Диссертация (Измерение границ объектов по оптическим изображениям в условиях дифракционного размытия), страница 9

Модуль момента Цернике для исходного и повернутогоизображений остается постоянным, что позволяет строить на его основеинвариантные к повороту алгоритмы обнаружения. Применительно к задаче48оценивания границы, это свойство проявляется в виде инварианта модулямоментов Цернике к углу поворота элемента границы α. Таким образом, задачаобнаружения граничных пикселей решается при помощи одного вещественного(A00) и одного комплексного (A11) моментов: Im( A11 ) α = arctan , Re( A11 ) 3 A = A11eiα ,k = 11 , A112A − 0.5kh = 00.Для субпиксельной оценки параметров границы необходимо значение ещеодного вещественного момента A20, параметры границы при этом вычисляютсяследующим образом:l=A20,A11k=3 A11,2(1 − l 2 )3/2h=A00 − 0.5k + k arcsin(l ) + kl 1 − l 2.Как и в случае с методом пространственных моментов, вычисление моментовдля дискретных сигналов изображений осуществляется путем их свертки спредварительно рассчитываемыми ядрами фильтров.В работе [60] предложена модификация методов моментов Цернике.Авторами работы показано, что использование модифицированных моментовповышает устойчивость к шуму, однако приводит к более широким областямграничных точек по сравнению с немодифицированными моментами в задачеобнаружения граничных пикселей.В работе [47] для оценки параметров границы предложено использоватьортогональные моменты Фурье-Меллина (ОМФМ) вида:nm2 12n + 1=s( r, )Qn ( r )e − im rdrd2 0 0nQn ( r ) =  ( −1) n + sk =0( n + k + 1)!rk( n − k )! k! ( k + 1)!,49где s – изображение (в полярных координатах), (n, m) – порядок момента.

Как имоменты Цернике, ОМФМ для повернутого изображения сохраняют значениемодуля. Параметры модели границы вычисляются по значениям пяти моментов: Im(2 01 + 11 ) 3  4 +  20 l =  10, α = arctan , + 11 5  2 01 Re(2 01 + 11 )  + 112 01k=,2 3/22(1 − l )1h =  00 − k arcsin  1 − l 2 − l 1 − l 2  ,()где q = qeiα . Авторы работы показывают, что ОМФМ обеспечивают лучшиехарактеристики по сравнению с моментами Цернике для малоразмерных деталейграницы.Общим недостатком известных методов моментов является упрощеннаямодель ступенчатого перепада яркости, лежащая в их основе. Реальныеизображения границ не являются ступенчатыми – они «размываются» вследствиевлияния дифракции и аберраций оптических систем.

Модели, учитывающие эторазмытие, реализованы в аппроксимационных методах оценивания границ.Аппроксимационные методы. В основе этой группы методов лежит идеяаппроксимации сигнала некоторой параметрической моделью. Параметры границывычисляются решением обратной задачи оценивания параметров модели понаблюдаемомусигналу.Известныметодыаппроксимациикаксигналаизображения, так и его производной (первой или второй). В методахаппроксимациисигналасубпиксельноеположениеграницыопределяетсявнутренним параметром модели, как правило соответствующем точке среднегозначения оценки яркости по обе стороны от границы объекта. Методыаппроксимации первой производной оценивают положение границы как точкуэкстремума функции аппроксимации (модели), методы аппроксимации второйпроизводной – как точку её нуля (рисунок 1.8).50а)в)б)Рисунок 1.8 Сигнал границы (а), его первая производная (б), втораяпроизводная (в)Методы аппроксимации сигнала.

Простейшая модель сигнала изображениякрая является ступенчатой – с её помощью не представляется возможнымопределить субпиксельное положение границы, т.к. сигнал представляетсябинарным. Наиболее простой аппроксимацией, учитывающей полутоновоераспределение яркости в соседних пикселях границы, является линейная модель,предложенная для решения задачи оценивания границ в [61] (рисунок 1.9, а).Положение границы оценивается как точка, соответствующая средней яркости пообе стороны от границы. Линейная модель позволяет сократить объем вычислений,однако проигрывает в точности нелинейным моделям.а)б)Рисунок 1.9 Аппроксимационные модели границ объекта: кусочно-линейная (а),на основе функции ошибок (б)В работе [62] предлагается аппроксимировать сигнал в некоторойокрестности границы нелинейной моделью на основе функции ошибок erf (рисунок1.9, б):k x−l  erf  + 1  + h,2 2  2 x −t2erf( x ) = e dt.m( x ) =0(1.8)51где h – сигнал фона, k – перепад сигнала, l – положение границы, σ - величинаразмытия.

Модель является одномерной. Поиск решения осуществляется методамичисленной оптимизации функционала:NE (h, k , l ,  ) =  ( s[i ] − m(i ) ) ,2i =1где s – наблюдаемый дискретный сигнал, N – количество анализируемых отсчетов.В двумерном случае сначала оценивается направление градиента, затем методприменяется к одномерному «срезу» сигнала вдоль направления градиента.Рассмотрим математическое обоснование аппроксимационного метода.Известно, что изображение объекта в некогерентном освещении может бытьописано путем свертки условно-идеального (неразмытого) изображения m  симпульсным откликом g оптической системы: m = m   g . Пусть m  – сигналступенчатого перепада, описываемого функцией step:0, x  0step( x ) = .1, x  0Тогда изображение этого перепада с учетом влияния импульсного откликаоптической системы может быть выражено следующим образом:m( x ) =−0 step( x − t ) g (t )dt =  g (t − x)dt.Если предположить, что импульсный отклик оптической системы gпредставляет собой функцию Гаусса, то в результате его интегрирования попоследнему выражению получим функцию erf, на которой и основанааппроксимация.

Несмотря на то, что аппроксимация импульсного откликафункцией Гаусса является распространенным решением в литературе по обработкеизображений, реальный импульсный отклик описывается более сложнойзависимостью типа функции Эри (этот вопрос подробнее рассмотрен в разделе 2.2).Упрощение импульсного отклика в виде функции Гаусса в ряде случаевувеличивает погрешность геометрических измерений [63].Для аппроксимации сигнала в окрестности границы может быть использованалюбая другая сигмоидальная функция. Известны методы, основанные на функциях52арктангенса [64], гиперболического тангенса [65], а также логистической функции[66, 67]:m( x ) = h + k11 + e −( x −l ).Методы аппроксимации производной. Методы аппроксимации первойпроизводной оценивают положение границы как точку экстремума непрерывнойфункции, моделирующей производную [68, 69]. Наиболее простой модельюпроизводной является полином второго порядка.

Параметры функции оцениваютсяпо дискретным отсчетам, вычисляемым с помощью дифференцирующихоператоров типа Собеля, Прюита, или Канни.Аппроксимацияполиномомвторогопорядкаможетприводитьксущественным ошибкам в зашумленных условиях при размытых границахизображений. Известен метод аппроксимации модуля градиента функцией Гаусса[70, 71], позволяющий получить более устойчивую оценку в условиях размытыхизображений.Модельприменяютсякодномерномусрезуокрестностиприближенной оценки границы длиной 3-10 пикселей.Методы аппроксимации второй производной вместо экстремума оцениваютточку нуля аппроксимирующей функции [72, 73].

Дискретные отсчеты дляаппроксимацииформируютсяскалярнымоператоромЛапласа,которыйреализуется путем свертки с лапласианом функции Гаусса. Для аппроксимацииполученных отсчетов применяется как простая линейная зависимость, так иполиномиальные зависимости.Комбинационные методы. К этой группе методов субпиксельной оценкиграницы относятся те методы, которые совмещают идеи двух и более методов,рассмотренных выше.Например, в работе [74] предлагается совместить методы моментов иградиентный: субпиксельное положение границы оценивается как центр тяжестиградиента изображения.В работе [75] применяется метод аппроксимации сигнала сплайн-функциями,в результате чего формируется модель непрерывного сигнала.

К этой модели53применяется метод яркостных моментов, что обеспечивает более точное решениепо сравнению с оригинальным методом яркостных моментов.В работе [76] предлагается расширение метода моментов на нелинейнуюформу границы, описываемую кривыми второго порядка. Для этого авторы работыпредлагают специальные моменты, основанные на ступенчатой модели границы.Для придания методу устойчивости к шуму применяется итерационная процедура,состоящаяизаппроксимациисигналапростойступенчатоймодельюспараметрами, вычисленными в результате оценивания, выборочного сглаживанияизображения и оценивания параметров границы по сглаженному изображению.Следует отметить, что указанная работа основана на модели ступенчатой границыбез учета влияния размытия изображения оптической системой.1.3.