Диссертация (Канонический формализм для описания гравитации в виде теории вложения и для теории поля на световом фронте), страница 5

Здесь сразу виднанеоднозначность рассматриваемой процедуры – подставить операторы вклассическое выражение можно разными способами из-за отсутствия ихкоммутативности (эту проблему обычно называют проблемой упорядочивания операторов). С точностью до этой неоднозначности теперь вопросˆ чтобы удовлеформулируется так: можно ли так подобрать оператор ,творить соотношениям (1.22)? И оказывается, что это несложно сделать:ˆ положить равным гамильтонианужно постулировать ККС (1.18), а ну с каким-то выбором упорядочивания операторов. Действительно, сучетом ККС коммутирование с оказывается эквивалентно дифференцированию по , опять же – с точностью до расстановки операторов, а коммутирование с – аналогично эквивалентно дифференцированию − по .Следует отметить, что проблема упорядочивания, которая в общемслучае заставляет воспринимать данное рассуждение только как некоторые наводящие соображения, исчезает, если гамильтониан рассматриваемой теории сводится к сумме двух вкладов, один из которых зависиттолько от импульсов , а другой – только от координат .

Такую структуру имеют, например, часто встречающиеся гамильтонианы вида( , ) =∑︁2 + ( ).(1.23)Таким образом, переход к операторам вместе с попыткой согласоватьтрансляционную инвариантность по времени и выполнение уравненийдвижения приводит к идее канонического квантования. Возникает, конечˆ вно, вопрос: можно ли доказать, что постулирование ККС и выбор виде является единственной возможностью согласования (т.

е. что выполнение соотношений (1.22) нельзя обеспечить каким-либо другим способом)? Однако, в том числе из-за проблемы упорядочивания, неясно, какосуществить такое доказательство.25Заметим также, что каноническая формулировка теории играет важную роль при использовании функционального интеграла для описанияквантовой теории. Для того чтобы этот функциональный интеграл описывал оператор эволюции, а в конечном счете – S-матрицу, его нужнозаписывать в виде интеграла именно по каноническим переменным [53].Очень важной при каноническом квантовании оказывается ситуация,когда рассматриваются обсуждавшиеся в предыдущем разделе системысо связями, потому что именно таковыми оказываются теории, описывающие все четыре фундаментальных взаимодействия (являясь, конечно,уже не механическими системами, а системами с бесконечным числомстепеней свободы).Оказывается, что при переходе к квантовой теории необходимо поразному поступать со связями первого и второго рода (см.

[48], глава 2).Связи второго рода еще до перехода к квантовой теории необходимо либо явно решить, исключив с их помощью в действии первого порядка(1.3) какие-то пары сопряженных друг другу канонических переменных , , в результате чего дифференцирования по ним уже не будут входитьв определение скобки Пуассона (1.5), либо добиться этого же путем замены скобок Пуассона на скобки Дирака.

Исключение части переменных сцелью решения связей второго рода широко используется при построенииканонического формализма в координатах светового фронта [4, 54–57].Связи же первого рода решать не обязательно. Как обсуждалось впредыдущем разделе, они входят в обобщенный гамильтониан со своимимножителями Лагранжа и их появление соответствует наличию в теориикалибровочной симметрии. Для такой системы с калибровочной симметрией можно перейти к квантовой теории и наложить связи первого родана вектора состояния: |Ψphys ⟩ = 0,(1.24)выделив таким образом в пространстве состояний физическое подпространство векторов |Ψphys ⟩.

Т. е. квантование происходит в "расширенном" пространстве состояний, из которого потом выделяется физическоеподпространство.Поскольку именно теории, обладающие с калибровочными симметриями, лежат в основе описания всех четырех известных фундаментальныхвзаимодействий, исследование возникающих при их канонической фор26мулировке связей и образуемых ими алгебр связей оказывается важнойзадачей для понимания соответствующих квантовых теорий. В главе 4такое исследование проводится для описания гравитации в форме теории вложения.

Следует отметить, что можно, тем не менее, явно решатьи связи первого рода. Для этого необходимо ввести соответствующее калибровочное условие, скобка Пуассона которого со связью отлична отнуля. В результате связь, бывшая раньше связью первого рода, вместес калибровочным условием образует пару связей второго рода и их ужеможно явно решать. Пример такой ситуации будет обсуждаться в следующем разделе.1.3Системы с симметрией относительноперепараметризации времениСреди теорий, обладающих калибровочной (т.

е. локальной) симметрией, с точки зрения построения канонического формализма особые свойства проявляют модели, обладающие симметрией относительно перепараметризации времени, т. е. замены → ′ = ′ ( ),(1.25)где ′ ( ) произвольная возрастающая функция. Поскольку такая симметрия является частью симметрии относительно произвольных замен координат, имеющейся как в ОТО, так и в теории вложения, которая будетисследоваться в главах 3-5, рассмотрим особенности канонического формализма в этом случае на примере достаточно простой модели – теорииодной релятивистской частицы.Действие релятивистской частицы имеет вид∫︁ √︁(1.26) = − ˙ ( )˙ ( )(здесь и далее, как обычно, по повторяющимся дважды индексам подразумевается суммирование), где – метрика пространства Минковскогос сигнатурой (+, −, −, −), в котором рассматривается частица, – играющая роль времени частицы величина, параметризующая точки ее мировойлинии ( ), а точка обозначает дифференцирование по .

Масса частицы27для простоты выбрана единичной, так что действие с точностью до знака сводится к длине мировой линии. Уравнения движения для действия(1.26) имеют вид˙ = 0,(1.27)˙ ≡√ ˙ ˙ (1.28)где величинапредставляет собой 4-скорость. Как легко заметить, она по построениюнормирована: = 1,(1.29)вследствие чего четыре уравнения движения (1.27) оказываются связаныалгебраическим тождеством ˙ = 0.Запишем хорошо известный для этой теории канонический формализм. Имеем обобщенный импульс == − . ˙ (1.30)Из этого соотношения с учетом свойства (1.29) возникает первичная связь = − 1 ≈ 0.(1.31)Вычисляя по формуле (1.11) выражение для гамильтониана несложно обнаружить, что он оказывается равен нулю: = ˙ +√︀˙ ˙ = 0.(1.32)Такой результат является стандартным для любой теории, обладающей симметрией относительно перепараметризации времени, в том числе и для ОТО, и для теории вложения (по крайней мере в случаепространственно-замкнутой вселенной, потому что вклад трехмерно бесконечно удаленной области требует дополнительного аккуратного обсуждения).

Это связано с тем, что гамильтониан должен являться генераторомсдвигов по времени, а если приращение времени определено неоднознач28но из-за возможности делать преобразование (1.25), то отличие гамильтониана от нуля приводило бы к противоречию.Добавляя, согласно общей схеме, к гамильтониану (1.32) обнаруженную первичную связь с множителем Лагранжа, получаем обобщенныйгамильтониан в виде gen = .(1.33)Как легко заметить, условия непротиворечивости (см. раздел 1.1) выполняются автоматически, так что вторичных связей не возникает. Единственная имеющаяся связь , естественно, имеет равную нулю скобкуПуассона сама с собой, так что она является связью первого рода поклассификации Дирака.Калибровочная симметрия, генератором которой является даннаясвязь – это исходная симметрия относительно перепараметризаций времени (1.25): = {, } = 2 = −2 ,(1.34)ˆ ) обобщенпоскольку при малом преобразовании такого вида ′ = + (ная координата ( ) меняется на величину√︀ = ( ) − ( ′ ) = −ˆ ˙ = −ˆ ˙ ˙ .(1.35)Легко заметить, что соответствующее построенной канонической формулировке теории действие первого порядка∫︁∫︁(1)gen = ( ˙ − ) = ( ˙ − ( − 1))(1.36)остается инвариантным относительно перепараметризаций времени(1.25) при некотором одновременном преобразовании являющегося полностью произвольным множителя Лагранжа .В итоге получаем, что динамика рассматриваемой теории определяется обобщенным гамильтонианом, пропорциональным связи.

Это приводит к серьезным трудностям при понимании квантования такой системы.Согласно (1.24) на физическом подпространстве пространства состоянийобобщенный гамильтониан (1.34) будет давать ноль, вследствие чего впредставлении Шредингера с изменением времени не будут меняться29как операторы, так и, в соответствии с уравнением Шредингера, векторасостояния, т.

е. будет отсутствовать какое-либо развитие. Это означает,что параметр не может считаться физическим временем, и его необходимо определять из каких-то дополнительных соображений. Аналогичнаяситуация имеет место для ОТО и приводит к известной проблеме выборавремени при квантовании гравитации, см. раздел 3.1.Как говорилось в предыдущем разделе, существует возможность решить явно в том числе и связи первого рода, но для этого необходимо использовать дополнительное условие, нарушающее калибровочнуюсимметрию, т. е.