Основная теорема о вычетах (Теория к 2 РК по ТФКП в PDF), страница 5

Точка z = a – полюс n-го порядка функции f(z) тогда и только тогда, когда существуетконечный.Теорема о связи нулей и полюсов. Функция f(z) имеет в точке z = a – полюс n-го порядка тогда и только тогда,когда функцияимеет в этой точке нуль n-го порядка.Вычет аналитической функции в особой точке. Пусть функция f(z) аналитична в области D за исключениемточки a. Разложим f(z) в окрестности этой точки в рядЛорана:Коэффициент A-1 называется вычетом функции f( z) в точке а и обозначается.

Если γ произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, расположенный в области D и содержащий внутри себяточку а, то, согласно общей формуле для коэффициентов ряда Лорана (см. 19.8.3. Ряд Лорана), получаемдругое, эквивалентное, определение вычета,= A - 1.Вычет в устранимой особой точке равен нулю.Это следует из определения устранимой особой точки: главная часть ряда Лорана отсутствует, всекоэффициенты с отрицательными индексами равны нулю, A-1 = 0.Вычеты в полюсах.19.9.3.2.1. Если а - простой полюс функции f(z), то.Док-во. Простой полюс - полюс первого порядка, поэтому разложение в ряд Лорана начинается с минуспервой степени:. Тогда(z − a) f( z) = A -1 + A 0(z − a)+ A 1(z − a) 2 + A 2(z − a) 3 + …, и19.9.3.2.2. Пусть., где φ( z), ψ( z) - аналитические в окрестности точки а функции. Если а -простой нуль функции ψ( z), и φ(a) ≠ 0, то.Док-во.

Если а - простой нуль функции ψ( z), и φ( a) ≠ 0, то а – простой полюс функциипо предыдущему. Тогда,утверждению,.19.9.3.2.3. Если а - полюс функции f(z) n-го порядка, тоДок-во. Так как точка z = a - полюс n-го порядка функции f(z),.то. Для того,nnчтобы удалить особенность в точке а, умножим f(z) на (z – a) : (z – a) f( z) = A - n + A -n + 1(z − a) + … + A - 1(z − a) n 1+ A 0(z − a) n + A 1(z − a) n + 1 + …. Теперь, чтобы убрать первые члены этой формулы и добраться до A -1,дифференцируем это произведение n-1раз:,,……………………………………………………………………………………………………………………….,,, откуда и следует доказываемая формула.Бесконечно удалённая особая точка.

Будем считать точку z = ∞ особой точкой любой аналитической функции.В разделе 19.1.6. Окрестности точек плоскостимы определили окрестности этой точки как внешностикругов с центром в начале координат: U(∞, ε) = {z ∈| | z | > ε}. Точка z = ∞ является изолированной особойточкой аналитической функции w = f(z), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек этойфункции. Для определения типа этой особой точки сделаем замену переменной, при этом точка z =∞ переходит в точкуz1 = 0, функция w = f(z) примет вид. Типом особой точки z =∞ функции w = f(z) будем называть тип особой точки z1 = 0 функции w = φ(z1).

Если разложениефункции w = f(z)по степеням z в окрестности точки z = ∞, т.е. при достаточно больших по модулю значениях z,имеет вид, то, заменив z на,получим. Таким образом, притакой замене переменной главная и правильная части ряда Лорана меняются местами, и тип особой точки z =∞ определяется количеством слагаемых в правильной части разложения функции в ряд Лорана по степеням z вокрестности точки z = 0. Поэтому1. Точка z = ∞ - устранимая особая точка, если в этом разложении правильная часть отсутствует (заисключением, возможно, члена A 0);2. Точка z = ∞ - полюс n-го порядка, если правильная часть заканчивается слагаемым A n·z n;3. Точка z = ∞ - существенно особая точка, если правильная часть содержит бесконечно много членов.При этом остаются справедливыми признаки типов особых точек по значению: если z = ∞ устранимая особая точка, то этот предел существует и конечен, если z = ∞ - полюс, то этот предел бесконечен,если z = ∞ - существенно особая точка, то этот предел не существует (ни конечный, ни бесконечный)..