Автореферат (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных), страница 2

Строятся как оценки решения дифференциального уравнения в точке,так и функционалов от него. Основными целями работы являются:• Теоретические исследования случайных процессов и статистических оценок, используемых при построении и реализации беcсеточных методоврешения краевых задач.• Разработка новых алгоритмов статистического моделирования для решения краевых задач для уравнений параболического и эллиптическоготипа.• Создание процедур моделирования распределений, необходимых для реализации алгоритмов.Методика исследованияВ работе используются методы вычислительной математики, классической теории уравнений в частных производных, функционального анализа,математической статистики и теории вероятностей. С помощью фундаментальных решений или функций Леви краевая задача сводится к интегральному уравнению, которое решается методом Монте-Карло. Для исследованиясвойств траекторий блуждания, на которых строится статистическая оценкарешения краевой задачи и свойств самой оценки применяется теория мартингалов.Основные результаты, выносимые на защиту• Схема Неймана-Улама для интегральных уравнений с субстохастическимядром.• Статистические алгоритмы решения задачи Коши для параболическогоуравнения второго порядка с гладкими коэффициентами.• Статистические алгоритмы решения первой краевой задачи для параболического уравнения второго порядка с гладкими коэффициентами.• Статистические алгоритмы решения первой краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка с гладкими коэффициентами.6• Статистические алгоритмы решения первой и второй краевой задачи дляуравнения Пуассона.Научная новизнаВсе результаты диссертации являются новыми.

Основные из них заключаются в следующем.1) Решена проблема построения стохастических бессеточных алгоритмовдля решения эллиптических и параболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Алгоритмы могут быть эффективноиспользованы на современных компьютерах с параллельной структуройи в совокупности с облачными технологиями.2) Для широкого класса краевых задач, связанных с оператором Лапласа,построены процедуры моделирования несмещенных статистических оценок решений этих задач, что позволяет оценивать погрешность найденного приближенного решения в ходе вычислений. В частности, разработаныразличные варианты алгоритма блуждания по полусферам для уравнения Пуассона в многограннике с краевыми условиями первого и третьегорода.3) Введено понятие главной части интегрального оператора, с помощьюкоторого построены эффективные статистические процедуры решенияуравнений теории потенциала.

Сформулированы и обоснованы методывыделения главной части оператора с помощью процедуры стохастической аппроксимации.4) Для интегральных уравнений второго рода с субстохастическим ядромпостроена универсальная статистическая процедура оценивания решенияуравнения и функционалов от него. Построенная теория применена к исследованию алгоритмов метода Монте-Карло для решения краевых задач..Практическая значимостьДиссертация носит теоретический характер. Разработанные в ней стохастические алгоритмы могут быть полезны при решении конкретных краевыхзадач.

В частности, алгоритм блуждания по сферам и полусферам, позволяющий получить несещенные оценки для решений внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа успешно применяется для вычисления взаимныхэлектростатических ёмкостей проводников. Доказанные в работе теоремы оповедении траекторий блужданий будут полезны при исследовании новыхбессеточных стохастических алгоритмов решения краевых задач.7Апробация работыОсновные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:• на семинаре кафедры статистического моделирования математико- механического факультета Санкт- Петербургского государственного университета под руководством профессора С.М.Ермакова ( неоднократно);• на семинаре кафедры прикладной математики факультета прикладнойматематики, компьютерных технологий и физики Вологодского государственного университета под руководством профессора А.И.Зейфмана(неоднократно);• на V всесоюзной конференция “Методы Монте-Карло в вычислительнойматематике и математической физике”, Новосибирск, 1976;• на VI всесоюзной конференции “Методы Монте-Карло в вычислительнойматематике и математической физике”, Новосибирск, 1979;• на межреспубликанской школе-семинаре “Методы Монте-Карло и их приложения” (Казахстан, Алма-Ата, сентябрь 1987);• на школе-семинаре “Актуальные проблемы теории статистического моделирования и ее приложения” (Узбекистан, Ташкент, сентябрь 1989);• на международной конференции Fifth Workshop on Simulation.

(St.Petersburg ,2005);• на международной конференции “А.Н.Тихонов и современная математика” (секция “Вычислительная математика и информатика”), (Москва,2006);• на пятой международной конференции “Математические идеи П.Л.Чебышеваи их приложение к современным проблемам естествознания”, (Обнинск,2011);• на международной конференции Seven Workshop on Simulation. (Rimini,Italy, 2013);• на международной конференции Ninth IMACS Seminar on Monte CarloMethods, (Annecy-le-Vieux, France, 2013)ПубликацииМатериалы диссертации опубликованы в 22 работах, в том числе, в трехмонографиях и 11 статьях, напечатанных в журналах, рекомендованныхВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций на соискание учёной степени доктора наук.

Перечень публикаций приведён в концеавтореферата. Монография [А3] опубликована при финансовой поддержкеРФФИ (грант №14-01-07007). Работы [А4 – А13] опубликованы в журналах,8которые входят в список ВАК, а издание [А14] входит в систему цитированияScopus.В монографии [A1] автору принадлежат глава 2 и первые четыре параграфа главы 5. В монографии [A2] автору принадлежат глава 2, первые четырепараграфа главы 5 и параграф 4 главы 6.

В монографии [A3] автору принадлежат вторая часть книги “Методы Монте-Карло для уравнений в частных производных. (Бессеточные методы)”. В работе [A6] автору принадлежатопределение понятия главной части интегрального оператора и примеры 1-3её выделения. Соавтору принадлежат результаты, связанные с выделениемс помощью процедуры стохастической аппроксимации конечномерной главной части оператора. В работе [A7] автору принадлежат результаты параграфов 2,4,5. Постановка задачи и парагафы 1,3 принадлежат соавтору. Вработе [A11] автору принадлежат постановка задачи и формулы для вычисления емкостей.

Соавтору принадлежат реализация алгоритмов и результатывычислений. В работе [A12] автору принадлежат постановка задачи, формулировка и исследование алгоритма блуждания по шарам. Остальные результаты работы принадлежат соавтору. В работе [A13] автору принадлежатрезультаты параграфа 3.1 и параграфа 4.1. Остальные результаты работыпринадлежат соавторам. В работе [A15] автору принадлежат теорема 1, леммы 1 и 2. Соавтору принадлежат результаты вычислительного эксперимента.В работе [A21] автору принадлежат результаты параграфов 1-4. Соавторупринадлежат результаты вычислительного эксперимента.Структура и объём диссертацииДиссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, приложения и заключения. Общий объём работы составляет 229 страниц.Содержание работыВо введении обосновывается актуальность диссертационной работы,формулируются задачи исследований, кратко излагается содержание диссертации по главам и параграфам.В первой главе рассматриваются вопросы, связанные с применением схемы Неймана-Улама к решению интегральных уравнений эквивалентных краевым задачам.

Спектральный радиус оператора таких интегральныхуравнений равен единице, поэтому традиционная процедура статистическогомоделирования для таких уравнений требует корректировки.Исследование статистических оценок и марковских цепей, на которыхоценки строятся, проводится методами теории мартингалов. Необходимыесведения из этой теории содержит параграф 1.1.В параграфе 1.2 содержатся некоторые результаты из вероятностной9теории потенциала.В параграфе 1.3 исследуются интегральные уравнения с субстохастическим ядром. Формулируются и доказываются теоремы о поведении траекторий однородной цепи Маркова, определяемой этим ядром.Пусть (Q, A)– некоторое измеримое пространство. Вещественная, определенная на Q × A функция k(x, A) называется ядром, если при всех A ∈ Aфункция k(·, A) является A – измеримой, и при всех x ∈ Q функция множества k(x, ·) является зарядом (конечной счетно аддитивной функцией множества).

Ядро, удовлетворяющее при всех x ∈ Q неравенствам 0 ≤ k(x, Q) ≤ 1называется субстохастическим и обозначается P (x, dy).В пространстве M (Q) ограниченных борелевских функций на некоторомкомпакте Q в евклидовом пространстве Rn рассмотрим интегральное уравнениеZ(1)u(x) = u(y)P (x, dy) + F (x), x ∈ Q.QОпределим оператор Ku как интегральный оператор в уравнении (1). Функция, удовлетворяющая неравенству Ku(x) ≤ u(x) при всех x ∈ Q, называетсяэксцессивной, а функция, удовлетворяющая уравнению Ku(x) = u(x) – инвариантной для ядра P (x, dy).Несмещенные оценки решения уравнения (1) обычно строят на траекториях цепи Маркова {xi }∞i=0 , определяемой переходной вероятностью P (x, dy).Процесс обрывается в некоторый случайный марковский момент τ1 при переходе в поглощающее состояние ∆, лежащее вне Q (при этом u(∆) = 0).Пусть {A}∞i=0 — последовательность σ-алгебр, порожденная цепью до момента времени i, χi — индикатор события {τ1 > i}.

Пусть u(x) — ограниченная эксцессивная функция, удовлетворяющая уравнению (1). Определимстандартную последовательность несмещенных оценокηi =i−1XF (xj )χj + χi u(xi ),(2)j=0которая, очевидно, является мартингалом относительно потока {Ai }∞i=0 .Теорема 1. (О свойствах стандартной последовательности оценок)1) Стандартная последовательность несмещенных оценок, построеннаяпо ограниченному эксцессивному решению уравнения (1) с субстохастическим ядром является равномерно интегрируемым мартингалом.2) Для любого момента остановки τ случайная величина ητ – несмещеннаяоценка для u(x).10Свойства траекторий цепи Маркова, определяемой переходной вероятностью P (x, dy) тесно связаны со свойствами решений интегрального уравнения.