Основная теорема о вычетах (Теория к 2 РК по ТФКП в PDF), страница 4

Мы доказали,что. Таким образом, интеграл повнешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам, при этом все контуры обходятся водном направлении.Формула Ньютона–Лейбница Пусть G – односвязная область иЕсли f(z) – аналитическая функция в области G, то функция F(z):области G иявляется аналитической вт. е. F(z) есть первообразная для функции f(z). Тогда интеграл от аналитическойфункции в области G от точкиНьютона–Лейбница:где– фиксированная точка.до точки, принадлежащих области G, можно вычислить по формулепервообразная функции f(z) иИнтегральная формула Коши.

Пусть w = f(z) аналитична в области D и L - замкнутая кусочно-гладкая кривая,содержащаяся в D вместе с областью D1, которую она ограничивает. Тогда для каждой точки z0 ∈ D1 имеет местоформула.Доказательство. Заметим, что в этой формуле функция в точке z0 портится какраз введением множителя. Доказательство очень похоже надоказательство того, что= 2π i. Мы окружимточку z0 окружностью Lρ радиуса ρ столь малого, что на Lρ функция f(z) мало отличается отf(z0): f(z) ≈ f(z),тогда.

Более строго, возьмём ρ стольмалым, что окружность Lρ радиуса ρ с центром в z0 лежит в D1. Функция w = f(z) аналитична в двусвязнойобласти, заключенной между L и Lρ, поэтому (следствие из 19.6.2.2. Теоремы Коши для многосвязнойобласти).

Распишем последнийинтеграл:. Второй интеграл здесь равен. Первыйинтеграл а). не зависит от ρ ( действительно, подынтегральная функция аналитична в области между Lρ и Lρ1,где Lρ1 - окружность радиуса ρ1 < ρ, и по тому же следствию из 19.6.2.2. Теоремы Коши для многосвязнойобласти; б).. Изутверждений а) и б) следует, что первый интеграл.Докажем утверждение б). Обозначим Mρ = max | f( z) − f( z0)| при z ∈ Lρ, при этом, вследствиенепрерывности функции, Mρ → 0 при ρ → 0. Оценимρ e iφ, z = z0 + ρ e iφ, dz = i ρ e iφ dφ, | dz| = ρ dφ, 0 ≤ φ ≤по модулю (учитывая, что z − z0 =2π):. Утверждение доказано.Доказана и интегральная формула Коши:.Ряд Тейлора.

Пусть функция w = f(z) аналитична в области D, z0∈ D.Обозначим L окружность с центром в z0, принадлежащую области D вместе сограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащейвнутри L,сходящейся геометрической. Представим множительпрогрессии:z0| , то)абсолютно, поэтому его можно почленнов виде суммы(так как | z – z0| < | t –, и ряд сходитсяинтегрировать:, так как. Итак,.Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции f(z). Этот ряд абсолютно сходится внутриконтура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D.

ДоказанаТеорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция w = f(z) аналитична в области D, z0 ∈ D, тофункция f(z)может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (z – z0)n. Этот ряд абсолютно сходитсяк f(z) внутри круга | z – z0| < r, где r - расстояние от z0 до границы области D (до ближайшей к z0 точке, в которойфункция теряет аналитичность). Это разложение единственно.Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются черезпроизводные функции.19.8.1.1. Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе немогут отличиться от изучавшихся в прошлом семестре разложений:1.;2.;3.;4.5.;;Ряд Лорана. Пусть функция f(z) аналитична в кольце ρ ≤ |z − z0| ≤ R.

Тогда для любой точки этогокольца; при этом окружности проходятся так, что область остаётсяслева. Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода напротивоположное:так, как и при выводе формулы Тейлора:z0|, то)абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:. Интеграл по внешней окружности преобразуем(так как | z – z0| < | t –, и ряд сходится,где. Интеграл по внутренней окружности преобразуеманалогично, учитывая только, что на Lρ | t – z0| < | z –z0| :.

И здесь ряд сходится абсолютно,поэтому его можно почленноинтегрировать:,где. Переобозначим n →−n, тогда форма коэффициентов ряда для Lρ совпадёт с формой коэффициентов рядадля LR:поэтому окончательно для интегралапо Lρ получим. Докажем, что и контур для вычисления коэффициентовможет быть взят один и тот же. Действительно, пусть Γ - кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце ρ ≤|z − z0| ≤ R, и точка z0 расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязнойобласти;, поэтому длялюбого n,и.Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени (z – z0), называется рядом Лоранафункции f(z).

Его часть, содержащая неотрицательные степени (), называется правильной;часть, содержащая отрицательные степени (), называется главной.Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге | z –z0| ≤ R, главная - во внешности круга| z – z0| ≥ ρ, поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце ρ ≤ | z – z0| ≤ R. Так же, как идля ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно.Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этогокольца определяется областью аналитичности функции, т.е.

разложение теряет смысл там, где функция теряетаналитичность.Нули аналитической функции.Точка а называется нулём порядка k аналитической функции f(z), если f(a) = f ′(a) = f ″(a) = ... = f (k−1)(a) = 0,но f (k)(a) ≠ 0.Теорема. Для того, чтобы аналитическая в точке а функция f(z) имела в этой точке нуль k -го порядка,необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки функция f(z) представлялась в виде f( z) = (z − a) k·φ(z),где φ(z) - аналитическая в точке а функция, и φ(a) ≠ 0.Доказательство.

Необходимость. Пусть точка а - нуль k-го порядка функции f(z), т.е. f(a) = f ′(a) = f ″(a) = ...= f (k−1)(a) = 0, и f (k)(a) ≠ 0. Тогда её разложение в ряд Тейлора имеетвидгде,- аналитическая (как сумма степенного ряда с тем же кругомсходимости, что и у ряда для f(z)) функция,.kДостаточность. Пусть f( z) = (z − a) ·φ(z), где φ(z) - аналитическая в точке а функция, и φ(a) ≠ 0. Находимпроизводные этой функции по формуле Лейбница( uv ) (n) = u (n) v + n u (n - 1) v ′ + Cn2 u (n - 2 ) v ″ + Cn3 u (n - 3 ) v(3 ) + …+ Cn2 u ″ v (n - 2) + n u ′ v (n - 1 ) + u v (n ): f ′(z) = k(z − a)k - 1 φ(z) + (z − a)k φ ′(z), f ′(a) = 0; f ″(z) = k (k − 1)(z − a)(k - 2) φ(z) +2k (z − a)(k - 1) φ′(z) + (z − a)(k) φ″(z), f ″(a) = 0;…………… ………………………….;f ( k -1 )(z) = k·( k -1 )·…2·(z − a) φ(z) + C1k-1k·( k -1 )·…3·(z − a)2 φ ′(z) + … + (z − a) k φ(k -1)(z), f ( k -1 )(a) = 0;f ( k)(z) = k·( k -1 )·…2·1·φ(z) + C1k k·( k -1 )·…2·(z − a) φ ′(z) + … + (z − a) k φ(k)(z), f ( k)(a) = k!·φ(a) ≠ 0, что и требовалосьдоказать.Из этой теоремы следует, что если многочлен P n(z) = a0 z n + a1 z n - 1 + a2 z n - 2 + … + a n - 1 z = 0 разложен намножители P n(z) = a0 (z − z1) k1 (z − z2) k2 … (z − zl) kl , то корни z1, z2, …, zlявляются нулями функции P n(z) кратностей,соответственно, k1, k2, …, kl.Изолированные особые точки.19.9.2.1.

Определение. Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существуетокрестность этой точки, в которой f(z) аналитична во всех точках, за исключением точки а.Рассмотрим разложение функции f(z) в ряд Лоранаособой точки а. При этом возможны следующие случаи.1. Главная часть ряда Лорана отсутствует:В этом случае особая точка а называется устранимой.2. Главная часть содержит конечное числов окрестности изолированной.членов:.В этом случае особая точка а называется полюсом n-го порядка. Если n =1, полюс называется простым, востальных случаях - кратным.3. Главная часть содержит бесконечно много членов.

В этом случае особая точка а называется существенноособой точкой.19.9.2.2. Признаки особых точек по значению.1. Для того, чтобы особая точка z = a была устранимой особой точкой функции f(z), необходимо идостаточно, чтобы существовал конечный пределДок-во. Выпишем разложение f(z) в рядЛорана:что= C, C ≠ ∞.. Очевидно,может быть конечным тогда и только тогда, когда отсутствуют члены с отрицательнымистепенями, т.е.

отсутствует главная часть, т.е. z = a – устранимая особая точка. В этом случае= A0.2. Для того, чтобы особая точка z = a была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно, чтобысуществовал бесконечный предел= ∞.Докажем теорему, из которой следует это утверждение.Теорема. Для того, чтобы особая точка z = a была полюсом n-го порядка функции f(z), необходимо идостаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки f(z) представлялась в видегде φ(z) аналитическая в точке а функция, φ(a) ≠ 0.Док-во. Необходимость.

Пусть f(z) имеет в точке z = a была полюс n-го порядка,,т.е.Преобразуем этовыражение:..Обозначим φ(z) сумму ряда, стоящего в скобках:φ(z) = A -n + A -n + 1(z − a) + A -n + 2(z − a) + … + A0(z − a) + A1(z − a) n +1+ A1(z − a) n + 2 + ….Ряд Лорана функции f(z) сходится в некотором кольце 0 < | z – a | < r. Пусть точка z1 принадлежит этомукольцу. Ряд для φ(z) сходится в этой точке, так как он отличается от сходящегося ряда для f(z) только2nпостоянным множителем; по теореме Абеля ряд для φ(z) сходится в круге | z – a | < | z1 – a |,и φ(z) аналитична в этом круге как сумма степенного ряда.Достаточность.

Пусть, где φ(z) аналитическая в точке а функция, φ(a) ≠ 0. Разложим φ(z) вряд Тейлора: φ(z) = B0 + B1(z − a) + B2(z − a)2 + … + Bk(z − a)k + …. Тогда, т.е. главная часть ряда Лорана функции f(z) начинаетсяс члена, где B0 = φ(a) ≠ 0, т.е. точка z = a – полюс n-го порядка.Следствие.