Основная теорема о вычетах (Теория к 2 РК по ТФКП в PDF), страница 3

Для любого численного значения z ряд превращается в числовой ряд с комплекснымичленами, сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z, то эта точканазывается точкой сходимости ряда. Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точкусходимости - точку z0. Совокупность точек сходимости называется областью сходимостиряда.Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке z1 ≠ z0, то он абсолютносходится в любой точке круга | z - z0| < | z1 - z0|;Если этот ряд расходится в точке z2, то он расходится в любой точке z, удовлетворяющей неравенству | z z0| > | z2 - z0| (т.е.

находящейся дальше от точки z0, чем z2).Из теоремы Абеля следует существование такого неотрицательного действительного числа R, что рядабсолютно сходится в любой внутренней точке круга радиуса R с центром в точке z0, и расходится в любой точкевне этого круга. Число R называется радиусом сходимости, круг - кругом сходимости. В точках границы этогокруга - окружности | z - z0| = R радиуса R с центром в точке z0 - ряд может и сходиться, и расходиться.

В этихточках ряд из модулей имеет вид1. Ряд. Возможны такие случаи:сходится. В этом случае в любой точке окружности | z - z0| = R ряд сходится абсолютно.2. Рядрасходится, но его общий член |an|·R n → 0 при n → ∞. В этом случае в некоторыхточках окружности ряд может сходиться условно, в других - расходиться, т.е. каждая точка требуетиндивидуального исследования.3. Рядрасходится, и его общий член |an|·R n не стремится к нулю при n → ∞.

В этом случаеряд расходится в любой точке граничной окружности.1. Степенная функция w = z n, n - натуральное. Определена, однозначна и аналитична на всей плоскости С.Действительно, при n =1 w = x + iy, u = x, v = y, u’x = 1 = v’y, u’y = 0 = -v’x, w’= u’x + iv’x = 1 (или,непосредственно,). Далее, w = z n = z ·z ·z ·...· z дифференцируема какпроизведение дифференцируемых функций.

Её производная w’ = n z n−1отлична от нуля при z ≠ 0,следовательно, отображение w = z n при n > 1 конформно в этих точках. (Углы с вершиной в точке z =0 увеличиваются в n раз). Отображение неоднолистно при n > 1на всей плоскости С; для его однолистности внекоторой области D ∈ C необходимо, чтобы область помещалась в некоторый сектор раствора.2. Показательная функция w = e z. Определим эту функцию предельным соотношениемДокажем, что этот предел существует при ∀ z = x + iy ∈ C:обозначим Mn:достаточно больших n дробь 1 + z /n лежит в правой., модуль этого числа, аргумент - Φn:(приполуплоскости).следовательно, существует.iyПри мнимом z = iy (x = 0) отсюда следует, что e = cos y + i sin y, теперь формула Эйлера окончательнодоказана.Кратко перечислим свойства этой функции.1.

Функция w = e z аналитична на всей плоскости С, и (e z )’ = e z (доказано в разделе 19.3.3. Примеры,вычисления производных).2. e z1·e z2 = e z1 + z2 (проверяется непосредственно).3. Функция w = e z периодическая, с мнимым основным периодом 2π i (e2π i = cos(2π) + isin(2π) = 1, e z +2π i= e z·e 2π i = e z).Из этого свойства следует, что для однолистности отображения w = e z необходимо, чтобы область D несодержала пары точек, связанных соотношением z2 − z1 = 2 nπ i, такой областью является, например, полоса {0 <Im z < 2π}, преобразуемая в плоскость С с выброшенной положительной полуосью.3.

Тригонометрические функции. Определим эти функции соотношениями,. Все свойства этих функций следуют из этого определения и свойств показательнойфункции. Эти функции периодичны с периодом 2π, первая из них четна, вторая - нечетна, для них сохраняютсяобычные формулы дифференцирования, например,, сохраняются22обычные тригонометрические соотношения (sin z + cos z = 1 - проверяетсянепосредственно,, формулы сложения и т.д.)4. Гиперболические функции. Эти функции определяются соотношениями,. Из определений следует связь тригонометрических и гиперболических функций:ch z = cos iz, sh z = - i cos iz, cos z = ch iz, sin z = - i sh iz, sh iz = i sin z, sin iz = i sin z.5. Функцияформулами.

Это n-значная функция (раздел 19.1.3), все значений которой даются, k = 0, 1, 2, …, n-1. Функцияопределяетсяравенством.6. Логарифмическая функция w = Ln z определяется при z ≠ 0 как функция, обратнаяпоказательной: w = Ln z, если z = e w. Если w = u + iv, то последнее равенство означает,чтоe w = e u+ iv = e u e iv = z = | z | e i Arg z , откуда e u = |z| ⇒ u = ln | z |; v = Arg z = arg z + 2 k π i . Такимобразом, Ln z = ln| z | + i (arg z + 2 k π), k = 0, ±1, ±2, ±3, ... - функция многозначная (бесконечнозначная); еёзначение при k = 0 называется главным и обозначается ln z: = ln |z| + i arg z.

Так, ln (−5) = ln |−5| + i arg (−5) = ln 5+ πi, Ln (−5) = Ln |−5| + i arg (−5) + 2 k π i = ln 5 + i π(2k + 1), где k - произвольное целое число.7. Общая показательная a z и общая степенная z a (z, a - произвольные комплексные числа, z, a ≠ 0, a =const) функции определяются соотношениями a z = e z·Ln a, z a = e a·Ln z,и,следовательно, бесконечнозначны.8. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции определяются так же, как и вдействительном случае (w = Ar sh z, если sh z = w, например), и выражаются черезLn z.Интегрирование функций комплексной переменной. Интегральная теорема Коши.19.6.1. Интеграл от ФКП.19.6.1.1. Определение.

Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированнаякусочно-гладкая кривая, на которой определена функция w = f(z). Разобьём кривуюточками z0 = A, z1, z2, …, zn = B на n частей, на каждой из дугвыберем произвольную точку tk,найдём f(tk) и составим интегральную сумму. Предел последовательностиэтих сумм при n → ∞, max|Δ z k| → 0 (k = 1, 2, ..., n), если он существует, не зависит ни от способа разбиениякривой на дуги, ни от выбора точек tk, называется интегралом от функции w = f(z) по кривой L иобозначается.Теорема.

Если функция w = f(z) непрерывна на кривой L, то она интегрируема по этой кривой.Док-во. Распишем действительные и мнимые части всех величин, входящих в интеграл: z k = x k + iy k, f( z)= u(x, y) + iv(x, y), t k = ξ k + iζ k,Δzk = zk − zk -1 = (xk + iyk) − (xk -1 + iyk -1) = (xk − xk -1) + i(yk − yk -1) =Δx k + iΔy k, тогда f(t k)·Δz k = (u(ξk, ζk) + i v(ξk, ζk))(Δxk + i Δyk) =(u(ξk, ζ kk)·Δx k − v(ξk, ζk)·Δy k) + i (u(ξk, ζk)·Δy k + v(ξk,ζk)·Δx k), и суммаразобьётся надве.

Каждая из этих сумм интегральная сумма для действительных криволинейных интегралов второго рода,соответственно,и. Если L - кусочно-гладкая кривая, w = f(z) - непрерывна (тогданепрерывны её координатные функции u(x, y) и v(x, y)), то существуют пределы этих сумм при max|Δzk| → 0 (k =1, 2, 3, ..., n) - соответствующие криволинейные интегралы, следовательно,существует,и.19.6.1.2. Свойства интеграла от ФКП. Мы доказали, чтовыражается через два действительныхкриволинейных интеграла второго рода, поэтому он обладает всеми свойствами этих интегралов:1.постоянные);- произвольные комплексные2.3.направлении;- кривые без общих внутренних точек):- кривая, совпадающая с L, но проходимая в противоположном4.

Если l - длина кривой L, | f( z)| ≤ M при z ∈ L, то.Теорема Коши для односвязной области. Если D - односвязная ограниченная область, w = f( z) - аналитическаяв этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интегралот f(z) по L равен нулю:.Доказательство. Т.к.криволинейным интегралам формулу Грина,, то, применяя к действительнымполучимвследствие условий Коши-Римана. Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутриконтура L.Следствие. Для всех кусочно-гладких кривых, лежащих внутри области D, в которой аналитичнафункция w = f(z), и имеющих общие начальную и конечную точки, интегралзначение.Объединение L1∪L2− кривых - замкнутый контур,имеет одинаковоепоэтому.Оказывается, что справедлива и обратная теорема Морера: если функция w = f(z) непрерывна водносвязной области D и интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру, лежащему в D, равеннулю, тофункция аналитична в области D.Теорема Коши для многосвязной области.

Если функция w = f(z) аналитична в замкнутой многосвязнойограниченной области, ограниченной контурами L0 (внешняя граница),L1, L2, …, Lk, то интеграл от f(z), взятыйпо полной границе области, проходимой так, что область остаётся с одной стороны, равен нулю.Доказательство Рассмотрим случай, когда граница области(на рисунке область заштрихована) состоитиз внешнего контура L0 и внутренних контуров L1 и L2. Соединим контур L0 разрезом FM с контуром L1,разрезом BG - с контуром L2.

Областьграницейсодносвязна, поэтому для неёсправедлива интегральная теорема Коши:. Интегралы по каждому из разрезов входят в этотобщий интеграл дважды в противоположных направлениях и, как следствие, взаимно уничтожаются, поэтомуостаются только интегралы по контурам, проходимым так, что область остаётся с одной стороны.В дальнейшем нам понадобится другая формулировка этой теоремы. Буквами без верхнего индекса будемобозначать контуры, проходимые против часовой стрелки, с верхним минусом - по часовой.