Диссертация (Канонический формализм для описания гравитации в виде теории вложения и для теории поля на световом фронте), страница 4

В частности, они меняют знак при перестановке их аргументов, а также для нихвыполняется тождество Якоби:{, {, }} + {, {, }} + {, {, }} = 0.(1.8)Еще полезно заметить, что скобки Пуассона канонических переменныхдруг с другом имеют вид{ , ′ } = 0,{ , ′ } = 0,{ , ′ } = ′ ,(1.9)что, в частности, означает, что скобка сопряженных друг другу канонических переменных равна единице.Как хорошо известно, для того чтобы для конкретной динамическойсистемы перейти от лагранжева описания к каноническому нужно определить обобщенные импульсы системы формулой =( , ˙ ), ˙(1.10)а в качестве гамильтониана использовать выражение, даваемое преобразованием Лежандра:( , ) =∑︁ ˙ − ( , ˙ ),(1.11)где предполагается, что в правой части все скорости ˙ выражены черезканонические переменные , путем решения относительно них уравнений (1.10).

В случаях, когда это действительно можно сделать, уравнения Гамильтона (1.4) оказываются эквивалентны уравнениям ЭйлераЛагранжа (1.2), т. е. мы имеем просто задаваемую связь между лагранжевым и каноническим описанием одной и той же системы.20Переход от лагранжева описания системы к каноническому становится более сложным, если из уравнений (1.10) нельзя найти все скорости ˙ .Это происходит в случае, когда в часть из этих уравнений не входит ˙ ,а значит, они связывают значения канонических переменных , . Такиеуравнения называют связями, а соответствующую динамической систему– системой со связями. Способ правильного построения каноническогоформализма для такого случая подробно исследовался П. Дираком и изложен в его лекциях, вошедших в книги [48] и [49].Идея заключается в следующем.

Допустим, что среди уравнений(1.10) имеется некоторое количество описанных выше связей. Запишемих в виде уравнений ( , ) = 0(1.12)и, следуя Дираку, будем называть первичными связями. Тогда построимобобщенный гамильтониан gen , добавив к гамильтониану (1.11) (призаписи которого можно, вообще говоря, отбросить слагаемые, обращающиеся в ноль при выполнении первичных связей (1.12)) линейную комбинацию связей с коэффициентами, произвольно зависящими от канонических переменных , :gen=+∑︁ .(1.13)Как указывает Дирак, этот гамильтониан "ничем не хуже" (см.

[48],глава 1), т. е. "гамильтониан определен неоднозначно".Далее потребуем выполнения условий непротиворечивости, следующих из того, что условие (1.12) должно выполняться во все моменты времени, а, с другой стороны, для ( , ), как и для любой другой функцииканонических переменных, должно выполняться соотношение (1.7), в котором, однако, нужно (как можно показать) гамильтониан заменить наобобщенный гамильтониан gen с некоторыми значениями величин :{, } +∑︁′′ {′ , } ≈ 0.(1.14)Здесь использовано обозначаемое символом ”≈ ” понятие слабого равенства, означающего равенство при выполнении уравнений связей (1.12)(как иногда говорят – равенство на поверхности связей).21При попытке разрешить уравнения (1.14) относительно множителейЛагранжа могут, в принципе, возникать некоторые новые условия надинамические переменные, которые называют вторичными связями, и ихнужно рассматривать аналогично первичным, пополняя, таким образом,полный список связей (если же уравнения приводят к противоречию, тоисследуемую теорию следует считать некорректной).

В частности, для новых связей нужно тоже требовать выполнения аналогичных (1.14) условий непротиворечивости. Однако, для вторичных связей, также как и дляпервичных, в условии непротиворечивости суммирование должно проводиться только по первичным связям, т.

е. к обобщенному гамильтонианудобавлять вторичные связи не нужно, см. обсуждение этого нюанса вкниге [50], §3.2.При решении условий непротиворечивости относительно может вконечном итоге остаться некоторый произвол. Изменяя выбор базиса влинейном пространстве первичных связей, можно выделить те связи ,для которых выполнено уравнение{ , } ≈ 0,(1.15)где через обозначена совокупность всех связей, как первичных, так ивторичных, т. е. те связи, скобка Пуассона которых со всеми связями слаборавна нулю. Такие связи по классификации Дирака называются связямипервого рода, а все прочие – связями второго рода.

Если среди вторичныхсвязей оказываются связи, подпадающие под приведенное определениесвязей первого рода, то их нужно наряду с первичными связями первогорода добавить к обобщенному гамильтониану gen с новыми множителями Лагранжа (см. [48], глава 2) и считать включенными в множествосвязей .Используя тождество Якоби (1.8) можно доказать (см. [48], глава 1),что для скобок Пуассона связей первого рода верно сильное (т. е. верное точно, а не на поверхности связей) равенство{′ , ′′ } =∑︁′ ′′ .(1.16)Это означает, что связи первого рода образуют некоторую алгебру (обычно говорят: алгебра связей первого рода), т.

е. скобка Пуассона связейпервого рода сводится к линейной комбинации связей первого рода.22Соответствующие связям первого рода множители Лагранжа по построению остаются произвольными при удовлетворении всех условий самосогласования. Это означает, что при развитии по времени системы, содержащей связи первого рода, существует некоторый произвол и обычноон связан с наличием в системе калибровочной (т. е. локальной) симметрии. При этом связи первого рода оказываются генераторами этой симметрии.1.2Значение для квантованияИспользование канонического подхода оказывается весьма полезнымпри описания сложных механических систем.

Разработан математический аппарат, использующий понятия дифференциальных форм и симплектических многообразий (см., например, известную книгу В.И. Арнольда [51]), вырожденных пуассоновых многообразий [52] и многие другие, с помощью чего удается решить большое количество задач.Однако наиболее важной, наверное, ролью канонического подхода кописанию динамических систем в теоретической физике является его использование при квантовании этих систем. Именно в терминах канонических переменных производится стандартный переход от классическойтеории к квантовой (см. книгу [49], §21): обобщенные координаты иимпульсы объявляются операторами в гильбертовом пространстве, аскобка Пуассона переходит в умноженный на мнимую единицу коммутатор:{., .}→[ . , . ](1.17)(здесь и далее используется система единиц, в которой постоянная Планка ~ = 1).

При этом для операторов и постулируются каноническиекоммутационные соотношения (ККС):[ , ′ ] = 0,[ , ′ ] = 0,[ , ′ ] = − ′ ,(1.18)что обеспечивает выполнение соответствия (1.17) с учетом соотношений (1.9). Такой способ квантования (его обычно называют каноническимквантованием) является одним из основных, хотя, в принципе, существуют и альтернативные подходы к построению квантовой теории.

Некото23рое обсуждение того, почему каноническое квантование кажется наиболее естественным, проводит Дирак в книге [48], глава 1.В качестве наводящего соображение кажется полезным также использовать следующее рассуждение. При рассмотрении фундаментальных теорий обычно предполагается трансляционная инвариантность повремени. Для описывающих систему операторов, например обобщенныхкоординат , трансляционная инвариантность означает, что в разные моменты времени операторы могут отличаться только унитарным преобразованием (т. е. выбором базиса в гильбертовом пространстве), значит (2 ) = (2 , 1 ) (1 ) + (2 , 1 ).(1.19)Поскольку трансляции образуютгруппу,унитарный оператор должен(︁)︁ˆ , где ˆ – некоторый эрмитов опеиметь вид (2 , 1 ) = exp (2 − 1 )ратор.

Тогда имеем^^ () = (0) − ,(1.20)ˆ ],˙ = [,(1.21)из чего следуетт. е. должно выполняться уравнение Гейзенберга с некоторым, пока никакˆне фиксированным оператором .С другой стороны, в классической теории выполняются уравнениядвижения, имеющие в лагранжевом формализме вид уравнений ЭйлераЛагранжа (1.2). Можно попытаться поставить задачу совместить их выполнение с выполнением следующего из трансляционной инвариантности уравнения Гейзенберга (1.21) (нет уверенности, что это можно сделать строго, но можно использовать такую постановку задачи в качестве наводящего соображения при обосновании процедуры канонического квантования).

Сделать это напрямую сложно, поскольку уравненияимеют сильно отличающийся вид, а вот при переходе к каноническойзаписи уравнений движения в виде уравнений Гамильтона (1.4) задачасильно упрощается.Обобщенный импульс , как и (и как и любой другой зависящий отвремени оператор в представлении Гейзенберга), должен удовлетворятьаналогу уравнения (1.21). Сравнивая (1.21) с уравнениями Гамильтона24(1.4) легко заметить, что желаемое совмещение можно получить, еслиˆ ] =[,( , ),ˆ ] = −[,( , ),(1.22)где ( , ) – классический гамильтониан, в который, после взятия отнего производных, подставлены операторы и .