Диссертация (Канонический формализм для описания гравитации в виде теории вложения и для теории поля на световом фронте)

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиПастон Сергей АлександровичКанонический формализм для описаниягравитации в виде теории вложенияи для теории поля на световом фронтеСпециальность 01.04.02 – "теоретическая физика"Диссертация на соискание ученой степенидоктора физико-математических наукНаучный консультант:д.ф.-м.н., профессор В.А. ФранкеСанкт-Петербург – 2015СодержаниеВведение .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 О каноническом формализме . . . . . .1.1 Механические системы со связями . .1.2 Значение для квантования . . . . . . .1.3 Системы с симметрией относительноперепараметризации времени . . . . .1.4 Случай теории поля . .

. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 18. . . . . . . . . . . . . 18. . . . . . . . . . . . . 23. . . . . . . . . . . . . 27. . . . . . . . . . . . . 312 Формализм теории вложения . . . . . . . . . . . . .2.1 Описание поверхности в плоском пространстве .2.2 Связность и ковариантное дифференцирование . .2.3 Проекторы и вторая основная форма поверхности2.4 Кривизна . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5 Форма объема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6 Описание подмногообразий . . . . . . . . . . . . .2.7 Случай гиперповерхности . . . . . . . . . . . . . .2.8 Связь вторых основных форм . . . . . . . . . . . .2.9 Использование формализма для доказательстванекоторых формул . . . . . . . . . . .

. . . . . . .......................................................383841434547495152. . . . . . 533 Описание гравитации в виде теории вложения . . . . . . .3.1 Проблемы стандартного подхода к описанию гравитации3.2 Использование вложения для описания гравитации . . .3.3 Уравнения движения теории вложения . . . . . . .

. . .3.4 Эйнштейновские связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5 Сравнение уравнений теории вложенияс уравнениями Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . .3.6 "Лишние" решения в теории вложения . . . . . . . . . .26..........5959616771. . 73.

. 774 Канонический формализм для теории вложения . . . .4.1 Возможные варианты . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 Случай дополнительного наложения эйнштейновскихсвязей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3 Алгебра связей . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4 Действие теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5 Обсуждение существования дополнительных связейпервого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6 Переход к внешнему времени . . . . . . . . . . . . . .. .

. . 87. . . . 91. . . . 965 Теория разбиения . . . . . . .5.1 Гравитация как теория поля5.2 Переменные теории . . . .5.3 Действие теории . . . . . .5.4 Уравнения движения . . . .5.5 Канонический формализм и....... . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

. . .. . . . . . . . . . . . .дальнейшее развитие............. . . . 85. . . . 85. . . . 100. . . . 102..................1061061081121161226 Построение явных вложений . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.1 Цели и история . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .6.2 Метод построения поверхностей с заданной симметрией .6.3 Вложения метрик моделей Фридмана . . . . . . . . . . . .6.3.1 Закрытая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3.2 Открытая модель . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .6.3.3 Пространственно-плоская модель . . . . . . . . . .6.4 Классификация поверхностей с симметрией (3) × 1 .6.5 Вложения в шестимерное пространство . . . . . . . . . . .6.6 Глобальные вложения метрик невращающихся черных дыр6.6.1 Невращающиеся черные дыры с горизонтами . . .6.6.2 Гиперболические вложения . . . . . . . . .

. . . . .6.6.3 Спиральные вложения . . . . . . . . . . . . . . . . .6.6.4 Экспоненциальные вложения . . . . . . . . . . . . .6.6.5 Кубические вложения . . . . . . . . . . . . . . . . .6.6.6 Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................1251251291321331351371421511571571601621641661677 Соответствие между эффектами Хокинга и Унрув теории вложения .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.1 Соответствия квантовых эффектов . . . . . . . . . . . . . . . 16937.2 Эффекты Хокинга и Унру . . . . . . . . . . . . . .7.3 Тривиальное соответствие между эффектамиХокинга и Унру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.4 Соответствие между эффектами Хокинга и Унрупри использовании вложений . . . . . . . . . .

. .7.5 Примеры отсутствия соответствия . . . . . . . . .7.6 Общий вид гиперболического вложения метрикис горизонтом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.7 Доказательство существования соответствия . . .7.8 Анализ контрпримеров . . . . . . . . . . . . . . .7.9 Поверхности, на которых двухточечные функцииопределяются объемлющим пространством . . . .. . . .

. . 171. . . . . . 175. . . . . . 176. . . . . . 179. . . . . . 182. . . . . . 184. . . . . . 188. . . . . . 1918 "Исправленный" канонический формализмна световом фронте в квантовой теории поля . . . .8.1 Каноническое квантование в координатах светового8.2 "Исправление" квантового каноническогогамильтониана на с. ф. . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3 Случай неабелевой калибровочной теории . . . .

.8.4 Действие теории на поперечной решетке . . . . . .8.5 Фейнмановская теория возмущений при наличиипоперечной решетки . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.6 Продольные ультрафиолетовые расходимости . . .8.7 Анализ нерасходящихся диаграмм . . . . . . . . . .8.8 Схема процедуры перенормировки . . . . . . . . . .9 Непертурбативный расчет спектра массдвумерной КЭД . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.1 Массивная модель Швингера . . . . . . . . . . . .9.2 Отсутствие УФ расходимости . . . . . . . . . . . .9.2.1 Анализ общей расходимости в порядкахвыше второго . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2.2 Анализ расходимости во втором порядке .9.2.3 Отсутствие расходимости поддиаграмм . .9.3 Идея проведения "исправления" гамильтониана на9.4 Отличия при конечных − . . .

. . . . . . . . . . .4. . . . . 196фронта 196. . . . . 201. . . . . 207. . . . . 209....................215220222229. . . . . . 232. . . . . . 232. . . . . . 235. . .. . .. . .с. ф.. . ................2352392412412449.5 Сравнение светоподобной и лоренцевой теорийвозмущений . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .9.6 Снятие промежуточной УФ регуляризации . . .9.7 Возврат к фермионным переменным . . . . . . .9.8 Вычисление спектра масс связанных состояний9.9 Результаты вычислений . . . . . . . . . . . . . .9.9.1 Случай ˆ = = 0 . . . . . . . . .

. . . . .9.9.2 Случай ˆ = = . . . . . . . . . . . . .9.9.3 Случай промежуточных значений ˆ . . .9.10 Обсуждение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................246249251254258258263264267Заключение . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2725ВведениеИсследования, проводимые в данной диссертации, касаются описаниядвух из четырех известных в природе взаимодействий – гравитационногои сильного. В обоих случаях одним из главных методов исследования является канонический (т. е. гамильтонов) подход к описанию соответствующей теории.

Для гравитации, для которой до сих пор не существует общепризнанной квантовой теории, канонический формализм является одним из подходов, с помощью которого можно пытаться теорию проквантовать. Поэтому представляет особый интерес изучение именно канонического описания вариантов теории гравитации, в частности – отличныхот общей теории относительности (ОТО) Эйнштейна, в чем-то потенциально более пригодных для квантования, чем последняя. Для сильногоже взаимодействия, квантовая теория которого уже достаточно давно построена – это квантовая хромодинамика (КХД) – канонический подходявляется одним из способов непертурбативного (т.

е. выходящего за рамки теории возмущений) описания теории, что чрезвычайно актуально вданном случае из-за большого значения константы взаимодействия прине слишком высоких энергиях.В качестве исследуемой теории гравитации выбрана предложеннаяТ. Редже и К. Тейтельбоймом в работе [1] теория вложения. Эта теориясходна с теорией классической струны, поскольку в ней четырехмерноепространство-время понимается как некоторая искривленная поверхностьв плоском пространстве большего числа измерений. Именно наличие вданном подходе к описанию гравитации плоского пространства делаетэтот подход потенциально более пригодным для квантования, поскольку квантовые теории всех остальных известных взаимодействий былиуспешно построены именно при их формулировке в плоском пространстве Минковского.При непертурбативном описании сильного взаимодействия в качествеметода исследования выбрано предложенное П.

Дираком каноническое6квантование в координатах светового фронта (с. ф.) [2]. В этих координатах происходит резкое упрощение квантовой теории, поскольку в них физический вакуум оказывается (при использовании соответствующей регуляризации) совпадающим с математическим, вследствие чего построенный над ним фоковский базис может достаточно успешно использоватьсяпри вычислении спектра масс теории. Однако нефизичность координатс. ф. во многих случаях приводит к отличию возникающей на с. ф. теории от исходной лоренц-ковариантной, что требует проведения сравненияэтих двух теорий и, если необходимо – "исправления" теории на с. ф.Актуальность темы исследования.Одной из фундаментальных проблем современной теоретической физики, к настоящему времени остающихся нерешенными, является проблема построения квантовой теории гравитации. Прежде всего она необходима для создания единой картины, описывающей все известные взаимодействия.

Хотя встречается и точка зрения, что гравитация, тесно связанная с геометрией, занимает настолько особое место, что ее квантоватьне обязательно, попытки построения картины мира, включающей проквантованную материю и остающуюся классической гравитацию наталкиваются на серьезные противоречия, см., например, обзор [3].

Будучипостроена, квантовая гравитация должна позволить описывать процессы,происходящие при большой плотности материи, а значит, в том числе,и происходившие на ранних этапах развития вселенной, что необходимодля понимания природы ее возникновения. С оптимистической точки зрения можно даже надеяться, что появление квантовой гравитации можетустранить те внутренние трудности, которые присутствуют как в теориигравитации (сингулярности), так и в квантовой теории поля (ультрафиолетовые расходимости) [3].Поскольку попытки квантования гравитации в форме ОТО в стандартных переменных (метрика или тетрада) до настоящего времени не привели к построению общепризнанной квантовой теории гравитации (наданный момент, наверное, все же нельзя считать таковыми известныхглавных претендентов на это звание – петлевую теорию гравитации итеорию суперструн, см.

[3]), представляет интерес исследование альтернативных формулировок теории гравитации, возможно, более пригодныхдля квантования. Рассмотрение альтернативных формулировок могло быобладать дополнительным преимуществом, если бы в их рамках удалось7объяснить эффекты, приписываемые в настоящее время существованиютемной материи, природа которой все еще остается неясной.Одной из таких альтернативных формулировок является упомянутаявыше теория вложения.