Автореферат (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных), страница 4

Доказаны теоремы об ограниченности дисперсии построенных статистических оценок.В прямой схеме решение задачи Коши записывается в виде суммы четы16рех потенциалов:u(x, t) = u1 (x, t) + u2 (x, t) + u3 (x, t) + u4 (x, t) =ZZtZ= dτ Z0 (x − y, y, t, τ )f (y, τ )dy + Z0 (x − y, y, t, 0)ϕ(y)dy +0Zt+Zdτ0RnRnZZ0 (x − z, z, t, λ)Q(z, y, λ, τ )dz  f (y, τ )dy +dλRnZtnτR tZZ Z+  dλ Z0 (x − z, z, t, λ)Q(z, y, λ, 0)dz  ϕ(y)dy. (18)Rn0RnДля каждого потенциала построена несмещенная статистическая оценка.Потенциалы u1 (x, t) и u2 (x, t) оцениваются стандартной процедурой методаМонте-Карло с помощью плотности Z1 . Статистические оценки потенциаловu3 (x, t) и u4 (x, t) построены на траекториях цепи Маркова с плотностью вероятностей перехода α(1 − q)αp (x, t) → (z, λ) =(t − λ) 2 −1 Z2 (x − z, t − λ),α2t 2где 0 < q < 1 является вероятностью обрыва цепи на текущем шаге, а n2C|x − z|2Z2 (x − z, t − λ) =exp −Cπ(t − λ)t−λ(19)(20)при 0 ≤ λ < t.

При λ > t функция Z2 (x − z, t − λ) = 0. Постоянная C в этихформулах берется из неравенства (16), которое также влечет согласованностьплотности и ядра интегрального уравнения. Отметим, что вероятность обрыва цепи на каждом шаге постоянна, поэтому цепь обрывается с вероятностьюединица и среднее число шагов до обрыва равно q −1 .Доказаны теоремы о конечности дисперсии построенных оценок.

Получены формулы для вычисления констант в неравенстве (16), необходимые дляреализации статистических оценок.Статистические оценки функционалов от решения задачи Коши построены с помощью сопряженной схемы Неймана-Улама.(T )Пусть h(x, t) — интегрируемая на Dn+1 по мере Лебега функция. Для оценки функционалаZT ZΦ(h) = dt h(x, t)u(x, t)dx,(21)0Rn17используя (18), запишем его в видеΦ(h) = Φ1 (h) + Φ2 (h) + Φ3 (h) + Φ4 (h) =ZZT ZZt= dt dxh(x, t) dτ Z0 (x − y, y, t, τ )f (y, τ )dy +RnZT0+ZT+dxh(x, t)Rn0ZZ0 (x − y, y, t, 0)ϕ(y)dy +dxh(x, t)RnZtZdtZdt0Rn0ZdτRnZtZ0 (x − z, z, t, λ)Q(z, y, λ, τ )dz  ×dλRn0ZRnτ× f (y, τ )dy +ZZT ZZ Zt+ dt dxh(x, t)  dλ Z0 (x − z, z, t, λ)Q(z, y, λ, 0)dz  ×Rn0RnRn0× ϕ(y)dy.

(22)Поскольку функция Z0 (x − y, y, t, τ ) по переменной x является плотностьюраспределения нормального случайного вектора, несмещенные оценки дляΦ1 (h) и Φ2 (h) очевидны.Несмещенными оценками для Φ3 (h) являются случайные величиныm−1N X1ψm ,(23)φ3 = −−1−qm=1N −11ψNφ03 = − −,(24)1−qqгде случайная величина N имеет геометрическое распределение, то естьP (N = m) = q(1 − q)m−1 , при m = 1, 2, . .

. ,а случайная величина ψm несмещенно оценивает функционал для итерированного ядра Km (z, y, λ, τ )ZTΨm (h) =dτ0ZTZdyf (y, τ )RnZTZdλRnτdt ×dzλZ×Z0 (x − z, z, t, λ)Km (z, y, λ, τ )h(x, t)dx. (25)Rn18Оценки ψm для функционалов Ψm (h) построены на траекториях неоднород(T )ной цепи Маркова {(yk , τk )}∞k=0 . Начальное состояние цепи выбирается в Dn+1с некоторой плотностью π(y, τ ), согласованной с функцией f (y, τ ).

Процедура оценивания носит рекуррентный характер. Доказана следующая теорема.Теорема 6. Пусть функция h(x, t) — ограничена, а функция f 2 (y, τ )/π(y, τ ) —(T )интегрируема в Dn+1 = Rn ×(0, T ) . Тогда дисперсии оценок φ3 и φ03 конечны.Для уравнений с гладкими коэффициентами задача Коши сводится к интегральному уравнению с помощью функции Грина. Доказана сходимостьряда Неймана для этого уравнения. Построены несмещенные статистическиеоценки решения задачи Коши как по прямой, так и по сопряженной схемеНеймана-Улама. Для уравнения теплопроводности аналогичные результатыбыли ранее получены О. Курбанмурадовым и Н.

А. Симоновым.В параграфе 2.3 получены малосмещенные оценки с конечной дисперсией для первой краевой задачи внутри ограниченной области D с границей Γ :∂ ∂L x, t, ,u = f,∂x ∂tu|Γ = Φ(x, t),(26)u|t=0 = ϕ(x).αВ [12] показано, что если f ∈ H α, 2 (QT ), ϕ ∈ C(D), функция Φ — непрерывна, а коэффициенты aij имеют производные ∂aij /∂xk , удовлетворяющиеусловию Гельдера по переменным x с показателем α и Γ — поверхность Ляпунова, то задача (26) имеет классическое, непрерывное вплоть до границырешение в в области QT = D × (0, T ).Полученые в параграфе 2.1 интегральные представления решения краевой задачи (26) в пространственно-временном цилиндре или в шароиде (области, ограниченной поверхностью уровня фундаментального решения) определяют процессы блуждания внутри области и квадратично-интегрируемыймартингалы несмещенных оценок решения задачи (26).Рассмотрим, например, задачу (26) для оператора с постоянными коэффициентамиnX∂∂2L=−aij.∂t i,j=1 ∂xi ∂xjПусть dist(x, Γ) обозначает расстояние от от точки x до границы Γ.

Зададимся функцией R = R(x), непрерывной в D и удовлетворяющей неравен19ствамc1 dist(x, Γ) ≤ R(x) ≤ c2 dist(x, Γ),при некоторых положительных постоянных c1 и c2 , и условию DR ⊂ D, гдеDR = {y|(y − x)> A−1 (y − x) < R} – область, ограниченная эллипсоидом сцентром в точке x.√Пусть A – верхне-треугольная матрица, удовлетворяющая условию√√( A)> A = A; Ω1 — изотропный единичный вектор в пространстве и Ω =√AΩ1 ; случайная величина γ имеет гамма-распределение с параметром n2 +1;случайная величина ρ имеет плотность распределения nrn−1 на отрезке [0, 1]и, наконец, пусть θ равномерно распределена на [0, 1]. Пусть χA индикатор события A, тогда при R2 ≥ 2nt решение u(x, t) задачи (26) можно представитьв виде u(x, t) = I1 + I2 + I3 + I4 , гдеp2I1 = t · Eχ{γ≤ R } f (x + 2ρ tθγΩ, t − tθ)(27)4tθR2I2 = Eχ{γ> R2 } χ{θ> n } u x + RρΩ, t −2γ4t4γ√I3 = Eχ{γ≤ R2 } ϕ(x + 2ρ tγΩ)(28)(29)4tR2I4 = Eχ{γ> R2 } χ{θ≤ n } u x + RΩ, t −2γ4t4γ(30)При R2 < 2nt справедливо аналогичное представление u(x, t) = J1 + J2 +J3 + J4 ,rR22θγR2J1 =· Eχ{γ≤ n } f (x + RρΩ, t −θ)(31)2θ2nn2nR2J2 = Eχ{γ> n } χ{θ> n } u x + RρΩ, t −(32)22γ4γ!r22γRJ3 = Eχ{γ≤ n } u x + RρΩ, t −(33)2n2nR2J4 = Eχ{γ> n } χ{θ≤ n } u x + RΩ, t −22γ4γ.(34)Используя полученные формулы, легко определить процедуру моделирования блуждания по цилиндрам x(k), t(k) и последовательность несмещенных оценок ξk = ξk (x, t) для решения u(x, t) на траекториях этого блуждания.20А именно, пусть γk , ρk , θk , Ωk (k = 1, 2, .

. .) — последовательности независимых в совокупности случайных величин с распределениями, определеннымиранее, Rk = R x(k), t(k) , x(0) = x, t(0) = t, ξ0 = u(x, t). Тогда, при выпол2нении условий 0 < 2nt(k − 1) < Rk−1, в момент времени k − 1, (k = 1, 2, . . .)выполняется следующая последовательность действий.1) Моделируем случайные величины γk , ρk , θk , Ωk .2) В оценке ξk−1 функцию u x(k − 1), t(k − 1) заменяем суммой несмещенных оценок интегралов I1 , I2 , I3 , I4 по формулам (27–30), выбраннымзначениям случайных величин и R = Rk−1 .3) Если слагаемое, содержащее функцию u, отсутствуют, то оценка построена и процесс обрывается (t(k) = 0).

В противном случае, переходим кпункту 4.4) Аргументы функции u в полученной оценке ξk определяют новое состояние цепи.2При выполнении противоположного условия 2nt(k − 1) > Rk−1, в моментвремени k − 1, (k = 1, 2, . . .) выполняется аналогичная последовательностьдействий.1) Моделируем случайные величины γk , ρk , θk , Ωk .2) В оценке ξk−1 функцию u x(k − 1), t(k − 1) заменяем суммой несмещенных оценок интегралов J1 , J2 , J3 , J4 по формулам (31–34), выбраннымзначениям случайных величин и R = Rk−1 .3) Аргументы функции u в полученной оценке ξk определяют новое состояние цепи.Справедлива лемма.Лемма 3.

Последовательность x(k), t(k) , (k = 0, 1, 2, . . .) с вероятностью 1 либо обрывается за конечное число шагов на боковой поверхностиили нижнем основании цилиндра QT , либо сходится к случайной точке набоковой поверхности цилиндра.Из определения последовательности ξk , (k = 0, 1, 2, . . .) следует, что онаявляется мартингалом относительно потока σ-алгебр Fk , (k = 0, 1, 2, . .

.), порожденного блужданием. Доказаны теорема и лемма.Теорема 7. Пусть функции f (x, t), ϕ(x) и Φ(x, t) ограничены. Тогда мартингал ξk , (k = 0, 1, 2, . . .) — квадратично интегрируемый.Пусть δ > 0, N1 — момент обрыва траектории, N2 — момент первого попадания траектории в δ — окрестность границы области D, а Nδ = min(N1 , N2 ).21Лемма 4. Случайная величина Nδ имеет конечное математическое ожидание.