟⎜ ⎟ = ⎜1−1 1⎟ , = ⎜0⎟ , = 1 0 0 .⎝⎠⎝ ⎠0−2 00Неопределённые параметры 1 , 2 принадлежат некоторому известному множеству: (1 , 2 ) ∈[1 , 2 ] × [1 , 2 ] = Ξ, где 1 > 0, 1 > 0. Поскольку для 2 > 0 и > 0 многочлен det( −) () = (2 + + 2 ) является устойчивым и = > 0, Предположение 2.1 выполненос произвольным скалярным > 0.Функция ℎ0 () удовлетворяет Предположению 2.3.

Поскольку−1(02− 1 ) > 0, ℎ0 невозрастает, а значит выполнено условие (2.38).Для того, чтобы найти величину из (2.12), рассмотрим следующую задачу:Ω: → max(,,* )∈Ω⎧⎨ ( − * ) + ( − * ) < −,⎩ 0 < < , = 1, . . . , 4,(2.42)⃒4 = ⃒1 =2 .(2.43) = ,где⃒1 = ⃒1 =1 ,2 =1⃒2 = ⃒1 =1 ,⃒3 = ⃒1 =2 ,2 =22 =12 =2Поскольку неравенства в (2.42) являют аффинными по 1 , 2 , если (2.42) выполнены в вершинах(2.43), то они выполнены и для произвольных (1 , 2 ) ∈ Ξ. Следовательно, = , = *удовлетворяют соотношениям (2.11) и = −1 .При моделировании были взяты 0 = −8/7, 1 = −5/7 и предполагалось, что 1 ∈ [5, 15],2 ∈ [14, 15].

Численно решая (2.42) для * = 150, получаем (с точностью до сотых):⎛⎞0.8200⎜⎟⎜⎟ =⎜ 09.95−0.54⎟ , = 9.99.⎝⎠0−0.540.7130Следовательно, ≈ 0.1, ≈ 0.82. Обозначим = (1 , 2 , 3 ) и рассмотрим следующие связимежду подсистемами:12 (, 2 ) = (0.5 sin 12 , 0, 0) ,12 (, 2 ) = (0, 0, 0.45 cos 32 ) ,13 (, 3 ) = (0, 0.5 23 sin , 0) ,13 (, 3 ) = (0.45 sin 13 cos , 0, 0) ,21 (, 1 ) = (0.5 cos 11 sign(sin ), 0, 0) , 21 (, 1 ) = (0, 0.45 sin 21 sign(sin ), 0) ,24 (, 4 ) = (0, 0, 0.5 34 sign(cos )) ,24 (, 4 ) = (0.45 14 , 0, 0) ,32 (, 2 ) = (0, 0.5 22 sin , 0) ,31 (, 1 ) = (0, 0.45 21 sign(cos ), 0) ,34 (, 4 ) = (0, 0, 0.5 sin 34 ) ,34 (, 4 ) = (0, 0, 0.45 cos 34 ) ,41 (, 1 ) = (0.5 cos 11 , 0.5 cos 21 , 0) ,42 (, 2 ) = (0.45 sin 12 , 0, 0) ,43 (, 3 ) = (0, 0, 0.5 33 sign(cos )) ,43 (, 3 ) = (0, 0.45 23 sin , 0) , (, ) = −4∑︁ (, ) = − (, ),=1̸=4∑︁ (, ),=1̸=с = 0.01.

Остальные , тождественно равны нулю. Отметим, что и зависят от ()и (−()), соответственно. Будем рассматривать постоянное запаздывание: () = 9. Вычисляя(2.13) и (2.31) при ℎ = 9, = 0, получаем = 0.04, ℎ ≈ 0.04. Выберем Γ = 1 и, следуя (2.40), = 0.01. Тогда выполнены все условия Теоремы 2.6, а потому выполняется соотношение (2.29)и все параметры ограничены.Рисунок 2.1: Фазовый портрет системы-лидераПри моделировании были взяты 1 = 9, 2 = 14.3. Хорошо известно [64], что для данных значений параметров система Чуа является хаотической.

Характерные черты хаотического31аттрактора Чуа можно увидеть на Рис. 2.1, где изображена траектория системы-лидера с начальными данными 0 () = (0.1, 0.1, 0.1) , ∀ ∈ [−ℎ, 0]. В качестве начальных данных для остальныхсистем брались случайные линейные функции такие, что ‖ ()‖ 6 5, ∀ ∈ [−ℎ, 0], = 1, . . . , 4, = 1, 2, 3.

Возмущения выбирались такими, что ‖ ()‖ 6 ∆ = 0.01.Рисунок 2.2: Значение () =∑︀4=1‖ () − ()‖2 : A – в течение 500 секунд моделирования;B – в течение первых 35 секунд моделированияРисунок 2.3: Подстраиваемые параметры ( = 1, . . . , 4)На Рис. 2.2 видно, что величина () =∑︀4=1‖ () − ()‖2 остаётся ограниченной. НаРис. 2.3 представлен график изменения величин ( = 1, . .

. , 4).Заметим, что статическая обратная связь вида (2.9) обеспечивает выполнение цели управления (2.29) на траекториях системы (2.41), (2.3), (2.5), (2.6), (2.9) при = * , где * из (2.42).Преимущество адаптивного управления в том, что, подбирая коэффициенты для конкретнойсистемы, а не для всего класса Ξ, цель управления (2.29) достигается с меньшим коэффициентомусиления. В представленном примере задача (2.42) неразрешима при * < 10, в то время как 32после переходного периода не больше, чем 8. При этом если * < 150, то получаются меньшиезначения величины , а значит более ограничительные условия синхронизации (2.39).33Глава 3Робастная синхронизация сетей с помощьюконсенсусного регулятора3.1Постановка задачиРассмотрим систем, каждая из которых описывается уравнением˙ () = () + (, ()) + (), () = (), > 0,(3.1) = 1, .

. . , ,где ∈ R – состояния, ∈ R – входы, ∈ R – измеряемые выходы систем; постоянныематрицы , , имеют подходящие размерности.Предположение 3.1. Функция (, ) кусочно-непрерывна по первому аргументу и удовлетворяет глобальному условию Липшица по второму аргументу: ∃ : ∀ > 0, ∀′ , ′′ ∈ R‖(, ′ ) − (, ′′ )‖ 6 ‖′ − ′′ ‖.(3.2)В отличие от Главы 2, где связи между подсистемами изначально присутствуют в сети, уравнение (3.1) описывает изолированных систем. В данной главе речь пойдёт об информационныхсвязях, которые возникают из-за того, что регулятору -той системы доступны измерения с некоторых «соседних» узлов.

Предположим, что на передачу информации от -ого узла к -томунеобходимо время (). Тогда можно построить регуляторы двух типов: () = ∑︁(︀)︀ () () − ( − ()) ,(3.3)(︀)︀ () ( − ()) − ( − ()) ,(3.4)=1 () = ∑︁=134где ∈ R1× – вектор-строка коэффициентов усиления, () > 0 – ограниченные, кусочнонепрерывные функции, определяющие какие измерения доступны регуляторам, такие что () ≡ 0 для всех = 1, .

. . , . Регуляторы (3.3), (3.4), встречающиеся во многих областях науки [26, 27, 36, 37, 42, 78, 86, 95, 103, 108], называются консенсусными. В (3.3) вычисляется разницамежду текущим выходом -ой системы и запаздывающим выходом -той подсистемы. Построение такого алгоритма управления не требует знания величины запаздывания и он возникаетестественным образом, поскольку на передачу сигнала, как правило, требуется некоторое время.Если же величины запаздываний известны, то становится возможным построить регулятор (3.4),а если вдобавок () = (), то вычисляется разность между выходами систем в одно и тоже время. Такой алгоритм управления имеет некоторое преимущество: если системы синхронизированы, то управление исчезает, а значит наличие регулятора (3.4) не изменяет синхронноерешение систем (3.1) c ≡ 0, а лишь меняет его устойчивость.

Для того, чтобы гарантироватьсуществование синхронного решения системы (3.1), (3.3), приходится накладывать дополнительное условие на коэффициенты () и запаздывания () (см. Предположение 3.3). Кроме того,регулятор (3.4) возникает, если измерению доступны только разности выходов, например, еслилетательный аппарат с некоторым запаздыванием измеряет расстояние до ближайших соседей.Будем говорить, что системы (3.1) синхронизированы, если на траекториях (3.1) (с некоторыми ) выполнено соотношениеlim ( () − ()) = 0,→∞, = 1, .