Диссертация (Усовершенствование моделей и методов расчета турбулентных течений в недеформируемых границах), страница 12

Оценку можно произвести, опреде­ляя скорость u0 при фиксированном u*, исходя из профиля скорости для основноготурбулентного потока.Предполагая, что скорость u0 в основном турбулентном потоке на расстоянииz = п8* от твердой гладкой границы определяется по профилю скорости Прандтля- Никурадзе, запишем:u0u(2.25)81Используя уравнения (2.23) и (2.18) для определения S* - максимальногозначения толщины вытеснения, преобразуя профиль скорости (2.25) к виду:U0л 4 и0 _ _— = 5,75lg—n - 0 + 5,5и*п и*можно установить, что — = 12,39 при n=1,0 и Re*=780. Аналогично, задавая раз­и*ные n (т.е. изменяя толщину вытеснения, соответствующую максимальной тол­щине вязкого подслоя перед его разрушением в момент времени Т), можно опре­делить критическое значение динамического числа Рейнольдса для вязкого под­*слоя.

В таблице 2.1 приведены критические числа Re для различных значенийвеличины n .и0и0u0u0Таблица 2.1 - Критические числа Рейнольдса при различных и0и**Re =525S*=12,90 v j и*при z=0,5 STГ=131 V u*2и**Re =780T=195 v j и2S*=15,75 v j и*при z= 1 ,0 STи**Re =1073T=268 v j и*S*=18,19 v / и*при z=2,0STи**Re =1256при z=3,0 STS*=20,00 v j и*Г=314 V и*2*Таким образом, при n=0,5^1,0 получаем значения Re близкие к критическо­му числу Re для плоского потока.Теперь можно выразить все переменные задачи в функции критического чис­ла Рейнольдса, как это сделано в таблице 2.1. Выбор надлежащего значения вели­чиныS*(или иначе коэффициента n) производится только эмпирическим путемна основе экспериментальных данных, хотя в принципе расчет таблицы2 .

1охва­тывает область изменения параметров, в которой находится искомая величина.Результаты расчета Re*=f(n) представлены на рисунке 2.1.823.5n32.521.510,50400500600700800900100011001200^ *1300 RgРис. 2.1 - Результаты расчета Re*=/(n)Объединяя уравнения (2.18) и (2.21), можно получить следующее равенство:__т 0= Р*0 у ,(2.26)которое можно трактовать как уравнение импульсов.Согласно этому же уравнению тот же самый импульс передается при ускоре­нии данной массы жидкости до скорости u0 после того, как движение становитсятурбулентным.

Вышеприведенная качественная картина передачи импульса отвязкого подслоя турбулентному потоку составляет основное преимущество дан­ной модели. Ясно, что согласно этой модели в конце каждого периода Т происхо­дит передача от вязкого подслоя к турбулентному потоку не только импульса, нои массы, красящей компоненты, осадка, тепла и т.д.

Аналогичный перенос от тур­булентного потока к вязкому подслою происходит в течение времени нарастания.Подобная передача вещества наблюдалась экспериментально и не может бытьобъяснена на основе модели стационарного вязкого подслоя.Если вновь предположить, что длительность периода распада пренебрежимомала по сравнению с периодом нарастания подслоя, то распределение осредненной скорости в вязком подслое можно определить путем осреднения скорости в83данной точке z по времени только за период нарастания. Исходя из уравнений(2 . 1 0 ) и (2 .

1 1 ) получается следующее равенство:иU021zZlF_ h2V'/t tT= 0 h= 0„ /г \T(2.27)В такой форме уравнение (2.27) показывает, что в предлагаемой модели вяз­кого подслоя описание процесса ведется на основе известного распределения ско­ростей — заданного в функции от величины —. Здесь и - осредненная пои02л/ VTвремени скорость в вязком подслое на расстоянии z от границы; и0 - скоростьтурбулентного потока вне вязкого подслоя, которая предполагается постоянной; v- коэффициент кинематической вязкости жидкости; T - период нарастания вязко­го подслоя.

Уравнение (2.27) дает функцию, не интегрируемую в элементарном„ии*zвиде. Зависимость величины — о т ---- , получаемая в результате численного ини*Vтегрирования уравнения (2.27), приведена на рисунке 2.2.и/и*///Z//!'■J &128ю162IIч20z=2,0 5?11z-1,0 ыZ =0,5 8?/ /м1 &/• - Re=500 ОООо - Re=50 ОООvО102030405060u*zРисунок 2.2 - Осредненное по времени распределение скоростей в подслое при различных зна­чениях и0 и сравнение с экспериментальными данными Лауфера. 1 - распределение скоростейпо (1.9); 2 - распределение скоростей по (2.27) при z=38 T; 3 - стационарный вязкий подслойВеличина среднеквадратичного отклонения локальной скорости может бытьопределена только численным способом.84Удобно проделать следующие преобразования:u±i1 T—21I— —2 \- J (u - u ) dt = J —J ( u2 - 2uu + u ) dt =v(2.28)1ГггI1г—%l u 2dt - 2u I udt + u I dt >= — I u2 dt - uT $.оI0о0о JJ \VT IоЭто выражение приводится к безразмерному виду путем деления его на ве­личину u*, как это сделано на рисунке 2.3.Рисунок 2.3 - Среднеквадратичное значение отклонения локальной скорости в пограничномслое при различных величинах u0 и сравнение с данными Лауфера: 1 -Re=5-105; 2 -Re=5-104Рассчитанные значения стандартов продольных пульсаций скорости удовле„ и*zтворительно согласуются с данными измерений до значений ---- = 1 0 ^ 13, котоVрые обычно принимаются за осредненную координату верхней границы вязкогоподслоя.Преимущество модели нестационарного течения в вязком подслое по срав­нению со стационарным состоит в том, что она соответствует экспериментальнымнаблюдениям.

Это является основным достоинством данной модели.Однако применимость любой теории или модели ограничена теми предпо­ложениями, которые заложены в её основу. Хотя описание периодических изме­85нений в подслое, очевидно, является правильным, некоторые предположения,сделанные при выводе уравнения и при получении его решения, являются упро­щенными.

Предположение о постоянной скорости в турбулентном потоке навнешней границе вязкого подслоя не выполняется в действительности. Для оцен­ки погрешности, которая вносится упрощающими предположениями, сравнимраспределение скоростей, полученное на основе данной модели с эксперимен­тальным распределением скоростей. На рисунке 2.2 показано расчетное распреде­ление скоростей при различных предположениях относительно u0 и также распре­деление скоростей, измеренное Лауфером [190] в трубах.

Сопоставление показыuu*z^ „вает, что в координатах — от ---- распределение зависит от числа Рейнольдсаu*Vдля всего потока. Более того, график указывает на то, что скорость u0 необходимоизмерить на расстоянии от 2ST до 3ST ( ST - толщина вытеснения при максималь­ной толщине вязкого подслоя), чтобы получить распределение, подобное изме­ренному в эксперименте.Пусть значения z=3,0ST определяют точку на кривой распределения турбу­лентной скорости, для которой получено u0.

(На рисунке 2.2 эта кривая отмеченапунктирной линией.) В этой точке скорость, определенная по логарифмическомупрофилю, оказывается равнойu*=15,6. Согласно сделанному предположению ободнородном распределении скоростей для турбулентного потока в момент разру­шения подслоя, скорость потока в области всего вязкого подслоя должна иметьuпостоянное значение — =15,6 в начальный период развития. Данное распределеu*ние скоростей должно быть создано в короткий предыдущий период распада пу­тем обмена турбулентным импульсом с внешним турбулентным потоком. Можнопредположить, что в начале периода нарастания вязкого подслоя логарифмиче­ское распределение скоростей распространяется до самой стенки.

Однако такоепредположение приводит к значительным математическим трудностям. Физиче­ская картина процесса в этом случае осложняется тем, что передача импульса ка­86сательных напряжений осуществляется, строго говоря, одновременно с помощьювязких и турбулентных напряжений. При этом конечное значение скорости и0 внепосредственной близости от стенки, дающее бесконечно большой градиент, какпоказывает выполненный выше анализ, соответствует полученному решению.Хотя осредненное по времени распределение скорости в подслое достаточно точ­ное, можно ожидать, что вычисленное среднеквадратичное значение скоростиоколо границы будет заметно завышено (рисунок 2.3).На рисунке 2.3 приведены расчетные кривые среднеквадратичных отклоне­ний скорости в подслое от логарифмического профиля в соответствии с уравне­нием (2.19) при различных значениях и0, а также приведены результаты, получен­ные Лауфером.

Все расчетные кривые имеют резкий подъем вблизи стенки. Далееони обнаруживают отчетливый максимум при U*^ = 6v^ 1 2и затем достаточно бы-стро спадают до нуля. В то же самое время измеренные Лауфером значения со­храняют большие величины и вдали от границы. Такое соотношение между вы­численными и измеренными кривыми можно было ожидать, так как вычисленныекривые относятся только к области нестационарного вязкого подслоя, в то времякак данные измерений включают, кроме того, турбулентные флуктуации в буфер­ной зоне.

Можно предполагать, что турбулентность достигает максимальной ин­тенсивности вне подслоя, так что различие между вычисленными кривыми и из~„ и*zмеренными легко объясняется для значений---- превышающих толщину вязкогоvподслоя.Сравнение экспериментальных данных и результатов вычисления показыва­ет, что предложенная модель является приближенной, требующей дальнейшегоусовершенствования. Это находит подтверждение в следующем факте: значениепериода Т, вычисленное на основе данной модели, должно быть значительнобольше действительных значений, что видно из вывода уравнения (2.17).

Еслиинтервал изменения скорости на различных расстояниях от стенки меньше, чемпредполагалось, то число интервалов за единицу времени должно быть больше87предсказанного, чтобы обеспечить передачу равного касательного напряжения спомощью обмена импульсом.Измерение коэффициентов автокорреляции пульсаций давления на нижнейстенке канала [163] показало, что пульсации донного давления содержат крупно­масштабную составляющую на фоне мелкомасштабных турбулентных пульсаций.Однако для проверки полученного расчетного соотношения для периода Т требу­ются дополнительные исследования, которые могут быть выполнены с учетомследующих обстоятельств.Предположение о постоянстве скорости в вязком подслое в момент его раз­рушения является модельным предположением, которое введено для упрощенияматематических преобразований.Предполагалось, что вязкий подслой в целом является частью турбулентногопотока.

Возможно, что в действительности только внешняя часть вязкого подслоястановится турбулентной при его разрушении, а внутренняя его часть, прилегаю­щая к твердой границе, остается стационарной и сохраняет признаки вязкого те­чения. Если эта стационарная часть подслоя имеет малую толщину, то её учет*может потребовать заметных изменений в величинах S*, Г и т.д.Одномерная модель нарастания вязкого подслоя может оказаться недоста­точно точной при описании реальных процессов, если нарастание слоя не проис­ходит сразу на большой площади граничной поверхности.