Диссертация (Канонический формализм для описания гравитации в виде теории вложения и для теории поля на световом фронте), страница 2

Плоский фон, естественно появляющийся притаком подходе, может облегчить квантование теории, а решения возникающей теории, отличающиеся от решений уравнений Эйнштейна, необходимо протестировать на возможность их интерпретации как соответствующих наличию темной материи. На пути к квантованию гравитациив форме теории вложения (прямое исследование самого квантования выходит за рамки темы данной диссертации) необходимо исследовать канонический формализм для этой теории. Для лучшего понимания перспектив квантования теории вложения полезно также исследовать возможныеслучаи связи между квантовыми эффектами на поверхности вложения ив плоском объемлющем пространстве.

Поскольку положительный опытквантования всех взаимодействий кроме гравитационного имеется приформулировке теории в виде некоторой теории поля в плоском пространстве, является также полезным записать именно в такой форме и теориювложения.Еще одной из важнейших нерешенных проблем теоретической физикиявляется описание квантовой теории поля при большой константе связи,где неприменима теория возмущений (т.

в.), что актуально для КХД принизких энергиях. Существующие непертурбативные методы расчета всееще не могут обеспечить достаточно высокой точности и (в особенностиэто касается вычислений с использованием решеток) являются весьматрудоемкими. Поэтому представляет интерес исследование непертурбативных методов, при использовании которых есть основания надеяться надостаточно быстрое получение хороших результатов. Одним из таких методов является вышеупомянутое каноническое квантование на с. ф. (см.обзоры [4, 5]), аргументом в пользу которого является простота описанияфизического вакуума.До какого-то времени в рамках такого подхода не проводилось какойлибо проверки соответствия возникающей теории на с.

ф. и исходнойлоренц-ковариантной теории, хотя примеры показывают, что между этими теориями могут возникать отличия, заметные даже в низших порядках т. в. [6, 7]. Метод проведения указанной проверки был предложенв [8,9] и представляет интерес изучить, к каким результатам приводит егоприменение при проведении непертурбативного расчета спектра масс, в8особенности при больших константах взаимодействия, при которых т. в.заведомо неверна. Это особенно интересно, поскольку указанный методиспользует т. в.

и возможность с его помощью выйти из области ее применимости будет говорить о хороших перспективах при его дальнейшемприменении.Разработанность темы исследования.После работы Т. Редже и К. Тейтельбойма [1] (1975), в которой былопредложено описание гравитации в виде теории вложения, и вышедшейвскоре после нее, критически ее осмысливающей, статьи С. Дезера с соавторами [10] (1976), различные варианты теории вложения использовались для описания гравитации М. Павшичем [11] (1985), В. Тапиа [12](1989), М.

Майа [13] (1989), И. Бандосом [14] (1997) и другими авторами. Ссылки на большое количество работ по этой тематике можно найтив обзоре [15]. Многие вопросы теории вложения, в том числе и ее квантование, а также возможные следствия для космологии, обсуждались всерии работ А. Дэвидсона с соавторами (1996-2005, [16–18] и др.). Сравнительно недавно новый вариант описания гравитации на основе теориивложения был предложен Л.Д. Фаддеевым [19] (2011), где в качестве независимых переменных было предложено использовать не саму функциювложения, а ее производные.

В данной диссертации исследование уравнений теории вложения проводится в главе 3 с использованием формализма, изложенного в главе 2. В главе 5 предлагается новый вариант теориивложения, имеющий вид некоторой теории поля в плоском объемлющемпространстве.Исследовались различные подходы к каноническому описанию теории вложения [12, 16, 20, 21], дополнительной сложностью для развитиякоторых является наличие высших производных по времени в исходномдействии теории. В исходной работе [1] была сделана попытка записатьканонический формализм для теории вложения с дополнительным наложением связей, приводящих к отсутствию лишних решений. Однакокорректно это не было сделано из-за ошибки, допущенной при записиодной из связей. В диссертации правильный вид связей найден в главе 4,посвященной каноническому формализму теории.При исследовании теории вложения среди прочих возникает задачапоиска явного вида вложений для физически интересных решений теории гравитации, например для решений Фридмана и метрик черных дыр.9Эту проблему начали изучать еще задолго до появления теории вложения, рассматривая ее как математическую задачу, решение которой можетпомочь классифицировать римановы пространства и помочь исследоватьих структуру.

Для решений Фридмана явный вид вложений в плоское 5мерное пространство был найден Робертсоном [22] (1933), для метрикиШварцшильда вложения в плоское 6-мерное пространство были предложены Казнером [23] (1921), Фронсдалом [24] (1959) и др., однако какоголибо регулярного метода построения вложений известно не было. Такжене было известно ни одного вложения для метрики заряженной чернойдыры, гладкого при всех значениях радиуса. Решению этих проблем посвящена глава 6 диссертации.В работах С. Дезера и О.

Левина [25–27] (1997-1999), а также в большом количестве последовавших за ними работах (см. ссылки в разделе7.4), было замечено, что для многих вложений пространств с горизонтом, в первую очередь – для черных дыр, параметры излучения Хокингасовпадают с параметрами излучения Унру, возникающего из-за того, чтопокоящийся относительно черной дыры наблюдатель с точки зрения объемлющего пространства оказывается движущимся равноускоренно. Этотфакт может говорить о наличии связи между квантовыми эффектами вовложенном пространстве-времени и в объемлющем пространстве.

Аналогичная связь обнаруживается также при сравнении двухточечных функций Вайтмана и функций Грина [28–30]. В главе 7 диссертации изучается,какими свойствами должны обладать используемые вложения, чтобы указанные связи возникали.Использование канонического квантования в координатах с. ф. [2] вкачестве непертурбативного описания моделей квантовой теории поля,несмотря на имеющиеся в этом подходе трудности, продолжает привлекать к себе внимание в течение длительного времени. Это связано с существенным преимуществом подхода, заключающемся в простоте описаниявакуумного состояния [31]. Следует отметить, что аналогичный канонический подход в лоренцевых координатах к заметному успеху не приводит [32, 33].Кроме указанного преимущества, переход к квантованию в координатах с.

ф. приносит и дополнительные трудности, связанные с тем, что с. ф.является характеристической поверхностью уравнений теории и возникает дополнительная "светоподобная" сингулярность, регуляризация которой нарушает лоренцеву симметрию, см. обзор [4]. Многие интерес10ные результаты были получены при использовании регуляризации этойсингулярности, заключающейся во введении периодических граничныхусловий по светоподобному направлению − [34, 35].

Такая регуляризация (ее использование обычно называют "методом дискретизованногоквантования на световом фронте", DLCQ в англоязычной литературе) дополнительно удобна тем, что для калибровочных теорий она оказываетсякалибровочно-инвариантной.Данным методом исследовался как ряд двумерных моделей (так называемая модель "синус-Гордон" [36], модель Юкавы [37], двумернаяквантовая электродинамика (КЭД) [38], двумерная КХД [39]), так и реалистичные четырехмерные калибровочные теории – КЭД и КХД. Средибольшого количества работ, посвященных этим последним теориям, можно отметить работы [40–42]. Для калибровочных теорий было замечено,что при каноническом квантовании на с. ф.

оказывается необходимымиспользовать калибровку − = 0 или близкие к ней, в противном случае в теории возникают связи второго рода, при решении которых нужнообращать ковариантную производную − = − + − [35, 43]. Общееколичество работ, посвященных квантованию теории поля в координатахс. ф. очень велико, см. обзоры [4, 5] и цитированную там литературу.Как уже упоминалось выше, теория, возникающая в результате квантования на с.

ф., может оказаться неэквивалентна исходной теории в лоренцевых координатах [6,7] и был предложен метод проверки такой эквивалентности (а также, при необходимости – "исправления" теории) путеманализа, проводимого во всех порядках т. в. [8, 9] (см. подробности вразделе 8.2). Метод был успешно применен к скалярной теории и модели Юкавы [8, 9], к двумерной КЭД [9, 44], а также к четырехмернойКХД [9, 45], однако полученный гамильтониан КХД на с. ф. оказалсяочень сложным и содержащим большое количество неопределенных параметров.

Возможность преодоления этой трудности обсуждается в главе 8. В главе 9 рассматривается применение указанного метода к двумерной КЭД на пути, позволившем снять регуляризацию в результирующемгамильтониане на с. ф., и проводится непертурбативный расчет спектрамасс теории.Целями данной работы являются исследование, в том числе с помощью канонического формализма, подхода к описанию гравитации врамках теории вложения, а также дальнейшая разработка предложенно11го в кандидатской диссертации автора метода построения "исправленного" канонического гамильтониана на световом фронте. В теории вложения предполагается, что искривленное четырехмерное пространствовремя является поверхностью в плоском пространстве большего числаизмерений, что делает данный подход к описанию гравитации потенциально более пригодным для квантования.

Канонический гамильтонианна с. ф. можно использовать для проведения непертурбативных расчетовспектра масс теории, что актуально при больших константах взаимодействия, но, поскольку теория на с. ф. может отличаться от исходной теории в лоренцевых координатах, перед таким использованием необходимопроводить "исправление" этого гамильтониана.Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи.∙ Разработать математический формализм, удобный для проведениявычислений в теории вложения.∙ Провести сравнение уравнений движения теории вложения с уравнениями Эйнштейна и исследовать условия существования "лишних" решений, уравнениям Эйнштейна не удовлетворяющих.∙ Построить канонический формализм для теории вложения с дополнительным наложением эйнштейновских связей и найти образуемую ими алгебру, доказав таким образом, что они по классификации Дирака являются связями первого рода.∙ Сформулировать вариант теории вложения, имеющий вид некоторой теории поля в плоском объемлющем пространстве.∙ Разработать регулярный метод построения явных вложений для римановых пространств, обладающих достаточно большой симметрией.∙ Исследовать, при каких свойствах используемых вложений возникает связь между квантовыми эффектами во вложенном пространствевремени и в объемлющем пространстве, в частности – соответствиемежду эффектами Хокинга и Унру.∙ Исследовать возможность применения метода построения "исправленного" канонического гамильтониана на световом фронте при12проведении вычислений для четырехмерных калибровочных теорий.∙ Построить "исправленный" канонический гамильтониан на световом фронте для двумерной квантовой электродинамики, позволяющий явно перейти к пределу снятия используемой ультрафиолетовой регуляризации.∙ Провести на основе такого гамильтониана непертурбативный расчет спектра масс теории и сравнить его с известными результатамирешеточных расчетов.Основные положения, выносимые на защиту.1.