Автореферат (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных), страница 5

Случайная величина ξNδ является несмещенной оценкой u(x, t) и имеет конечную дисперсию.На траекториях блуждания по цилиндрам построены также оценки длярешения уравнения с переменными коэффициентами. На траекториях блуждания по шароидам построены оценки для решения уравнения с постоянными коэффициентами и для решения уравнения с переменным коэффициентом при неизвестной функции.

Кроме того, рассмотрен метод построениястатистических оценок, основанный на сведении начально-краевой задачи ксистеме эллиптических краевых задач путём дискретизации времени.В параграфе 2.4 на траекториях ветвящегося блуждания по границевыпуклой области построены несмещенные статистические оценки решенияуравнения теплопроводности с нелинейным граничным условием СтефанаБольцмана, связывающим тепловой поток на поверхности абсолютно черноготела с его температурой.С помощью тепловых потенциалов исходная задача сводится к нелинейному интегральному уравнению.

Построена итерационная процедура, которая определяет последовательность функций, равномерно сходящихся к решению задачи. Далее выполняется рекурсивная процедура статистическогооценивания тепловых потенциалов, которая за конечное число шагов приводит к построению несмещенной оценки температуры в фиксированной точкев фиксированный момент времени. Наибольшую трудность вызывает построение несмещенной оценки для потенциала простого слоя. Проблема решена спомощью специально подобранной замены переменной в поверхностном интеграле.В третьей главе рассматриваются алгоритмы статистического моделирования для решения краевых задач для эллиптических уравнений второгопорядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами в пространстве Rn , где n > 2.

Для первой краевой задачи исследуются, в основном, блуждания внутри области, а для второй краевой задачи — блужданияпо границе области. Как и во второй главе, задачи рассматриваются в классической постановке, то есть граница области и функции, входящие в уравнение, предполагаются достаточно гладкими и ограниченными.Определим эллиптический оператор формулойnXnX∂2∂M=aij (x)+bi (x)+ c(x).∂x∂x∂xijii,j=1i=122(35)Матрица коэффициентов при старших производных предполагается симметричной, а ее собственные числа лежащими в фиксированном отрезке [ν, µ] иν > 0. Это означает, что оператор M является сильно эллиптическим.Нас интересуют решения уравнения M u(x, t) = −f (x, t), определенные внекоторой ограниченной области D ⊂ Rn (или вне ее, для внешней краевойзадачи), а также функционалы от них.Граница Γ области D предполагается достаточно гладкой.

Будем говорить, что замкнутая область D принадлежит классу A(k,λ) , если в некоторой окрестности каждой точки x ∈ Γ граница задается уравнением zn == h(z1 , z2 , . . . , zn−1 ) в некоторой системе координат, а функция h имеет непрерывные производные до порядка k включительно, причем ее производныепорядка k удовлетворяют условию Гельдера с показателем λ.Коэффициенты оператора также принадлежат к гельдеровым классамфункций.В параграфе 3.1 с помощью функции Леви специального вида построенои исследовано интегральное представление решения эллиптического уравнения в эллипсоиде.Пусть A(x) — матрица, составленная из старших коэффициентов aij (x)оператора M , A(i,j) (x) — элементы обратной матрицы A−1 (x). Определимфункцию σ(y, x) равенствомσ(y, x) =nX! 21A(i,j) (x)(yi − xi )(yj − xj ).(36)i,j=1Функциюσ 2−n (x, y)pH(x, y) =(n − 2)σn det A(y)(37)называют параметрикс.Функцию L(x, y), непрерывную в области D при x 6= y вместе со своимипервыми и вторыми производными по переменным xi , (i = 1, 2, .

. . , n) назовем функцией Леви, если при некотором λ > 0 справедлива асимптотикаL(x, y) − H(x, y) = O(rλ+2−n ),∂(L(x, y) − H(x, y))= O(rλ+1−n ),∂xi2∂ (L(x, y) − H(x, y))= O(rλ−n )∂xi ∂xjравномерно по y в каждой замкнутой подобласти T ⊂ D.23(38)Для оператора M с гладкими коэффициентами при λ ≤ 1 и r → 0 справедлива асимптотика:Mx L(x, y) = O(rλ−n ),Nx L(x, y) = O(rλ−n ),(39)где N – оператор, формально-сопряженный с оператором M.Пусть T ⊂ D — какая-либо замкнутая область класса A(1) . Используяразные варианты выбора функции Леви и выбирая области T = T (x), зависящими от x, получим разные варианты интегрального представления длярешения уравнения M u(x, t) = −f (x, t).ZZ Xn∂G(x, y)cos(ν, yj )u(y)dy S,(40)u(x) = G(x, y)f (y)dy −aij (y)∂yii=1T∂Tесли выбрана область T = T (x) ⊂ D с известной функцией Грина G(x, y).ПриnXL(y, x) = 0,aij (y)i,j=1∂L(y, x)cos(ν, yj ) ≤ 0,∂yiNy L(y, x) ≥ 0,y ∈ ∂T (x);(41)L(y, x) > 0 y ∈ T (x) \ ∂T (x),получим интегральное уравнениеZu(x) = (L(y, x)f (y) + u(y)Ny L(y, x)) dy −T−Z Xn∂T i,j=1aij (y)∂L(y, x)cos(ν, yj )u(y)dy S.

(42)∂yiПри∂L(y, x)= 0, i = 1, 2, . . . , n, y ∈ ∂T (x);∂yiNy L(y, x) ≥ 0, L(y, x) > 0 y ∈ T (x) \ ∂T (x),L(y, x) = 0,получим интегральное уравнениеZu(x) = (L(y, x)f (y) + u(y)Ny L(y, x)) dy.(43)(44)TСправедлива очевиднаяЛемма 5. Если при x ∈ D выполнено неравенство c(x) ≤ 0, то неотрицательное ядро любого из интегральных уравнений (40–44) является субстохастическим.24Далее, к уравнениям (40–44) применяются результаты первой главы таккак каждое из них можно записать в видеZ(45)u(x) = u(y)P (x, dy) + F (x), x ∈ D,Dгде P (x, dy) — субстохастическое ядро, аZZL(y, x)f (y)dy −F (x) =nXaij (y)∂T ∩∂D i,j=1T∂L(y, x)cos(ν, yj )u(y)dy S,∂yi(46)x ∈ D,является интегралом от граничных условий и правой части уравнения. Всеточки границы делятся на два типа: поглощающие и непоглощающие.

Дляпоглощающей точки границы P (x, B) = 0 для любого борелевского множества B, F (x) = u(x). Для непоглощающей точки границы P (x, ·) являетсяраспределением, сосредоточенным в точке x, а F (x) = 0.В параграфе 3.2 рассмотрена первая краевая задачаM u(x) = −f (x),x ∈ D;u(x) = ϕ(x),x ∈ Γ.(47)Будем предполагать, что область D и оператор M таковы, что задача (47)имеет единственное непрерывное в D и регулярное в D решение для любыхдостаточно гладких функций f (x) и ϕ(x). Достаточные условия для этогодает, например, следующая теорема .Теорема 8. (K.Miranda) Пусть M — эллиптический оператор, коэффициенты которого в замкнутой области D класса A(1,λ) удовлетворяют условиям aij ∈ C (1,λ) (D), bi ∈ C (0,λ) (D), c ∈ C (0,λ) (D).

Пусть f ∈ C (0,λ) (D) ∩C(D), ϕ ∈ C(Γ) и c(x) ≤ 0, тогда задача (47) имеет единственное регулярное решение u ∈ C 2 (D) ∩ C(D).Для того чтобы применить схему Неймана-Улама к решению первой краевой задачи, наложим на семейство замкнутых множеств T (x) и функциюЛеви ограничения:1) T (x) ⊆ D,2) T (x) ∈ A(1) ,R3) h(x) = L(y, x)dy −TRnP∂T ∩∂D i,j=1aij (y) ∂L(y,x)∂yi cos(ν, yj )dy S > c(δ) > 0при dist(x, Γ) > δ.25Доказана следующая теорема.Теорема 9.

Пусть выполнены следующие условия:коэффициенты дифференциального оператора достаточно гладкие и c(x) ≤ 0;задача (47) имеет единственное регулярное решение в области D при всехдостаточно гладких f (x) и ϕ(x); для решения краевой задачи справедливоуравнение (45) с субстохастическим ядром P (x, dy) и оно является однимиз уравнений (40–44); область T (x) и функция Леви в ней выбраны в соответствии с условиями 1)–3).Тогда почти все траектории цепи Маркова с переходной вероятностьюP (x, dy), стартующей из точки x ∈ D, либо обрываются за конечное числошагов, либо сходятся к случайной точке на границе Γ.Пусть δ > 0, τ1 — момент обрыва цепи, τ2 — момент первого попаданияцепи в δ-окрестность границы Γ и τδ = min(τ1 , τ2 ). Математическое ожидание Eτδ < ∞.i−1PПоследовательность оценок ξi =h(xj )f (yj )χj + χi u(xi ), определенная вj=0(4) образует квадратично интегрируемый мартингал.

Случайная величина ξτδ является несмещенной оценкой u(x) и имеет конечную дисперсию.Аналогичные утверждения справедливы для последовательности оценок свесами.Доказанная теорема применяется для обоснования таких алгоритмов статистического моделирования как блуждание по сферам, блуждание по сферам и шарам, блуждание по эллипсоидам. Для них в явном виде построеныфункции Леви и в приложении представлены алгоритмы моделирования распределений, необходимых для реализации стандартных статистических оценок решения краевой задачи.В параграфе 3.3 рассматриваются краевые задачи для оператора Лапласа.

Определяются различные варианты блуждания по полусферам на траекториях которого строятся несмещенные и малосмещенные статистическиеоценки решения уравнения Пуассона −∆u(x) = g(x) в ограниченной областиD ⊂ Rn , с регулярной границей.Определим для каждого x ∈ D подобласть T (x) ⊂ D, для которой xявляется внутренней точкой. Используя функцию Грина, получаем для u(x)интегральное представлениеZZu(x) = k(x, y)u(y) dy S − G(x, y)g(y) dy,(48)T∂T26которое рассматривается как интегральное уравнение в пространстве C(D)и исследуется методами главы 1.Пусть T — половинка шара радиуса R. Плоскую границу области T обозначим H, а сферическую — S.