Автореферат (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных), страница 6

Пусть ∂T = H ∪ S.Построим функцию Грина G(x, y) задачи Дирихле в T методом отражений. Если 0 < β < 1 и точка x лежит на оси симметрии полушара нарасстоянии βR от его центра, то нормальная производная функции Грина повнутренней нормали к поверхности полушара имеет вид2Rβ11y ∈ H,σn|x−y|n − (β|x∗ −y|)n ,(49)k(x, y) = 11R2σn 1 − β|x−y|n − |x−y|n , y ∈ S,где x ∈ T , x∗ — точка, симметричная x относительно сферы S, x и x∗ — точки,симметричные x и x∗ относительно плоскости H.Пусть область D является многогранником.

Для каждой внутренней точки области определим d(x) — расстояние от x до границы области D и точкуx0 ∈ ∂D, ближайшую к x . В качестве подобласти T (x) выберем половинушара с центром в точке x0 и радиусом R(x) = d(x)/β, если она содержитсяв D и x0 является ортогональной проекцией x на некоторую грань многогранника, в противном случае D(x) — шар радиуса d(x) с центром в точкеx. Ядро P (x, A) сосредоточено на границе выбранной области T (x) и имеетплотность k(x, y) в случае полушара, либо определяет равномерное распределение на сфере. Цепь Маркова, определяемую таким ядром, будем называтьблужданием по полусферам. Для этого блуждания доказана лемма.Лемма 6.

Процесс блуждания по полусферам сходится с вероятностью 1к точке, лежащей на границе области D. Среднее число шагов до выходапроцесса на границу имеет конечные математическое ожидание и дисперсию.Пусть x0 = x, x1 , x2 , . . . — блуждание по полусферам, а ηi — несмещеннаяоценка дляZF (xi ) =G(xi , y)g(y) dy,T (xi )тогда справедлива лемма.Лемма 7. Пусть F (x) ограничена и существует константа C, такая чтонесмещенные для F (xi ) оценки ηi имеют дисперсию Dx ηi ≤ C, и N — момент выхода “блуждания по полусферам” на границу области D, тогда27ξN = ϕ(xN ) +NP−1ηi является несмещенной оценкой для u(x) и Dx (ξN ) ≤ C1i=0для некоторой константы C1 < ∞.Построенный алгоритм применен для решения модельной задачи в трехмерном кубе.Построен и исследован алгоритм блуждания по сферам и границе дляопределения гармонической в области D функции u(x) по ее значениям начасти границы Γ1 и значениям ее нормальной производной на оставшейсявыпуклой части границы Γ2 .Статистическими методами решена первая краевая задача для уравненияПуассона с разрывом нормальной производной решения на плоской границе,разделяющей область на части.

То есть решена задача по определению электростатического потенциала в областях с разной диэлектрической проницаемостью с общей плоской границей. Приведены результаты вычислений длямодельной задачи.В этом же параграфе рассмотрины алгоритм блуждания по сферам и алгоритм блуждания по сферам и полусферам для решения внешней задачиДирихле для уравнения Лапласа. Оба алгоритма основаны на интегральномпредставлении Пуассона для функции, гармонической вне шара. Доказанытеоремы о сходимости построенных блужданий к границе области. Построены малосмещенные статистические оценки решения задачи Дирихле. Еслиграница области является многогранником, то блуждание по сферам и полусферам выходит на границу за конечное число шагов и статистические оценкистановятся несмещенными.Постоенные процедуры решения внешней задачи Дирихле позволили создать совместно с аспирантом А.Н.Кузнецовым универсальный алгоритм длявычисления взаимных электростатических емкостей проводников, в которомемкости находятся как функционалы от решения внешней задачи Дирихле.Приведено краткое описание универсального алгоритма и примеры его применения.

Алгоритм реализован А.Н.Кузнецовым на MPI-кластере.Заключительная часть параграфа посвящена задаче Неймана в выпуклойобласти и в дополнении выпуклой области. Получены интегральные уравнения теории потенциала для сужения решения задачи Неймана на границу области. Выполнена регуляризация этих уравнений, которая приводитих к интегральным уравнениям с оператором, спектральный радиус которого меньше единицы.

Построенная регуляризация оператора названа намипроцедурой выделения главной части оператора, поскольку она аналогичнапроцедуре выделения главной части в методе Монте-Карло для вычисления28интегралов. Получены несмещенные оценки объемного потенциала и потенциала простого слоя, необходимые для реализации алгоритма.В параграфе 3.4 процедура выделения главной части оператора реализуется для операторов Фредгольма и Гильберта-Шмидта методом стохастической аппроксимации.

Полученные результаты применяются для решенияуравнений теории потенциала.В приложение вынесены как известные, так и предложенные автором алгоритмы моделирования распределений, необходимые для реализациипредложенных в диссертации процедур статистического моделирования решений краевых задач.В заключении перечислены основные результаты диссертации, показана их теоретическая и практическая ценность.Список литературы1. Haji-Sheikh A., Sparrow E. M.

The floating random walk and its application to MonteCarlo solutions of heat equations // SIAM J. Appl. Math. — 1966. — Vol. 14, no. 2. —Pp. 570—589.2. Kushner H. J. Probabilistic methods for finite difference approximation to degenerateelliptic and parabolic equations with Neumann and Dirichlet boundary conditions // J.Math.Anal. and Appl.

— 1976. — Vol. 58, — Pp. 644—668.3. Дынкин Е. Б. Марковские процессы — М.: Физматгиз, 1963.4. Giles M. B. Multi-Level Monte Carlo Path Simulation // Operations Research. — 2008 —Vol. 56, no. 3. — Pp. 607–617.5. Heinrich S. Multilevel Monte Carlo Methods // Lecture Notes in Computer Science.Springer-Verlag — 2001 — Vol. 2179. — Pp. 58–67.6. Müller M. E. Some continuous Monte Carlo methods for the Dirichlet problem // Ann.Math. Statistics.

— 1956 — Vol. 27, no. 37. — Pp. 569–589.7. Сипин А. С. О решении задачи Неймана методом Монте-Карло // Методы МонтеКарло в вычислит. математике и мат. физике. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР,1976. — Pp. 129–135.8. Михайлов Г. А. Весовые алгоритмы статистического моделирования — Новосибирск:Изд. ИВМ и МГ СО РАН, 2003. — 185 с.9. Ермаков С. М., Некруткин В. В., Сипин А. С. Случайные процессы для решенияклассических уравнений математической физики — M.: Наука, 1984.10. Курбанмурадов О. А., Сабельфельд К. К., Симонов Н.

А. Алгоритмы случайного блуждания по границе — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1989.11. Сабельфельд К. К. Методы Монте-Карло в краевых задачах — Новосибирск: Наука.Сиб. отделение, 1989.2912. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейныеуравнения параболического типа — М.: Наука, 1967.Публикации автора по теме диссертацииМонографии:A1.

Ермаков С.М., Некруткин В.В., Сипин А.С. Случайные процессы длярешения классических уравнений математической физики. — М.: Наука,1984.A2. Ermakov S. M., Nekrutkin V. V., Sipin A. S. Random Processes for ClassicalEquations of Mathematical Physics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht,1989.A3. Ермаков С.М., Сипин А.С. Метод Монте-Карло и параметрическая разделимость алгоритмов. — Санкт-Петербург: СПбГУ, 2014.Публикации в журналах, рекомендованных ВАК:A4.

Сипин А.С. Решение задачи Дирихле для уравнения −∆u(x) +a(x)u(x) = f (x) методом Монте-Карло.// Вестник ЛГУ, серия матем.,мех., астр. 1976. Вып. 1. С. 60–63.A5. Сипин А. С. Решение двух краевых задач Дирихле методом Монте-Карло// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 1979. – Т. 19, № 2.

– С. 388–401.A6. Ермаков С. М., Сипин А. С. Новая схема метода Монте-Карло для решения задач математической физики // Доклады АН СССР. – 1985. – Т. 285,№ 3.A7. Ермаков С. М., Сипин А. С. Процесс блуждания по полусферам и егоприменение к решению краевых задач // Вестн. С.-Петерб. ун-та. –2009.

– Сер. 1, Вып. 3. – С. 9–18.A8. Сипин А. С. Статистические алгоритмы решения задачи Коши для параболических уравнений второго порядка // Вестн. С.-Петерб. ун-та.Сер. 1. – 2011. – Вып. 3. – С. 65–74.A9. Сипин А. С. Статистические алгоритмы решения задачи Коши для параболических уравнений второго порядка. Сопряженная схема // Вестн.С.-Петерб.

ун-та. Сер. 1. – 2012. – Вып. 1. – С. 7–67.A10. Сипин А. С. Применение схемы Неймана—Улама к решению первой краевой задачи для параболического уравнения // Вестн. С.-Петерб. ун-та.Сер.1. – 2014. – Вып. 1. – С. 33–44.A11. Кузнецов А. Н., Сипин А. С. Универсальный алгоритм расчета электростатических емкостей системы проводников методом Монте-Карло // Матем. моделирование – 2009.

– Т. 21, № 3. – С. 41–52.30A12. Кузнецов А. Н., Сипин А. С. Статистические оценки для степеней оператора Грина // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. –2009. – № 2. – С. 114–123.A13. Кузнецов А. Н., Рытенкова И. А., Сипин А. С. Оценки методом МонтеКарло итераций оператора Грина и собственных чисел первой краевойзадачи для оператора Лапласа // Вестн. Сам. гос.

техн. ун-та. Сер.Физ.-мат. науки. – 2011. – № 4. – С.82–92.A14. Sipin A. Monte Carlo method for partial differential equations // Topicsin Statistical Simulation Research from the 7th International Workshopon Statistical Simulation. –/ Eds.: Melas V. B., Mignani S., Monari P.,Salmaso L. — Springer Proceedings in Mathematics and Statistics – 2014.–Vol. 114. – Pp. 475-483.Другие публикации:A15. Расулов А. С., Сипин А. С. Решение одного нелинейного уравнения методом Монте-Карло // Методы Монте-Карло в вычисл. математике и мат.физике. – Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976. – С. 149–155.A16.