Основная теорема о вычетах (533322), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Таким образом, существование предела функциикомплексной переменной равносильно существованию пределов двух действительных функций u(x, y) и v(x, y)двух действительных переменных. Поэтому в комплексный анализ автоматически переносятся все теоремы определах функции в точке (предел суммы функций и т.д.). Так же можно доказать, что если w0 = |w0|·(cosarg w0 + i sin arg w0) ≠ 0, то(для существования нулевогопредела достаточно, чтобы).Непрерывность ФКП. Пусть функция w = f(z) определена в окрестности точки z0 = x0 + iy0.
Функция называетсянепрерывной в точке z0, если:1. существует;2.Как и в случае предела, можно показать, что w = f(z) будет непрерывной в точке z0 = x0 + iy0 тогда и толькотогда, когда функции u(x, y) и v(x, y) непрерывны в точке (x0, y0), поэтому на ФКП переносятся все основныетеоремы о непрерывности функций.Определение производной. Аналитичность ФКП. Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимаетсобственные значения в окрестности точки z = x + iy ∈ C. Производной функции w = f(z) в точке z называетсяпредел. Функция, имеющая конечную производную вточке z, называется дифференцируемой в этой точке.В этом определении важно, что стремление Δz → 0 может проходить по любому пути.Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z, если онадифференцируема в некоторой окрестности этой точки.Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этойобласти.Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Для того, чтобы функция w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) быладифференцируема в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) = Re f(z) и v(x, y) = Im f(z)были дифференцируемы в точке (х,у), и чтобы в этой точке выполнялисьсоотношения.Доказательство.
Необходимость. подойдём к точке z двумя путями - по направлениям Δz = Δх (Δy =0) и Δz = iΔy (Δx = 0).В первом случае: Δw = (u(x + Δx, y) + iv(x + Δx, y)) − (u(x, y) + iv(x, y)) == (u(x + Δx, y) − u(x, y)) + i(v(x + Δx, y) − v(x, y)) = Δxu + iΔxv;.Во втором случае: (напомню, что) Δw = (u(x, y + Δy) + iv(x, y + Δy)) − (u(x, y) + iv(x, y)) == (u(x, y + Δy) − u(x, y)) + i(v(x, y + Δy) − v(x, y)) =Δyu + iΔyv;. Пределы должны быть равны,поэтому.Достаточность. По предположению теоремы, функции u(x, y), v(x, y) дифференцируемы в точке (х,у),поэтомугде α(Δx, Δy), β(Δx, Δy) - бесконечномалые более высокого порядка по сравнению с,., т.е.. Найдём.Последнее слагаемое - бесконечно малая высшего порядка по сравнению с Δz =Δx + iΔy:; далее, в предыдущихслагаемых, пользуясь формулами Коши-Римана, оставим только частные производные по х, т.е.заменимтогдана,на;.
Отсюда следует, что существуетдифференцируема в точке (х,у).Производная дифференцируемой функции может находиться по любой из, т.е. функцияформул, эти равенства следуют из условийКоши-Римана. При вычислении производных можно пользоваться всеми правилами действительногоанализа:(в точках, где g(z) ≠ 0.Гармоничность действительной и мнимой частей аналитической функции.
Дифференцируя первоесоотношение Коши-Риманапо переменной х, второе соотношениепо переменной у,получим, т.е. Δu = 0 (Δ - оператор Лапласа), т.е. u(x, y) гармоническая функция. Дифференцируя первое соотношение Коши-Римана по переменной у, второесоотношение по переменной х, получим, т.е. Δv = 0, т.е. v(x, y) - тоже гармоническая функция.Пара гармонических функций, связанных соотношениями Коши-Римана, называется сопряжённымифункциями. Легко доказать, что для любой гармонической в односвязной области D функции u(x, y) существуетединственная (с точностью до постоянного слагаемого) сопряжённая с ней гармоническая функция v(x, y), т.е.такая функция, что w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) - аналитическая функция; и наоборот, для любойгармонической v(x, y) существует сопряжённая с ней гармоническая u(x, y).
Пусть, например, дана u(x, y),обозначим. Эти функции удовлетворяют условиювекторное поле, т.е.потенциально. Функцию v(x, y) можно найти теперь изсистемы(как это делается при решении уравнения в полныхдифференциалах P(x, y)·dx + Q(x, y)·dx = 0), и как потенциальную дляполяфункцию.Геометрический смысл производной. Равенствоозначает, что Δw = f ′(z)·Δz +γ(Δz)·Δz, где γ(Δz) → 0 при Δz → 0.
Отсюда, в частности, следует, что если функция дифференцируема в точке, тоона непрерывна в этой точке. Будем писать Δw ≈ f ′(z)·Δz, пренебрегая слагаемым высшего порядка малости.Пусть в точке z существует f '(z) ≠ 0. Возьмём точки z и z+ Δz; пусть w = f(z), тогда Δw ≈ | f ′(z)|·e i arg f ′ (z)·Δz =| f ′(z)|·|Δz|·e i (arg f ′ (z) + arg Δz).
Таким образом, |Δw| в |f ′(z)| больше |Δz|, arg Δw больше arg Δz на arg f ′(z) длялюбого arg Δz (с точностью до бесконечно малых высшего порядка). Следовательно, в окрестности любойточки z, в которой f ′(z) ≠ 0 отображение z → w = f (z) действует следующим образом: любойвекторрастягивается в| f ′(z)| раз и поворачивается на угол arg f ′(z).Конформность дифференцируемого отображения.Пусть через точку z проходят две гладкие кривые L1 и L2, касательные l1 и l2 к которым образуют сосью Ох углы, соответственно, θ1 и θ2. Образы этих кривых L'1 и L'2 при дифференцируемомотображении z → w = f (z) имеют касательные l1' и l2',образующие с действительнойосью Ou углы θ1' и θ2'.
Согласно предыдущему пункту, θ1' = θ1 + arg f '(z), θ2' = θ2 + arg f '(z), т.е.θ2' − θ1' = θ2 −θ1. Таким образом, дифференцируемое отображение при f '(z) ≠ 0 сохраняет углы между кривыми. Сохраняетсяи направление отсчёта углов (т.е. если θ2 > θ1, то θ2' > θ1').Любое преобразование плоскости в плоскость, обладающее эти свойством (т.е. свойством сохранения углов),называется конформным.
Если при этом сохраняется направление отсчёта углов, то преобразованиеназывается конформным преобразованием первого рода; если направление отсчёта углов меняется напротивоположное, то преобразование называетсяконформным преобразованием второго рода. Мы доказали,что аналитическая в некоторой области G функция w = f(z)осуществляет конформное отображение первогорода во всех точках, в которых производная отлична от нуля.Пример конформного отображения второго рода – недифференцируемая функция.Числовые ряды с комплексными членами.19.4.1.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел z1, z2, z3,…, zn, … .Действительную часть числа zn будем обозначать an, мнимую - bn(т.е.
zn = an + i bn, n = 1, 2, 3, …).Числовой ряд - запись вида.Частичные суммы ряда: S1 = z1, S2 = z1 + z2, S3 = z1 + z2 + z3, S4 = z1 + z2 + z3 + z4, …, Sn = z1 + z2 + z3 + … + zn, …Определение. Если существует предел S последовательности частичных сумм ряда при n → ∞, являющийсясобственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда ипишут S = z1 + z2 + z3 + … + zn + … или S =.Абсолютная сходимость.Определение. Рядназывается абсолютно сходящимся, если сходится рядсоставленный из абсолютных величин его членов.Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, легко доказать, что еслисходится ряд, то обязательно сходится рядобразованные действительной и мнимой частями рядаа рядрасходится, то ряд,.
(|an| ≤ |zn|, |bn| ≤ |zn|, поэтому ряды,, сходятся абсолютно). Если рядсходится,называется условно сходящимся.Ряд- ряд с неотрицательными членами, поэтому для исследования его сходимости можноприменять все известные признаки ( от теорем сравнения до интегрального признака Коши).Свойства сходящихся рядов.Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при n → ∞.Если сходится ряд, то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остатокряда, то сходится и сам ряд.Если ряд сходится, то сумма его остатка после n-го члена стремится к нулю при n → ∞.Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, асумма умножится на с.Сходящиеся ряды (А) и (В) можно почленно складывать и вычитать; полученный ряд тоже будет сходиться,и его сумма равна SA ± SB .Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом и составить новый ряд из сумм членовв каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна суммеисходного ряда.Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма неизменяется.Если ряды (А) и (В) сходятся абсолютно к своим суммам SА и SB, то их произведение при произвольномпорядке членов тоже сходится абсолютно, и его сумма равна SА·SА.Достаточный признак сходимости ряда: ???Степенные комплексные ряды.Степенным рядом с комплексными членами называется рядвида, где a0, a1, a2,…, an, - постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда), z0 - фиксированное комплексное число (центркруга сходимости).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
