Галкин С.В. Математисеский анализ. Метод. указания по метериалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.63-115. 2004г (Методичка с лекциями (Галкин С.В.)), страница 8

Для доказательства нужно перейти к координатной записи векторя и применить правила дифференцирования произведения (скалярных) функций. 2. Дифференцирование скалярного произведения вектор-функций: (рс(с) а2(с)) (ас(с)' а2(с))+(й)Я Я) Применяя формулу для скалярного произведения вся<торов, получим !!О ( 1хазх+ а!уп2у+ пс,п2,) =(с;,,и + „ су 2у) (а! азе+ рпазе)=(а)хСС2.+ а)„р + ' (~1аа2~+сссуа2 +р, й2 ) ! ледствлее' Производная весгго!зсс модулс к нен, есть вектор, ортогональный к нсь ю Запишем скалярное произведение вскпсра па самого себя и проднфференцирусм произведение по правнссу 1 (й(с) й()) =2(й(с) й(с)) Но по условию модуль вектора постоянен, г. с.

1сс1= сопя! Э следовательно, (а(с) й(с))=)й(с)! =сопя!. Поэтому (й(с) а(с)) = =2(й(с) а(с))=0. Отсюда видно, чтоа(с) и а(с)ортогональпы. с 3, Дифференцирование векторного произведения пектор-функций; (й)(с) х й2(с)) =(а)(с) а2(с))+(й)(с) ~ р2(с)), Это правило доказывается аналогично правилу 2, Скорость н ускорение матерпаллиюй гочки в трехмерном пространстве Рассмотрим пространственное движение материальной точки, Введем радиус-вектор материальной точки кпк вектор-функцию скалярного аргумента (времени) гЯ = х(с)с+ у(с)уп+ я(с)й. Кривая з(с), описываемая концом радиус-вектора точки, называется годографом.

Скорость материальной точки определим как производную радиус-вектора слс'(с) 6(с) = с'!'с) = 1пп— сл о ел с Вектора Ьг(с), — направлены по секущей, а векторб( )- сЛс"(с) "с -по Лс касательной к годографу (предельному положенисо секуплей при Ьс — э О). В координатной записи б(г) = г(с) =хЯс+ у(сУ+ х(с))с. Найдем величину скорости — модуль вектора скорости; ~б(е)~=4х(е))'+(у(е»'+('(е))'. Так как длина бесконечно малой гладкой дуги и длина стягивающей ее хорды — эквивалеитныв б,м., то !6(Е)1= !1ю — = 1пп — = л(Е). !21КЕ)! . Ьл ае о бе ле-ое1е Поэтолгу Вектор Ь с(е) = т(е+ Ье) — т(е) лежит в треугольнике, образованном двумя касательными к годографу, и опирается н» угол между ними (угол смежности). Рассмотрим — — ---~ЕЕ. д с мгновенная кривизна (хорда эквивалентна дуге и центральному уг- Н „1 лу, на который опираетта дуга).

Поэтому — = Еое = — Л, где р— й р еет мпювенный радиус кривизны. Подставляя это вырюкение в —, ьЛ ю имеем — =-л. Тогда ж р оеэ(е) = сЮ еЬ вЛ е1 'я й й ЕЕ,ЕЕ 2 р И и'те ЕЛ вЂ” (Ю) = — т+ о —; й й й' ~Л ьЛ й гЛ еЛ еЛ вЂ” = — — =и —; — = — й. й йй й' й й 112 Обозначим н(е) =16(е)ь введем т — единичный вектор, направ- ленный по касательной к годографу, Тогда еу ЕЕу й 6(Е) = — = — — = н(Е)т, й йй И так как по опредолвнню длины дуги ~ — = 1пп ~ — = 1. й ла-ес~Ьл еГу Итак, — =т, В(е)=тгг, й Рассмотрим ускорение материальной точки как производную ве скорости; Здесь й- единичный вектор нормали; он направлен к мгновенному оЛ центру кривизны, В самом деле, —.т =о — И (следствие из прай е(л вила дифференцирования скалярного произведения вектор-функций).

Первое слагаемое в правой части- тан ген циальиое ускорение, нап явленное по касательной к годографу, второе слагаемое- центростремительное ускорение, направленное к мгно н у пр тру кривизны по нормали к годографу. формулы Френе Рассмотрим пространственную кривую (рис. 11). р , 111, В некоторой ее точке М проведем нормальную плоскость 3 через вектора нормали й и бинормали б, спрямлнющую плоскость 1 через вектора касательной с и бинормали Ь, соприкасающуюся плоскость 2 через вектора касательной т и нормали й.

Вектора касательной, нормали и би- М:.'1. нормали составляют сопроваждмо- и н щий репер, а тройка плоскостей— сопровождающий трехгранник, связанный с материальной точкой, для которой данная кривая являет- Рие. 11 ся траекторией двюкення. ий о л алой тройки вектора ы - ° юют каеательлой и глааиой каркали: Ь = е Х и. СОДЕРЖАБИй 13 20 28 102,.к 109 115 с Для производных векторов сопровогкдающего праведливы следующие формулы Френе. трехгранника П . Первая формула Френе уже была получена ранее.

Ж 1„ — =4гг = — й, ае р 2,П . Продифферепцируем вектор бинормали Ь = тх й дЬ г1 Л йп г, " ( аг — = — (т х й) = — х л+ т х — = lг(й х й)+ ~т х — ! = — — — — — )= тх— аЪ Следовательно, — 3Л. Ио Ь вЂ” единичнь и г!е вектор, значит, ИЬ вЂ” дЬ вЂ” 8Ь д, Ь у т!! Й С"юда сле уст вторая формула —. Ь и —.1 Ь, Поэтом Френе, 4Ь вЂ” — — (И вЂ” кручение, Т = — — радиус кручения). 3. Продифференцируем вырагггение й = ( — т х Ь ) по длине дуги гк й Л - г!Ь вЂ” = - — х Ь - т х — = -Ьл х Ь вЂ” т х и йг = -И вЂ” й Ь = — — т - — Ь; р Т ' ~И 1.

1- — = — — т — — Ь вЂ” это третья формула Френе. Т Заметим что я дл пространственной кривой кривизна и к че-' лне вычисляются по формулам а и круче-' !г2 1 (г 'г) Введение, злементы математической логики и теории множеств (лекции 1, 2)., Множества на числовой прямой, функции и отображения (лекции 3, 4 )....,......,...,, Предел последовательности (лекг!ил 5) Предел функции (лекции б, 7) .. Первый и второй замечательные пределы, бесконечно малые величины функции) (лекция 8) Бесконечно малые и бесконечно большие (лекция 9) Непрерывность функции(леггггил 10)...,......,... Свойства функций, непрерывных на отрезке (лекция 11) Производная (лекция 12) Правила дифференцирования (лекция 13),...,......

Производные высших порядков (лекг!ия !4),,,...,... Дифференциалы первого и высших порядков (лекция!5) .. Теоремы о средних значениях (лекцил !б)......,.... Формула Тейлора (лекции 17, 18), Экстремумы графика функции ( лектория 19),......... Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба, исследование графика функции (лекция 20) Дифференциал длины дуги (лекция 21) Вектор-функция скалярного аргумента (лекция 22)...... 34 41 47 50 55 б0 бб 68 72 81 90 кф" кз 'Я! Сергей Влиднмнроввч Гилкнн МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические уквзвпин по мвтерналвм лекций длн подготовки к экзамену в нервом семестре редактор 66В.

Самакина Коррсктор 0.70, Сакалааа 1!олиисаио а печать 27 ) ! 03. Формат 60х34/16, Вумата офссозая, Исч. л. 7,25. Усл. исч. я. 6,74. Уч.-иззь я, 5,87. Тираж 500 зм. Изя. № 152. Заказ ф Изяатсльстао МГТУ им. 1!.Э. Ьауьниа, 105005, Москаа, 2-я Бауьзаиская, 5 .