Автореферат (Исследование новых эффектов в стационарных и нестационарных системах нескольких тел), страница 3

1993. Vol. 15. P. 15.8Òðåòèé ðàçäåë ïîñâÿù¼í ïîñòðîåíèþ äèñêðåòíûõ àíàëîãîâ óðàâíåíèé, ïðèâîäÿòñÿ îñíîâíûå ïðèíöèïû, ïîçâîëÿþùèå ðåàëèçîâàòü ïðîöåäóðó ðåøåíèÿ íà îñíîâåáûñòðûõ âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé. Ê òàêèì ïðèíöèïàì ñëåäóåò îòíåñòè èñïîëüçîâàíèå ëîêàëüíûõ áàçèñîâ, ìåòîäà îðòîãîíàëüíûõ êîëëîêàöèé, ïðåäñòàâëåíèå ïîëíîãî ìîìåíòà, ðàññìîòðåííîå ïîäðîáíåå âî âòîðîì ðàçäåëå.  ñîâîêóïíîñòè, áëàãîäàðÿëîêàëüíîé ñòðóêòóðå îïåðàòîðîâ, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèÿ, è ëîêàëüíîé ñòðóêòóðå áàçèñà, èñïîëüçóåìîãî äëÿ äèñêðåòèçàöèè, óäà¼òñÿ ïîñòðîèòü êîíå÷íîìåðíûå àíàëîãèîïåðàòîðîâ Ôàääååâà, ïðåäñòàâëåííûå ðàçðåæåííûìè ìàòðèöàìè. ÷åòâ¼ðòîì ðàçäåëå ïðèâîäèòñÿ îáñóæäåíèå ïðàâîãî ïðåäîáóñëàâëèâàíèÿ äèñêðåòèçîâàííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ôàääååâà.

Àâòîð ïðåäëîæèë ïåðåîïðåäåëèòü êîìïîíåíòû âîëíîâîé óíêöèè â òåðìèíàõ äåéñòâèÿ ðåçîëüâåíòû êëàñòåðíîãî ãàìèëüòîíèàíà íà èñòî÷íèêè, è òåì ñàìûì âìåñòî ïîèñêà ðåøåíèÿ â îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà,ãäå îòëè÷àþòñÿ îò íóëÿ êîìïîíåíòû âîëíîâîé óíêöèè, ðåøàòü óðàâíåíèÿ íà õîðîøîëîêàëèçîâàííûå èñòî÷íèêè.

Òàêîå ïðåäîáóñëàâëèâàíèå àíàëîãè÷íî ïåðåõîäó îò óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ê óðàâíåíèþ, ñîïðÿæåííîìó ê óðàâíåíèþ Ëèïïìàíà-Øâèíãåðàäëÿ âîëíîâîé óíêöèè, è ëîêàëèçàöèÿ èñòî÷íèêîâ â êîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå èìååò òó æå ïðèðîäó, ÷òî è äëÿ âàéíáåðãîâñêèõ ñîñòîÿíèé.

Ñòðóêòóðà îïåðàòîðàÔàääååâà, îäíàêî, ïîçâîëÿåò ðàñïðîñòðàíèòü ñâîéñòâà ëîêàëèçîâàííîñòè ðåøåíèé íàñëó÷àé òð¼õ ÷àñòèö, ÷åãî íåâîçìîæíî äîáèòüñÿ ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé ËèïïìàíàØâèíãåðà. ïÿòîì ðàçäåëå ïåðâîé ãëàâû îáñóæäàåòñÿ ïðèìåíåíèå àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíûõ ñåòîê äëÿ ðåøåíèÿ òð¼õ÷àñòè÷íîé çàäà÷è íà îñíîâå óðàâíåíèé Ôàääååâà.Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé íà îñíîâå ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèéïî áàçèñàì, îïðåäåë¼ííûì â òåðìèíàõ ñåòîê, êàê, íàïðèìåð, â èñïîëüçóåìîé ìåòîäèêå ïîèñêà ðåøåíèé â îðìå ýðìèòîâà ñïëàéíà, ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå îïðåäåëÿåòñÿïóò¼ì ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé íà ëèíåéíûå êîýèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ óíêöèè ïî íåêîòîðîìó áàçèñó. Îäíàêî, òàêîå ðåøåíèå íåÿâíîçàâèñèò è îò íàáîðà íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê ñåòêè.

 ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷¼òàõ íåðàâíîìåðíîñòü ñåòêè, êàê ïðàâèëî, âûáèðàåòñÿ ýìïèðè÷åñêè.Îäíàêî, òàêîé, ýìïèðè÷åñêèé ïîäáîð íåðàâíîìåðíîé ñåòêè òðåáóåò íå òîëüêî ñóùåñòâåííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò, íî è çàòðàò âðåìåíè êâàëèèöèðîâàííîãî èññëåäîâàòåëÿ. Àâòîðîì âïåðâûå ïðåäëîæåíî è îïðîáîâàíî èñïîëüçîâàíèå àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíûõ ñåòîê4 â ðåøåíèè òð¼õ÷àñòè÷íîé çàäà÷è.

Òàêèå ñåòêè îêàçûâàþòñÿîñîáåííî ïîëåçíûìè èìåííî ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé Ôàääååâà â ñèëó àêòîðèçóåìîñòè àñèìïòîòèêè ðåøåíèé. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî èñïîëüçîâàíèå àñèìïòîòè÷åñêèîïòèìàëüíûõ ñåòîê äëÿ âîñïðîèçâåäåíèÿ äâóõ÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî äî äâóõ ïîðÿäêîâ âåëè÷èíû óìåíüøèòü ÷èñëåííóþ ïîãðåøíîñòü ðåøåíèéòð¼õ÷àñòè÷íîé çàäà÷è. Íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î ïðåèìóùåñòâàõ èñïîëüçîâàíèÿàñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíûõ ñåòîê äà¼ò ðèñóíîê 1, íà êîòîðîì ïðèâåäåíû ãðàèêè çàâèñèìîñòè ýíåðãèè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé òðèìåðà 4He3 , âû÷èñëåííûõ íà áàçèñåñïëàéíîâ S3,2, îò ÷èñëà òî÷åê ñåòêè ïî êëàñòåðíîé êîîðäèíàòå.Òàêèì îáðàçîì, â ïåðâîé ãëàâå äèññåðòàöèè îïèñàíû âûñîêîýåêòèâíûå ìåòîäû÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ôàääååâà, ïîçâîëèâøèå àâòîðó ïðîâåñòè øèðîêîå èñ4 Ñì.Carey G.F., Dinh H.T., Grading funtions and mesh redistribution // J. Numer. Anal.

1985. Vol. 22. P. 1028.9EExcited , a.u.-7.1e-09Exponential gridOptimized grid-7.15e-09-7.2e-09EGround , a.u.-3.975e-07-3.98e-07-3.985e-07-3.99e-070.0e+005.0e-081.0e-0741.5e-071/Nèñ. 1: Ýíåðãèè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé He3 , âû÷èñëåííûõ íà áàçèñå ñïëàéíîâ S3,2 êàêóíêöèè ÷èñëà òî÷åê ñåòêè ïî êëàñòåðíîé êîîðäèíàòå.10ñëåäîâàíèå òð¼õ÷àñòè÷íûõ êâàíòîâûõ ñèñòåì â îêðåñòíîñòè äâóõ÷àñòè÷íîãî ïîðîãàâ ðåæèìå, áëèçêîì ê óíèâåðñàëüíîìó.Ñîäåðæàíèå ïåðâîé ãëàâû îòðàæåíî â ðàáîòàõ [14℄Ñîäåðæàíèå è îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ãëàâû 2åàëèçîâàííàÿ ýåêòèâíàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ñõåìà äîëæíà áûòü îòëàæåíà íàäîñòàòî÷íî ñëîæíîì ïðèìåðå.

Òùàòåëüíîñòü ïðîâåðêè òàêîé ñõåìû äîëæíà óáåäèòüíàñ â íàä¼æíîñòè èñïîëüçóåìîãî ïîäõîäà. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî íå òîëüêî ñîïîñòàâèòü âíîâü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñ èçâåñòíûìè äàííûìè, íî è âûÿâèòü èñòî÷íèêèâîçìîæíûõ ðàñõîæäåíèé. Ýòèì âîïðîñàì ïîñâÿùåí ïåðâûé ðàçäåë âòîðîé ãëàâû. Âîâòîðîì ðàçäåëå îïèñàíû ðåçóëüòàòû øèðîêîãî ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ òð¼õ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì â ðåæèìàõ, áëèçêèõ ê óíèâåðñàëüíîìó, êîòîðûå ïðèâåëè ê âûÿâëåíèþñâÿçè ìåæäó äâóìÿ âàæíûìè àêòàìè êâàíòîâîé çàäà÷è íåñêîëüêèõ òåë: ëèíèè Ôèëëèïñà è ýåêòà Åèìîâà. ïåðâîì ðàçäåëå ãëàâû 2 ïðèâîäèòñÿ îáîñíîâàíèå âûáîðà ñèñòåìû òð¼õ àòîìîâãåëèÿ â êà÷åñòâå òåñòîâîãî ïðèìåðà äëÿ âåðèèêàöèè ðàçðàáîòàííîãî ïðîãðàììíîãîêîäà, ðåøàþùåãî çàäà÷ó òð¼õ òåë íà îñíîâå óðàâíåíèé Ôàääååâà.

Òàêîé âûáîð îáóñëîâëåí áîãàòñòâîì ïîòåíöèàëüíûõ ìîäåëåé äëÿ ýòîé ñèñòåìû, ñóùåñòâåííûì êîëè÷åñòâîì èçâåñòíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ, à òàêæå èçâåñòíûìè òðóäíîñòÿìèïðîâåäåíèÿ äëÿ íå¼ òî÷íûõ ðàñ÷¼òîâ. Âàæíåéøèì âîïðîñîì â ïðîâåäåíèè îáðàçöîâûõ âû÷èñëåíèé ÿâëÿåòñÿ âûÿñíåíèå èçè÷åñêèõ ïðåäåëîâ ïîãðåøíîñòåé èñïîëüçóåìîé ìîäåëè: êàê íåîïðåäåë¼ííîñòü èçè÷åñêèõ êîíñòàíò ñîîòíîñèòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìèâû÷èñëåíèé?Àâòîðîì ïðîàíàëèçèðîâàíû ïîãðåøíîñòè â îïðåäåëåíèè ñòàíäàðòíûõ ìîäåëüíûõïîòåíöèàëîâ. Ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå ñèñòåìû äâóõ àòîìîâ 4He âàðèàöèÿ êîíñòàíòûñâÿçè â ïÿòîé çíà÷àùåé öèðå âåä¼ò ê èçìåíåíèþ ýíåðãèè ñâÿçè è äëèíû ðàññåÿíèÿ âî âòîðîé.

Àíàëîãè÷íûé àíàëèç ïðîâåä¼í äëÿ ñèñòåì òð¼õ àòîìîâ ãåëèÿ. Îòìå÷åíî,÷òî èñïîëüçîâàíèå îêðóãë¼ííîé êîíñòàíòû ñâÿçè mkh̄ ≈ 12.12 KA2 âìåñòî çíà÷åíèÿh̄= 12.11928 ± 0.00002 KA2 , âû÷èñëåííîãî íà îñíîâå ðåêîìåíäîâàííûõ çíà÷åíèémkèçè÷åñêèõ êîíñòàíò, âî ìíîãèõ ïðåäûäóùèõ ðàñ÷¼òàõ âåä¼ò ê çàìåòíûì èçìåíåíèÿìðåçóëüòàòîâ òð¼õ÷àñòè÷íûõ ðàñ÷¼òîâ. åçóëüòàòû ñðàâíåíèÿ âû÷èñëåíèé ïðèâåäåíûâ òàáëèöå 1. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû äëÿ àñèììåòðè÷íîãî òðèìåðà 4He2 3He ïðèâåäåíû â òàáëèöå 2.2B2BÒàáëèöà 1: Ýíåðãèè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé 4He3 è äëèíà ðàññåÿíèÿ àòîìà íà äèìåðåäëÿ ðàçíûõ ïîòåíöèàëüíûõ ìîäåëåé, âû÷èñëåííûå ñ òî÷íîé è îêðóãë¼ííîé êîíñòàíòàìè ñâÿçè.

 ñêîáêàõ óêàçàíî îòíîñèòåëüíîå ðàçëè÷èå ìåæäó ðåçóëüòàòàìè äëÿòî÷íîé è îêðóãë¼ííîé êîíñòàíòû ñâÿçè.PotentialHFD-B(He)LM2M2TTYHFD-B3-FCIIh̄2mkB≡ 12.12E3 , mKKA2-132.968 (0.08%)-126.394 (0.08%)-126.431 (0.08%)-131.264 (0.08%)E3∗ ,mK-2.7342 (0.3%)-2.2711 (0.3%)-2.2842 (0.3%)-2.6164 (0.3%)11A121.86 (0.06%)115.22 (0.15%)115.70 (0.14%)120.76 (0.08%)a12 ,h̄2mkBE3 ,A2≡ 12.11928 KmK E3∗ , mK a12 ,-133.075-126.499-126.537-131.163-2.74231-2.27844-2.29159-2.60786A121.93115.39115.86120.86Òàáëèöà 2: Ýíåðãèÿ ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ 4 He2 3He è äëèíà ðàññåÿíèÿ àòîìà íà äèìåðå 3 He-4He2 .  ñêîáêàõ ïîêàçàíû îòíîñèòåëüíûå ñìåùåíèÿ ìåæäó ðåçóëüòàìè, ïîëó÷åííûìè ñ òî÷íîé è îêðóãë¼ííîé êîíñòàíòîé ñâÿçè.h̄h̄≡ 12.12 K≡ 12.11928 KA2A2mkmkPotentialE3 , a.u.a12 , a.u.E3 , a.u.a12 , a.u.HFD-B(He) -5.3815E-8 (0.3%) 36.18 (0.03%) -5.3958E-8 36.17LM2M2-4.5355E-8 (0.3%) 36.91 (0.03%) -4.5488E-8 36.90TTY-4.5270E-8 (0.3%) 37.23 (0.03%) -4.5404E-8 37.24HFD-B3-FCII -5.1442E-8 (0.3%) 36.57 (0.03%) -5.1582E-8 36.5622BBÒàêæå îáíàðóæåíî çàìåòíîå îòêëîíåíèå ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷¼òîâ äëÿ ïîòåíöèàëàTTY.

Îíî îáúÿñíÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèåì ðàçíûõ çíà÷åíèé ïîñòîÿííîé Áîëüöìàíà âðàçëè÷íûõ ðàáîòàõ.  ÷àñòíîñòè, àâòîðàìè ïîòåíöèàëà èñïîëüçóåòñÿ çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé Áîëüöìàíà 3.1669×10−6 a.u. K−1, ÷òî îòëè÷àåòñÿ îò ðåêîìåíäîâàííîé êîíñòàíòû 3.1668154×10−6 a.u. K−1 â ïÿòîé çíà÷àùåé öèðå. Èñïîëüçîâàíèå ðàçíûõ çíà÷åíèé ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ ðåçóëüòàòîâ äâóõ- è òð¼õ÷àñòè÷íûõ ðàñ÷¼òîâ â òðåòüåéçíà÷àùåé öèðå.Ïðåäñòàâëåííûå ðåçóëüòàòû äåìîíñòðèðóþò ñõîäèìîñòü â ïðåäåëàõ 5 çíà÷àùèõöèð.

åçóëüòàòû ñîãëàñóþòñÿ ñ ðàíåå îïóáëèêîâàííûìè ðàáîòàìè è ñëåäóþò óíèâåðñàëüíîìó, íåçàâèñÿùåìó îò ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ, òðåíäó. Ìîæíî îòìåòèòüçíà÷èòåëüíîå âëèÿíèå ìàëûõ âàðèàöèé êîíñòàíòû ñâÿçè íà òð¼õ÷àñòè÷íûå íàáëþäàåìûå: âàðèàöèÿ êîíñòàíòû ñâÿçè â ïðåäåëàõ 0.006% ïðèâîäèò ê ñäâèãó â 0.5% ýíåðãèèäèìåðà, 0.3% - ýíåðãèè âîçáóæä¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ ñèììåòðè÷íîãî òðèìåðà è ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ íåñèììåòðè÷íîãî òðèìåðà, èçìåíåíèå â 0.2% äëÿ äëèíû ðàññåÿíèÿ äâóõàòîìîâ ãåëèÿ 4He-4 He, 0.06%-0.15% äëÿ äëèíû ðàññåÿíèÿ àòîìà íà äèìåðå 4He-4 He2,0.08% äëÿ ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ñèììåòðè÷íîãî òðèìåðà, è 0.03% äëÿ äëèíûðàññåÿíèÿ â ñòîëêíîâåíèÿõ 3 He-4He2 . Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïîñêîëüêó ìíîãèå ìîäåëüíûå ïîòåíöèàëû îïðåäåëåíû â åäèíèöàõ òåìïåðàòóðû, òî÷íîñòü êîíñòàíòû ñâÿçè ïðèïåðåñ÷åòå â àòîìíûå åäèíèöû ñîñòàâëÿåò 0.0002%, è èçè÷åñêè îñìûñëåííûé ïðåäåëòî÷íîñòè äëÿ âû÷èñëåíèé ñ òàêèìè ìîäåëüíûìè ïîòåíöèàëàìè ñîñòàâëÿåò 5 çíà÷àùèõ öèð.

Òàêàÿ òî÷íîñòü áûëà äîñòèãíóòà â ïðåäñòàâëåííûõ âû÷èñëåíèÿõ.Âî âòîðîì ðàçäåëå ãëàâû ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ íîâûõ çàêîíîìåðíîñòåé, ñâÿçûâàþùèõ ïàðàìåòðû òð¼õ÷àñòè÷íîé ñèñòåìû è äâóõ÷àñòè÷íûõ ïîäñèñòåì â îêðåñòíîñòè äâóõ÷àñòè÷íîãî ïîðîãà. Äëÿ èõ ïîíèìàíèÿ íåîáõîäèìî äàòü íåêîòîðûå áàçîâûå, êà÷åñòâåííûå ïðåäñòàâëåíèÿ îá óíèâåðñàëüíîì, åèìîâñêîì ðåæèìåâçàèìîäåéñòâèÿ â ñèñòåìå òð¼õ òåë, à òàêæå ïðèâåñòè ñâåäåíèÿ î âàæíîì ýìïèðè÷åñêîì ñîîòíîøåíèè, èçâåñòíîì êàê ëèíèÿ Ôèëëèïñà.Ýåêò Åèìîâà, îïèñàííûé â 1970 ãîäó5 , ïðîÿâëÿåòñÿ â òð¼õ÷àñòè÷íûõ ñèñòåìàõ, êîãäà âçàèìîäåéñòâèå â ïàðíûõ ïîäñèñòåìàõ íàñòîëêî îñëàáëÿåòñÿ, ÷òî äâóõ÷àñòè÷íîå ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå ïðåâðàùàåòñÿ â âèðòóàëüíûé óðîâåíü.

Åèìîâ ïîêàçàë, ÷òî ïðè òàêîì âçàèìîäåéñòâèè, â òð¼õ÷àñòè÷íîé ñèñòåìå ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷5 Emov,V., Energy levels arising from resonant two-body fores in a three-body system // PhysisLetters B. 1970. Vol. 33. P. 563-564.12íîå ÷èñëî ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé. Äåéñòâèòåëüíî, â îêðåñòíîñòè òàêîãî ðåæèìà äëèíàðàññåÿíèÿ â ïàðíîé ïîäñèñòåìå ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, è ïðè îñëàáëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ âîëíîâàÿ óíêöèÿ ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ äàëåêî çàïðåäåëû îáëàñòè ëîêàëèçàöèè ïîòåíöèàëà. Êàê ïîêàçàíî Åèìîâûì, ýåêòèâíîåâçàèìîäåéñòâèå â òð¼õ÷àñòè÷íîé ñèñòåìå â ýòîì ñëó÷àå âåä¼ò ñåáÿ êàê ïðèòÿãèâàþùèé ïîòåíöèàë R−2 (R ãèïåððàäèóñ ñèñòåìû), ïîääåðæèâàþùèé áåñêîíå÷íîå ÷èñëîñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé.

Åñëè äëèíà ðàññåÿíèÿ êîíå÷íà, òî äåéñòâèå òàêîãî ïîòåíöèàëà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî äî ðàññòîÿíèé ïîðÿäêà äëèíû äâóõ÷àñòè÷íîãîðàññåÿíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, äëèíà ðàññåÿíèÿ â äâóõ÷àñòè÷íîé ïîäñèñòåìå îêàçûâàåòñÿ åäèíñòâåííûì ðàçìåðíûì ïàðàìåòðîì, êà÷åñòâåííî âëèÿþùèì íà ñâîéñòâà ñèñòåìû. Äåòàëè êîðîòêîäåéñòâóþùåãî âçàèìîäåéñòâèÿ îêàçûâàþòñÿ ñóùåñòâåííûìèäëÿ îïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé ýíåðãèé ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé òð¼õ÷àñòè÷íîé ñèñòåìû, íî íå îêàçûâàþò âëèÿíèÿ íà èõ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå. Îòíîøåíèåýíåðãèéäâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþpEi /Ei+1 ≈ 22.7.