Диссертация (Измерение границ объектов по оптическим изображениям в условиях дифракционного размытия), страница 8

рассматривался Котельниковым,Найквистом и Шенноном. Результатом этих работ является теорема Котельниковао способе восстановления значений отсчетов сигнала (в зарубежной литературе –теорема Найквиста-Шеннона) [57]:s (t ) =+ s(i) sinc  (t − i)  ,i = −где s(t) – восстанавливаемый непрерывный сигнал, ∆ – интервал дискретизации,sinc – функция отсчетов:sinc(t ) =sin( t ).tВ том случае, если частотный спектр сигнала y ограничен некоторойпредельной частотой fmax, а интервал дискретизации составляет не более 1/(2fmax),то данная формула восстанавливает сигнал точно.Пространственно-частотный спектр оптических изображений являетсяограниченным вследствие дифракционного размытия оптической системой.

Длятрадиционных оптических систем, соответствующая предельная пространственная42частота определяется длиной волны (λ) и относительным отверстием оптическойсистемы (K): |fmax|=K/λ (подробнее этот вопрос рассмотрен в разделе 1.3.1). Такимобразом, теорема Котельникова о способе восстановления значений отсчетовсигнала может быть применена для точного восстановления изображений приусловии выбора шага пространственной дискретизации изображения не более∆max=λ/(2K).Для того, чтобы применить к интерполированному сигналу приближенныеметодыоценкиграниц,необходимосначалаполучитьдискретнуюпоследовательность отсчетов сигнала. Будем называть такую последовательностьпередискретизованным сигналом.

Предположим, что передискретизованныйсигнал вычисляется с шагом 1/k по отношению к исходному. Не умаляя общности,положим ∆=1 и получим формулу для передискретизации сигнала:q[ j ] =+ s[i]sinc ( ( j / k − i) ) ,(1.4)i =−гдеq–передискретизованныйсигнал,s–наблюдаемаядискретнаяпоследовательность отсчетов.Недостатком данного теоретического подхода является бесконечная длинасуммируемой последовательности, что в условиях ограниченной длины реальныхпоследовательностей отсчетов сигнала не позволяет реализовать на практике этотметод.

Проблема может быть решена по крайней мере двумя способами:доопределением недостающих значений последовательности x в соответствии снекоторым правилом (1) и ограничением интервала суммирования (2).В первом случае интерполяция по Котельникову может быть вычислительноэффективно реализована с помощью перехода к вычислениям в частотной областипутем применения быстрого преобразования Фурье (БПФ), что неявнопредполагает периодическую структуру последовательности. Данный методиспользован для субпиксельной оценки границ, например, в работе [56].Вторую идею (ограничение длины последовательности) реализует методинтерполяции Ланцоша [58]:43q[ j ] =[ j / k ]+ as[i ]L ( j / k − i ),i =− [ j / k ]− asinc( j )sinc( j / a ), j  aL( j ) = ,0, j  aгде a – параметр метода, «[…]» – целая часть числа.

При a→∞ метод Ланцошааппроксимирует восстановление по формуле (1.4). Чем меньше величина a, темменьше осцилляции сигнала, но тем больше отклонение от теоретическиоптимального результата по (1.4).На практике широко распространено применение методов билинейной ибикубической интерполяции. Их достоинством является существенно меньшаяресурсоемкость вычислений, однако применение этих методов приводит кпоявлению нелинейных искажений сигнала, что проявляется в виде гармоник вчастотном спектре (рисунок 1.5).ОбъектГраница объектаРезультат интерполяцииобъектаИсходноКотельниковЛанцошБикубическаяБилинейнаяРисунок 1.5 Искажения спектра сигнала в результате интерполяции: изображениес частотно-ограниченным спектром (верхний ряд), модуль фурье-образаисходного сигнала и сигнала после применения 4-х кратной интерполяции(нижний ряд)Субпиксельные методы моментов.

Субпиксельные методы моментовоценивают параметры границы с субпиксельной точностью путем расчетанескольких интегральных моментов в окрестности приближенной оценки границы.44В одной из наиболее ранних работ по субпиксельным методам моментовпредлагается способ субпиксельной оценки положения границы по значениямпервых трех «яркостных» моментов сигнала [44]. Для одномерного дискретногосигнала эти моменты определяются как:mi =1 Ni( s[ j ]) ,n j =1где s – последовательность отсчетов сигнала длиной N, i=1, 2, 3.Те же три момента для идеального одномерного непрерывного ступенчатогоперепада яркости можно записать следующим образом:ph1i + (1 − p )h2i = mi ,(1.5)где p – искомое относительное положение границы, h1, h2 – значения сигналаидеального ступенчатого перепада яркости (рисунок 1.6, а).Авторы метода предлагают приравнять эмпирически полученные итеоретически предсказанные значения моментов, что формирует в результатесистему трех уравнений с однозначным решением.а)б)Рисунок 1.6 Модели границы объекта, предложенные Табатабаем иМитчеллом [44]: одномерный случай (а), двумерный случай (б)Модель ступенчатого перепада яркости, предложенная в рамках этого методадля двумерного случая, представляет собой линию, разделяющую окружность сцентром в анализируемом пикселе изображения (рисунок 1.6, б).

Линияхарактеризуется не только положением границы, но и ее направлением, чтодобавляет еще один параметр α. Параметры p, h1 и h2 оцениваются путемприравнивания теоретических и эмпирических значений первых трех моментов.Теоретические значения моментов определены в (1.5), а эмпирические45вычисляются путем взвешенного суммирования отсчетов сигнала, где весанастраиваются с учетом частичного покрытия кругом крайних пикселейанализируемой области. Для оценивания ориентации границы вычисляется уголвектора, образованного центром окрестности и центром масс, аналогично тому, какэто делается в приближенном методе моментов [43].Недостатком метода яркостных моментов является несоответствие значениймоментов непрерывного и дискретного сигналов, что приводит к смещениюсубпиксельной оценки положения границы.

При этом максимальное абсолютноезначениесмещенияможетдостигать0.1пикселя.Величинасмещенияопределяется множеством параметров, что затрудняет его компенсацию.Указанный недостаток был устранен Ливерсом в работе [45]. Метод Ливерсаоснован на вычислении моментов с учетом пространственного расположенияпикселей в пределах окна анализа. Метод использует ступенчатые модели границы,аналогичные методу яркостных моментов (рисунок 1.7).б)а)Рисунок 1.7 Модели границы объекта, предложенные Ливерсом [45]: одномерныйслучай (а), двумерный случай (б)В одномерном случае для оценки положения границы вычисляются три«пространственных» момента следующего вида:Nmi =  j i s[ j ] .j =1Соответствующие значения моментов для идеального ступенчатого перепада:M 0 = 2h + k (1 − l ),1M 1 = k (1 − l 2 ),221M 2 = h + k (1 − l 3 ),3346где h – яркость фона, k – перепад яркости на границе, l – искомое положениеграницы.

Решение системы уравнений относительно l позволяет вычислитьсубпиксельную оценку положения границы:3m − m0lˆ = 2,2m1а также оценку величины перепада яркости:2m1kˆ =.(1 − l 2 )Оценка величины перепада яркости может быть использована дляобнаружения пикселей границы.Вдвумерномслучаеоценкаформируетсяпозначениямшестипространственных моментов следующего вида:M pq =  x p y q s( x, y )dydx.Вычисление интегралов выполняется численно, путем свертки матрицыотсчетов изображения с ядрами фильтров, предварительно рассчитываемыми дляаппроксимации соответствующих интегралов дискретного сигнала в заданнойкруговой окрестности.Метод пространственных моментов характеризуется в два раза меньшимзначением смещения оценки положения границы (максимальное смещение – 0.05пикселя) по сравнению с методом яркостных моментов.

В оригинальной работепоказано, что при использовании табличной коррекции, смещение может бытьснижено до 5·10-4 пикселя. При этом метод приблизительно в два раза болееустойчив к шуму по сравнению с методом на основе яркостных моментов.С вычислительной точки зрения, вычисления в методе Ливерса являютсяизбыточными, т.к. рассчитываются шесть значений моментов для четырехпараметров модели. Избыточность является следствием неортогональностииспользуемых в методе моментов. Метод Ливерса стал основой для ряда другихметодов, основанных уже на ортогональных моментах.В работе [46] для оценки параметров границы предлагается использоватьортогональные моменты Цернике:47Anm =n +1*s( x, y )Vnm( p, θ)dxdy ,x 2 + y 2 1где n и m – неотрицательные целые числа (порядок полинома), Vnm(p, θ) – полиномЦернике в полярных координатах (p – радиальное расстояние, θ – азимутальныйугол), соответствующий порядку (n, m).

Полиномы Цернике в полярныхкоординатах представляются следующим выражением:Vnm ( p, θ) = Rnm ( p )eimθ ,(1.6)где n≥0, а n-|m| - четное положительное число, Rnm – т.н. радиальный полиномЦернике:Rnm ( p ) =( n −|m|) / 2k =0( −1) k ( n − k )! p n −2 k. n+ | m |  n− | m |k! − k ! − k ! 2 2(1.7)В алгоритме используются лишь три полинома порядка (0,0), (1,1) и (2,0).Соответствующие им выражения в декартовых координатах принимают вид:V00 = 1,V11 = x − iy ,V20 = 2 x 2 + 2 y 2 − 1.Полиномы Цернике составляют ортогональный базис на единичном круге[59], то есть: ,( n = k  m = q)V(x,y)V(x,y)dxdy=.n+1kqx 2 + y 2 1 0,( n  k  m  q)*nmПомимо ортогональности базиса, моменты Цернике обладают еще однимсвойством, обуславливающим их эффективное применение в ряде задач обработкиизображений. Если повернуть изображение на некоторый угол φ, то изменениемомента Цернике описывается простым соотношением: = Anm e − im ,Anm – моменты Цернике для исходного и повернутого изображенийгде Anm и Anmсоответственно.