Автореферат (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных), страница 3

Примером такой взаимосвязи является следующая теорема.Теорема 2. Пусть субстохастическое ядро интегрального уравнения (1)является переходной вероятностью цепи Маркова и τ1 – момент её обрыва,тогда справедливы следующие утверждения.1) Если для всех x ∈ Q вероятность Px (τ1 < ∞) = 1, то всякая ограниченная эксцессивная функция является потенциалом.2) Если функция u(x) ≡ 1 является потенциалом, то для всех x ∈ Qвероятность Px (τ1 < ∞) = 1.3) Если существует строго положительная инвариантная функция, топри всех x справедливо неравенство Px (τ1 = ∞) > 0.4) Пусть Γ — множество нулей неотрицательной непрерывной на Qфункции F (x), потенциал которой всюду конечен.

Пусть Px (τ1 = ∞) >0 и ρ(x, Γ) — расстояние от x до Γ, тогдаPx (lim ρ(xi , Γ) = 0|τ1 = ∞) = 1.5) Пусть Γ1 и Γ2 — множества нулей неотрицательных непрерывных наQ функций F1 (x) и F2 (x), потенциалы которых всюду конечны. ПустьPx (τ1 = ∞) > 0, тогдаPx lim ρ(xi , Γ1 ∩ Γ2 ) = 0 | τ1 = ∞ = 1.6) Пусть v(x) — непрерывная инвариантная функция, для которой Kv 2 (x)является непрерывной функцией. Пусть Px (τ1 = ∞) > 0 иΓ = {x ∈ Q|v 2 (x) = Kv 2 (x)} , тогдаPx (lim ρ(xi , Γ) = 0|τ = ∞) = 1.7) Пусть v(x) ≥ 0 и −v(x) — непрерывная эксцессивная функция (v(x) ≤ 0и v(x) — непрерывная эксцессивная функция), и Kv 2 (x) является непрерывной функцией. Пусть Px (τ1 = ∞) > 0 и Γ = {x ∈ Q|v 2 (x) = Kv 2 (x)},тогдаPx (lim ρ(xi , Γ) = 0|τ = ∞) = 1.8) В случаях 6 и 7 для x ∈ Γ функция v(y) = const = v(x) Px почтинаверное и, если v(x) 6= 0, то P (x, Q) = 1.Как правило, сама последовательность {xi }∞i=0 почти наверное сходится.В частности, справедлива следующая теорема.11Теорема 3.

Для цепи Маркова {xi }∞i=0 , переходной вероятностью которойявляется субстохастическое ядро уравнения (1), справедливы утверждения.1) Пусть при всех m = 1, . . . , n координатные функции vm (x) таковы,что при некоторой ограниченной эксцессивной функции wm (x), суммаwm (x) + vm (x) или разность wm (x) − vm (x) являются эксцессивнымифункциями, тогда последовательность {xi }∞i=0 почти наверное сходится на множестве {τ1 = ∞}.2) Пусть при всех m = 0, 1, . . . , n координатные функции vm (x) таковы,что при некоторой постоянной wm , сумма wm + vm (x) или разностьwm − vm (x) являются эксцессивными функциями, тогда последовательность {xi }∞i=0 почти наверное сходится на множестве {τ1 = ∞}.3) Пусть при всех m = 0, 1, . . . , n координатные функции vm (x) таковы,что либо vm (x) или −vm (x) являются эксцессивными функциями, либоvm (x) — инвариантна, тогда последовательность {xi }∞i=0 почти наверное сходится на множестве {τ1 = ∞}.Приведены примеры применения доказанных теорем.В параграфе 1.4 рассматриваются процедуры построения несмещенныхоценок решений интегральных уравнений с субстохастическим ядром.

Оценки строятся на траекториях цепи Маркова, определяемой этим ядром. Доказываются теоремы о конечности дисперсии таких оценок, исследуется трудоемкость алгоритмов.В частности, доказаны две леммы, гарантирующие равномерную ограниченность дисперсии стандартной последовательности оценок.Лемма 1. Пусть уравнение (1) имеет ограниченные решения для правойчасти F (x) и |F (x)|, тогда стандартная последовательность несмещенных оценок образует квадратично-интегрируемый мартингал относительно потока σ-алгебр {Ai }∞i=0 .Функцию F (x), обычно, представляют в виде F (x) = h(x)Ef (Y ), гдеh(x) > 0, случайная величина Y имеет распределение, зависящее от x, афункция f (y) является правой частью дифференциального уравнения, либо значением его решения на границе. Пусть {yj }∞j=0 — последовательностьслучайных величин, таких чтоF (xi ) = h(xi )E(f (yi ) | Ai )(3)почти наверное и Bi — минимальная σ-алгебра, порожденная Ai и последовательностью {yj }ij=0 .12Для последовательности несмещенных оценокξi =i−1Xh(xj )f (yj )χj + χi u(xi )(4)j=0справедлива лемма.Лемма 2.

Пусть уравнение (1) имеет ограниченное решение для правойчасти F (x) = h(x). Тогда для правой части вида (3), с ограниченной функцией f (x), уравнение (1) также имеет ограниченное решение и последовательность несмещенных оценок (4) образует квадратично-интегрируемыймартингал относительно потока σ-алгебр {Bi }∞i=0 .В параграфе 1.5 изучается последовательная процедура статистического оценивания решений интегральных уравнений с произвольным конечным ядром. Показано, что в случае ограниченного ядра, для основных статистических оценок суммы ряда Неймана она совпадает со схемой НейманаУлама.

Доказаны теоремы об ограниченности дисперсии статистических оценок.Пусть k(x, A) - конечное ядро. Рассмотрим интегральное уравнениеZu(x) = u(y)k(x, dy) + F (x), x ∈ Q(5)Qв пространстве ограниченных функций M (Q). Решение уравнения (5), имею∞Pщее вид u(x) = GF (x) =K i F (x), называют потенциалом, а ряд, которымi=1оно представлено – рядом Неймана.Пусть P (x, A) – стохастическое ядро, относительно которого ядро k(x, A),а, значит, и его полная вариация |k|(x, A) – абсолютно непрерывны. Соответствующие производные обозначим kp (x, y) и k p (x, y). Несмещенные оценки решения уравнения (5) будем строить на траекториях цепи Марковаxi (i = 0, 1, .

. .) с переходной вероятностью P (x, A), стартующей из точки x0 = x. Пусть Fi (i = 0, 1, . . .) фильтрация, такая что xi Fi -измерима, аζi и θi – Fi -измеримые случайные величины, такие чтоE(ζi+1 u(xi+1 ) + θi+1 |Fi ) = u(xi ).(6)Рассмотрим последовательность случайных величинξi = θ1 + ζ1 θ2 + ζ1 ζ2 θ3 + · · · + (i−1Yj=113ζj )θi + (iYj=1ζj )u(xi ),(7)очевидно, образующую мартингал относительно выбранной фильтрации.Выбранную модель оценивания u(x) будем называть линейной модельюоценивания.Мажорантным уравнением называется уравнениеZu(x) = u(y)|k|(x, dy) + H(x), x ∈ Q,(8)Qгде H(x) – измеримая функция, удовлетворяющая неравенству |F (x)| ≤ H(x)при всех x ∈ Q.Доказана теорема о несмещенности статистической оценки в процедурелинейного оценивания.Теорема 4.

Пусть ряд Неймана для мажорантного уравнения (8) сходится. Если в линейной модели оценивания (7) для u = GF при всех i ≥ 0случайная величина ζi+1 = γi+1 kp (xi , xi+1 ), где γi+1 ≥ 0, выполнено неравенство E(|θi+1 ||Fi ) ≤ H(xi ) и условие E(γi+1 |Fi , xi+1 ) = 1, то несмещенныеоценки (7) образуют равномерно интегрируемый мартингал.Отметим, что ряд Неймана для мажорантного уравнения (8) сходится,если оператор K ограничен и имеет спектральный радиус ρ(K) < 1. Длянеограниченного оператора вместо спектрального радиуса следует использовать перронов корень оператора K.Важно также, что для инвариантной функции u(x) мартингал {ξi =Qi∞j=1 ζj u(xi )}i=0 может не обладать свойством равномерной интегрируемости.Это верно, например, для стандартной схемы Неймана-Улама при постоянной вероятности обрыва g > 0 для стохастического ядра и u(x) = 1, так какξi → 0 c вероятностью единица.Доказана также теорема о конечности дисперсии в линейной модели.Теорема 5.

Пусть выполнены условия теоремы 4, справедливы неравен2ства E(θi+1|Fi ) ≤ H1 (xi ) и H 2 (xi ) ≤ H1 (xi ), а также сходится ряд∞Xi=1i−1YE( ζ j )2 H1 (xi ) < +∞.(9)j=1Тогда,21) Eξ ∞ < +∞22) Eξ∞< +∞3) Для любого марковского момента τ оценка ξτ имеет конечную дисперсию.14Во второй главе рассматриваются алгоритмы статистического моделирования для решения задачи Коши и первой краевой задачи для параболического уравнения второго порядка, в основном, с переменными коэффициентами. Интегральные уравнения для решений краевых задач получаются методом замороженных коэффициентов.

К этим уравнениям применяется либостандартная процедура оценивания, либо процедура из параграфа 1.5 и ееаналоги.В параграфе 2.1 приводятся необходимые сведения о параболическихуравнениях. Мы используем монографию [12], поэтому стараемся придерживаться используемых в ней обозначений и терминологии.Формула∂ ∂L = L x, t, ,∂x ∂tnnX∂ X∂2∂= −aij (x, t)+ai (x, t)+a0 (x, t) (10)∂t i,j=1∂xi ∂xj i=1∂xi(T )определяет парболический оператор в области Dn+1 = Rn × (0, T ), либо вобласти QT = D × (0, T ), где D — ограниченная область в пространстве Rnс границей Γ ∈ H 1+β , (0 ≤ β < 1). Коэффициенты оператора принадлежат(T )αклассу функций H α, 2 Dn+1 , (0 ≤ α < 1). Матрица коэффициентов пристарших производных A(x, t) предполагается симметричной, а ее собственныечисла лежат в фиксированном отрезке [ν, µ] и ν > 0. Нас интересуют решенияуравнения∂ ∂L x, t, ,u(x, t) = f (x, t)(11)∂x ∂tили функционалы от них.

Приводится известное представление [12] фундаментального решения Z(x, y, t, τ ) уравнения (11) и другие необходимые сведения.ZtZ(x, y, t, τ ) = Z0 (x − y, y, t, τ ) +ZdλτZ0 (x − z, z, t, λ)Q(z, y, λ, τ )dz, (12)Rnгде функция Q является решением уравнения ВольтерраZtQ(x, y, t, τ ) +ZdλτK(x, z, t, λ)Q(z, y, λ, τ )dz + K(x, y, t, τ ) = 0,Rnсо слабо полярным ядром K.15(13)Функциz Z0 при t > τ определяется равенствомZ0 (x − y, y, t, τ ) =112n2×[4π(t − τ )] (det A(y, τ ))1> −1× exp −(x − y) A (y, τ )(x − y) (14)4(t − τ )При t < τ функция Z0 (x − y, y, t, τ ) = 0.Функция Z0 удовлетворяет неравенствуZ0 (x − y, y, t, τ ) ≤ µ n2νZ1 (x − y, t − τ ),(15)где|x − y|2.Z1 (x − y, t − τ ) =−n exp4µ(t − τ )[4πµ(t − τ )] 21Существуют положительные постоянные C и c, такие что при 0 ≤ τ < t− n+2−α2|K(x, y, t, τ )| ≤ c(t − τ )|x − y|2exp −C.t−τ(16)С помощью формул Грина получены не содержащие производных интегральные представления для решения параболического уравнения в цилиндре, шароиде (области, ограниченной поверхностью уровня фундаментального решения) и во всем пространстве.В параграфе 2.2 с помощью полученных представлений решается задачаКоши:∂ ∂L x, t, ,u(x, t) = f (x, t),∂x ∂tu(x, 0) = ϕ(x).(17)Рассмотрена как прямая, так и сопряженная схема Неймана-Улама.