Основная теорема о вычетах (Теория к 2 РК по ТФКП в PDF)

Основная теорема о вычетах. Пусть функция f(z) аналитична во всех точках ограниченной замкнутойобласти, границей которой является контур L, за исключением конечного числа особых точек z1, z2, z3, …, zn,расположенных внутри L. Тогда.Док-во. Окружим каждую особою точку zk, k = 1, 2, …, n контуром γk = {z || z − z k | = ρ k} таким, чтобы всеконтуры лежали в области D и не пересекались. В области, ограниченной контурами L, γ 1, γ 2, γ 3, … γ n, функцияаналитична, поэтому по Теореме Коши для многосвязной области. Из определения вычета следует,чтоследовательно,,, что итребовалось доказать.Вычет функции в бесконечно удалённой особой точке.

Для конечной особойточки a, где γ - контур, не содержащий других, кроме a,особых точек, проходимый так, что область, им ограниченная и содержащаяособую точку, остаётся слева (против часовой стрелке). Определиманалогичнымобразом:, где Γ − - контур, ограничивающий такую окрестность U(∞, r) точки z = ∞,которая не содержит других особых точек, и проходимый так, что эта окрестность остаётся слева (т.е.

почасовой стрелке). Таким образом, все остальные (конечные) особые точки функции должны находиться внутриконтура Γ −. Изменим направление обхода контура Γ −:вычетах. По основной теореме о, где суммирование ведётся по всем конечным особым точкам. Поэтому,окончательно,, т.е. вычет в бесконечно удалённой особой точке равен сумме вычетовпо всем конечным особым точкам, взятой с противоположным знаком. Как следствие, имеет место теорема ополной сумме вычетов: если функция w = f(z) аналитична всюду в плоскости С, за исключением конечногочисла особых точек z1, z2, z3, …, zk, то сумма вычетов во всех конечных особых точках и вычета в бесконечностиравна нулю.Утверждение Жордана Пусть функцияобластиокружностинепрерывна ви.

Тогда для любого, где— дугасправедливо равенство(4.31)Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами.Опр.19.1.1. Комплексным числом z будем называть упорядоченную пару действительных чисел x, y,записанную в форме z = x + iy, где i - новый объект ("мнимая единица"), для которогопри вычислениях полагаем i2 = -1.Первая компонента комплексного числа z, действительное число x, называетсядействительной частью числа z, это обозначается так: x = Rez; вторая компонента,действительное число y, называется мнимой частью числа z: y = Imz.Опр.19.1.2. Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 равны тогда и толькотогда, когда равны их действительные и мнимые части: z1 = z2 ⇔ {(x1 =x2)∧(y1 = y2)}.Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е.

для комплексных чисел невводятся отношения "больше" или "меньше".Геометрически комплексное число z = x + iy изображается как точка с координатами (x, y) на плоскости.Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С.Опр.19.1.3.

Суммой двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 называется комплексное число z,определяемое соотношением z = (x1 + x2) + i(y1 + y2), т.е. Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2), Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2).Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости,покоординатно.Опр.19.1.4.

Произведением двух комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z, определяемоесоотношением z = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1), т.е.Re(z1 z2) = Re(z1) Re(z2) -Im(z1) Im(z2), Im(z1 z2) = Im(z1) Re(z2)+ Re(z1)Im(z2).Аксиомы действительных чисел:I.1. z1 + z2 = z2 + z1;I.2. (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3);I.3.

Существует такой элемент 0∈Z, что 0 + z = z для ∀z∈Z. Этот элемент - число 0 = 0 + 0i.I.4. Для каждого элемента z∈Z существует такой элемент -z, что z + -z + 0. Этот элемент - число -x -iy. Суммачисел z1 и -z2 называется разностью чисел z1 и z2: z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2).Опр.19.1.5. Числоназывается числом, сопряжённым к числу z = x + iy. Часто сопряжённое*число обозначается также символом z .Опр.19.1.6. Действительное числоназывается модулем комплексного числа z = x + iy.Геометрически модуль числа z - длина радиуса вектора точки z; модуль разности чисел z1 и z2 равенрасстоянию между этими точками:.Найдём произведение сопряжённых чисел:222+ y·x)i = x + y = |z| .

Таким образом,(x·(-y)- всегда неотрицательное действительное число, причём.Для нахождения частного комплексных чиселсопряжённоезнаменателю:домножим числитель и знаменатель на число,.Для операции умножения справедливы свойстваII.1. z1·z2 = z2·z1;II.2. (z1z2)z3 = z1(z2z3);II.3. Произведение числа 1 = 1 + 0i∈Z на любое число z∈Z равно z;II.4.

Для каждого числа z∈Z существует такое число z-1∈Z, что z·z-1 = 1,Операции сложения и умножения подчиняется закону дистрибутивности:III.1. (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3.Операция сопряжения имеет следующие свойства:;.IV.Комплексная плоскость[1] — это двумерное вещественное пространствоизоморфно полю комплексных чиселпара вида, гдеи, которое.

Каждая точка такого пространства — это упорядоченная— вещественные числа, и где первый элемент пары соответствует вещественнойчасти, а второй элемент пары соответствует мнимой части комплексного числа:Сфера Римана. Бесконечно удалённая точка. Риман предложил применять для геометрическогопредставления комплексной плоскости сферу. Вместе с координатами х, у в плоскости C рассмотримтрёхмерную прямоугольную систему координат ξ, η, ζ, такую, что оси ξ, η совпадают с осями х, у, а ось ζим перпендикулярна.

Поместим в это пространство сферу единичного диаметра ξ 2 + η 2 + ζ 2 =1, касающуюся плоскости х, у в начале координат своим южным полюсом. Каждой точке z(x, y)= x + iy ∈ C поставим в соответствие точку P(ξ, η, ζ ) сферы, получающуюся при пересечении луча,проведённого через точку z и северный полюс N сферы, со сферой.Очевидно, соответствие z ↔ P взаимно однозначно отображаетплоскость С на сферу с единственной исключённой точкой - севернымполюсом N.

Такое соответствие z ↔ P называется стереографическойпроекцией.Пополним комплексную плоскость С новым объектом - бесконечноудалённой точкой z = ∞, которую будем считать прообразом северногополюса N при стереографической проекции. Такую пополненнуюплоскость будем называть замкнутой комплексной плоскостью иобозначать. Если не прибегать к стереографической проекции, тонесобственная точка z = ∞ рассматривается как единственная предельная точка любойпоследовательности {zn} комплексных чисел таких, что |zn| → ∞ при n → ∞, независимо от того, покакому пути точки последовательности удаляются от начала координат.Задание кривых и областей на комплексной плоскости.Так какравен расстоянию между точками z и z0, то1. |z − z0| = R - уравнение окружности радиуса R с центром в точке z0.2.

|z − z0| ≤ R - замкнутая область, ограниченная этой окружностью, т.е. круг радиуса R с центром в точке z0,включающий свою границу.3. |z − z0| > R - открытая область, состоящая из точек, находящихся вне круга радиуса R с центром в z0; кругне включен в эту область.4.

|z − z1| + |z − z2| = 2a - эллипс, построенный на точках z1 и z2, рассматриваемых как фокусы (большаяполуось равна 2а, малая ) (рис. 1.). Области, лежащие внутри и вне эллипса, описываютсясоответствующими неравенствами.5. ||z − z1| − |z − z2|| = 2a - гипербола с фокусами в точках z1 и z2; расстояние между фокусами 2с = |z1 − z2|,между вершинами 2а (рис.2). Уравнение |z − z1| − |z − z2| = 2a даёт ветвь гиперболы, расположенную ближе кфокусу z2; неравенство |z − z1| − |z − z2| > 2a - открытую область, содержащую фокус z1 и ограниченнуюсоответствующей ветвью гиперболы.6. Re z = a (или x = a) - прямая, параллельная оси Оу.

Re z ≥ a - область, лежащая справа от этой прямой(включая прямую); Re z < a - область слева от прямой (прямая не включена в область). Im z = b (или y = b) прямая параллельная оси Ох; Im y ≥ b, Im y < b - области, расположенные выше и ниже этой прямой.7. arg z = α - луч, выходящий из точки z = 0 под углом α к оси Ох.

arg(z − z0) = α - луч, выходящий източки z0 под углом α к оси Ох. α ≤ arg (z - z0) ≤ β - область, расположенная между лучами, выходящими източки z0 (рис. 3.).Определение функции комплексной переменной ничем не отличается от общего определенияфункциональной зависимости.

Напомним, что областью на плоскости мы называемлюбое открытое связное множество точек этой плоскости. Область односвязна, еслилюбая подобласть, ограниченная непрерывной замкнутой самонепересекающейсякривой, лежащей в этой области, целиком принадлежит области.Рассмотрим две плоскости комплексных чисел: C = {z| z = x + iy} и W ={w| w = u + iv}. Пусть в плоскости С задана область D и задано правило, ставящее всоответствие каждой точке z ∈ D определённое комплексное число w ∈ W. В этомслучае говорят, что на области D определена однозначная функция w = f(z) (илиопределено отображение f : z → w).

Область D называется областью определенияфункции, множество {w| w ∈ W, w = f(z), z ∈ D} - множеством значений функции (илиобразом области D при отображении f.Если каждому z ∈ D ставится в соответствие несколько значений w ∈ W ( т.е. точка z имеет несколькообразов), то функция w = f(z) называется многозначной.Функция w = f(z) называется oднолистной в области D ⊂ C, если она взаимно однозначно отображаетобласть D на область G ⊂ W (т.е. каждая точка z ∈ D имеет единственный образ w ∈G, и обратно, каждаяточка w ∈ G имеет единственный прообраз z ∈ D.Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной. Так как w = u + iv, z = x + iy, тозависимость w = f(z) можно записать в виде w = u + iv = f(z) = f(x + iy) = Re f(x+ iy) + i Im f(x+ iy). Такимобразом, задание комплекснозначной функции w = f(z) комплексной переменной z равносильно заданиюдвух действительных функций u = u(x, y) = Re f(z), v = v(x, y) = Im f(z) двух действительных переменных х, у.Линейная функция w = a z + b, где a = a1 + ia2 = |a|·ei arg a, b = b1 + ib2 - фиксированные комплексныечисла, a1, b1 - их действительные части, a2, b2 - их мнимые части.Предел ФКП.Пусть функция w = f(z) определена в проколотой окрестности точки z0 = x0 + iy0.

Комплексноечисло w0 = u0 + iv0 называется пределом функции при z → z0, если для любой ε-окрестности U(w0, ε) (ε>0)точки w0 найдётся такая проколотая δ-окрестностьточки z0, что для всехзначения f(z)принадлежат U(w0, ε). Другими словами, если z0 - собственная точка плоскости, то для любого ε > 0 должносуществовать такое δ > 0, что из неравенства 0 < |z − z0| < δ следует неравенство | f(z) − w0| < ε (аналогичнорасписывается определение для несобственной точки z0 = ∞). Таким образом, на языке ε - δ определениепредела ФКП полностью совпадает с определением предела функции одной действительной переменной;обозначается предел, как обычно:.Неравенство | f(z) − w0| < ε означает, что |(u(x, y) + iv(x, y)) − (u0 + iv0)| < ε, или |(u(x, y) - u0) + i(v(x, y) − v0)| < ε.Для модуля комплексных чисел справедливы все основные свойства абсолютной величины, в частности|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, поэтому |(u(x, y) - u0) + i(v(x, y) − v0)| < εОтсюда легко получить,что.