Диссертация (Усовершенствование моделей и методов расчета турбулентных течений в недеформируемых границах), страница 11

По мере удаления от стенки полосы все боль­ше и больше раскачиваются, толщина их нарастает и на расстоянии 30> u*z >10vполосы разрушаются. При разрушении полос образуется турбулентное пятно.74Представление области перехода в пограничном слое, как области с перемежаю­щимся возникновением турбулентных пятен, увеличивающихся, перемещаясьвниз по потоку, до тех пор, пока они не сливаются друг с другом, образуя турбу­лентный пограничный слой, впервые было предложено Эммонсом [164]. Вследст­вие интенсивных пульсаций и градиента скорости жидкость из области турбу­лентного пятна с большой скоростью перемещается в область развитого турбу­лентного течения. Таким образом происходит обмен количеством движения меж­ду вязким подслоем и основным потоком.Исследования турбулентности последних десятилетий выявили наличие ко­герентных структур, которые преобладают в турбулентном пограничном слоевследствие его неустойчивости.

Открытие крупномасштабных когерентныхструктур привело к новой волне исследований турбулентности [197, 213, 215].Возникающие в пристеночных слоях когерентные структуры в настоящее времяслабо изучены, так как движение в пристеночном слое является сложным. Погра­ничный слой не характеризуется единым масштабом длины и времени, из-за при­сущей ему внутренней сложности он должен иметь более чем один вид когерент­ного движения («типичные вихри», «шпильки», «пакеты», «складки», «стрики»,«фронты», «балджи», «вихревые петли»). Исследования в пограничном слое ста­вят больше вопросов, чем ответов.В условиях перемежающегося нестационарного течения в подслое, когдавязкий характер течения сменяется турбулентным, распределение скоростей вовремени не остается постоянным и его характер изменяется.

Течение носит трех­мерный характер и его аналитическое описание и исследование при этом вызыва­ет серьезные затруднения. Динамическое уравнение Навье - Стокса в проекции напродольную ось х для вязкого плоского течения в поле силы тяжести записывает­ся в виде [99, 208]:duxduxx + ux — dtdxdux+ uz — dz.1dp22'dz2 уd ux + d ux= g i ------ —+ Vp dxv dx2Считая течение нестационарным со скоростьюux ,(2.3)изменяющейся во временитолько вдоль вертикальной координаты z, уравнение (2.3) упрощаем к виду:75duxddt.1 dpд 2ug l ---p ^d x + V" ddz ^(24)В условиях равномерного течения всего потока продольный градиент давле­ния равен нулю, и уравнение (2.4) упрощается к виду:dux.д2их= gi + v — xdt^dz 2(2.5)При равномерном стационарном теченииd2uxg i = - v ^dz f ,где величинаdt= 0, тогда(2.6)d 2ux 1 dr- v — 2x = -----dz 2p dz(27)Для течения над горизонтальным дном уравнение (2.5) приобретает следую­щий, приближенный вид:duvdt= vd2u— 2xdz2(2.8)Следует отметить важный недостаток уравнения (2.8), в котором отсутству­ют факторы, вызывающие течение, и присутствует производная трения, тормозя­щая течение.Наблюдения с использованием техники водородных пузырьков [157, 194],лазерной анемометрии, кино и фотосъёмки показывают, что течение в вязкомподслое действительно носит перемежающийся характер.

При этом толщина вяз­кого подслоя нарастает до некоторой предельной величины, число Рейнольдсадля вязкого подслоя приближается к некоторому критическому значению, устой­чивость течения нарушается и оно становится турбулентным. Нарушению устой­чивости течения в вязком подслое способствует также влияние турбулентныхвозмущений в толще потока, действующих на верхнюю границу подслоя.

В мо­мент потери устойчивости и разрушения вязкого подслоя возникает интенсивныйобмен массами между вязким подслоем и основным потоком, причем быстродвижущиеся в вертикальном направлении массы проникают из основного потока в76область вязкого подслоя. В этот момент непосредственно у стенки скорость тече­ния жидкости оказывается значительной, и при малой толщине вязкого подслояградиент скорости у стенки достигает больших значений, и напряжения трения вэтот момент времени резко возрастают. На подобной физической картине присте­ночного течения основана расчетная модель нестационарного вязкого подслоя,предложенная Эйнштейном и Ли [163].2.2 Расчет характеристик течения в нестационарномвязком подслое на основе модели Эйнштейна и ЛиРасчет характеристик течения в нестационарном вязком подслое выполняет­ся на основе полученного уравнения (2 .8 ) при следующих начальных и граничныхусловиях, записанных для фазы формирования вязкого подслоя при u=ux:t=0z>0u = u0t >0z=0u=0t >0z ^ даu = u0(2.9)Следует отметить, что принятая запись граничных условий предполагает по­стоянство скорости u0 на границе вязкого подслоя во все моменты времени t>0при росте толщины подслоя 8 , что явно отличается от реальной картины теченияи «загрубляет» принятую модель.Решение уравнения (2.8) при условиях (2.9) имеет вид:(2 .

1 0 )где(2 . 1 1 )Н - мгновенное значение толщины подслоя;h - переменная интегрирования.77Решение показывает, что скорость зависит от времени t в каждой точке z вяз­кого подслоя. Это решение, включающее интеграл вероятности, удовлетворяетусловиям (2.9). При t=0 верхний предел интегрирования становится бесконечнымН =х и интегралX- 2 , Ге-h2dh = 1 ,0(2 . 1 2 )так что первое из условий (2.9) выполняется.

Аналогичным образом доказываетсясправедливость условия при t>0 и z=x. При z=0 и t>0 верхний предел обращаетсяв ноль Н=0, при этом в ноль обращается область интегрирования, и скорость истановится равной нулю. Таким образом, все условия (2.9) действительно выпол­няются. Интеграл вероятности не выражается через элементарные функции в ко­нечном виде, значения его табулированы и могут быть использованы для числен­ных методов расчета.Уравнение (2.11) показывает, что мгновенная толщина вязкого подслоя из­меряется величиной V, зависящей от времени и вязкости.

Для определения фи­зического смысла единицы длины - V вычислим толщину вытеснения в пределахвязкого подслоя. Толщина вытеснения представляет собой расстояние, на котороеотклоняются линии тока от поверхности вследствие разницы скорости несжимае­мой жидкости на линии тока и границе. Из уравнения неразрывности для такого*потока следует, что толщина вытеснения 8 , учитывая, что в любой момент вре­мени поток через сечение между твердой границей и линией тока постоянен, оп­ределяется какXf8Л* = / 1 - и dz0V и0 J(2.13)Это имеет место при рассмотрении достаточно длинного, но конечного вяз­кого подслоя, причем в этом случае выполняется условие неразрывности для те­чения в подслое.Параметр 8 * определяется путем подстановки величины и из уравнения (2.10)в (2.13):78Hfz=021п"r e,-h* dzfh=0(2.14)С помощью уравнения (2.11) расстояние z выражается через Н и, используя(2 .

1 2 ), выражение для 3* записывается следующим образом:3* = 2Vюf 9 ю 21 H2 Лf - j = f e ~h d h - - 2 = f e ~h dh dHH =0W n h=0V п h=0J=ГГ7 ю f ю _4 - ff e ~h dh dHH =0Vh=HИзменяя порядок интегрированиялю h3 ' = 4Vt ff e~h‘ dH dhVп hЛ= 0 IVH„_0=0J(2.15)(2.16)можно выполнить одно интегрирование,-h2 hdh3* = 4 I— f e~nп h=0(2.17)3*После второго интегрирования получается следующее выражение для 3 :е* .

vt 12I3 = 4 J -----= —j= si vtVп 2л/п(2.18)Отсюда видно, что геометрический параметр 4vt в уравнении (2.18) с точно­стью до множителя п /2 совпадает с толщиной вытеснения. Тот факт, что толщи­на вытеснения пропорциональна 4 v t , можно получить из соображений размерно­сти, так как величина 4vt является единственным параметром, имеющим размер­ность длины. Однако коэффициент пропорциональности 2 /4 лопределяетсятолько в результате интегрирования дифференциального уравнения (2 .8 ).Представляет интерес определить касательные напряжения в вязком подслое,чтобы лучше понять характер движения в его пределах. Поскольку скорость вданный момент времени зависит только от координаты z , то для касательного на­пряжения справедливо выражение [163]Z2e 4vtduu0т=ид = u 4 Vкоторое на границе z=0имеет следующее значение(2.19)79иТ —V - r ^л/nvt(2 .2 0 )В начальный момент времени, когда турбулентный поток, имеющий посто­янную скорость и0, ещё касается границы, касательное напряжение имеет макси­мальное значение, а затем быстро уменьшается, достигая все меньших значений.Смысл бесконечно большого значения можно понять, если вычислить импульссилы, то есть интеграл по времени от силы.

Ясно, что введение в рассмотрениебесконечно большого значения т0 допустимо, если оно в дальнейшем не приводитк абсурдным результатам. Интегрируя по времени в пределах от 0 до конечноговремени T, запишем:9J т0dt — J judt — и0Р 4VTt—0t —0<nvtл/пTT(2 .2 1 )Из уравнения (2.21) при ju—vp видно, что импульс силы трения для конеч­ного интервала времени Т всегда конечен и стремится к нулю, когда Т приближа­ется к нулевому значению. Из уравнения (2.21) можно определить осредненное повремени значение напряжения т0TT0 —1 J T0 dt —2и р ЯT TtL—0 ‘°“ " - П 'VTЕсли ввести общепринятое понятие динамической скорости и* —(2 .2 2 )т0, тогдаpуравнение (2 .2 2 ) даетVи*2 —- 2I-- Uq-Лл/ пVTпри этом связь между Т, и* и и0 приобретает видT —± иоУП и*(2.23)Из уравнения (2.23) видно, что период нарастания вязкого подслоя при сде­ланных предположениях определяется кинематической вязкостью, скоростью по­тока на его верхней границе и динамической скоростью.80Процесс распада вязкого подслоя уже был описан в общих чертах, причемпредполагалось, что время, необходимое для развития турбулентности и повтор­ного ускорения жидкости вязкого подслоя до скорости u0, с которой движется по­ток вне подслоя, много меньше периода нарастания Т.

Любая величина, осредненная за период нарастания, может таким образом, рассматриваться как средняявеличина за полное время.Сам по себе процесс распада является одной из форм неустойчивости и пред­ставляет сильно нелинейный процесс. Поэтому аналитическое описание распадавязкого подслоя в настоящее время затруднительно.

Однако условие возникнове­ния неустойчивости может быть изучено с помощью критерия устойчивости дляламинарного течения в вязком подслое. Рассмотрение, основанное на теории раз­мерностей, указывает на то, что это условие характеризуется критическим числомРейнольдса по аналогии со случаем ламинарного течения в трубе или канале. Ес­ли определить число Рейнольдса в видеV(2.24)( 8 * - максимальное значение толщины вытеснения)то оно будет соответствовать числу Рейнольдса для потока в трубе, когда геомет­рическим параметром является диаметр трубы. Использование толщины вытесне­ния вместо радиуса трубы в качестве геометрического параметра может изменитькритическое число Рейнольдса на определенную величину и поэтому представля­ет определенный интерес оценить это число.