Диссертация (Усиленный закон взаимности Суслина и смежные вопросы), страница 8

Чтобы доказать второе утверждение, заметим, чтовсе векторы, отвечающие непримитивным ребрам, смежным с вершинамицикла C, лежат в решетке M0 .Теперь уже несложно завершить доказательство Теоремы 3.9.Доказательство. В случае, если все вершины графа {Γ, B} имеют бесконечный индекс, нам нужно только показать, что число вершин Γ четно. Так какэто справедливо для произвольного трехвалентного графа, мы можем предположить, что число M {Γ, B} конечно.Докажем утверждение теоремы индукцией по параметру M {Γ, B}. Так какбаза индукции уже проверена в Следствие 3.12, остается проверить переход.Предположим, что утверждение теоремы справедливо для всех графов, имеющих вершину индекса меньше M.

Тогда оно выполнено и для графа с минимальным индексом M, если у графа {Γ, B} нет примитивных ребер. ЧтобыBэто увидеть, достаточно применить предположение индукции к графу {Γ, }.2Оказывается, что общий случай сводится к этому.По Следствию 3.13, примитивные ребра графа образуют набор непересекающихся циклов, а по Лемме 3.15.1, число вершин индекса M {Γ, B} любогопримитивного цикла четно. Рассмотрим произвольный примитивный цикл C свершинами vn = v0 , . . . , vn−1 . Обозначим непримитивное ребро, смежное с vi ,символом fi , а решетку, порожденную векторами B(fi ), символом F.

По Лемме3.15.2, индекс решетки F больше, чем M {Γ, B}. Рассмотрим новую функцию56на ребрах графа Γ, значение которой совпадает с B вне ребер цикла и равную−iXB(fj )j=1на ребре, соединяющем вершины vi и vi+1 . Как легко проверить, модифицированная функция также будет удовлетворять условию балансировки, все ребрацикла C перестанут быть примитивными и четность числа решеток индекса Mне изменится. Последовательно модифицируя значения балансировки на всехпримитивных циклах, мы сводим утверждение теоремы к случаю графа безпримитивных ребер.57Литература[1] Руденко Д.Г. Об усиленном законе взаимности Суслина и его приложениях к вопросам равносоставленности гиперболических многогранников //Функциональный анализ и его приложения.

2016. Т. 50 вып.1. С. 79-84.[2] Суслин А. А. Законы взаимности и стабильный ранг колец многочленов// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43 вып. 6. С. 1394–1429.[3] Суслин А. А. K3 от поля и группа Блоха, Теория Галуа, кольца, алгебраические группы и их приложения // Сборник статей, Тр. МИАН СССР.1990.

Т.183. С. 180—199.[4] Aigner M., Ziegler G. M. Proofs from The Book — Fifth Edition — Berlin:Springer - Verlag, 2014.[5] Beilinson A. A. , Deligne P. Interpretation motivique de la conjecture de Zagier// Symp. in Pure Math. 1994. Т. 55 вып. 2. С. 97-121.[6] Bekker B. M. and Netsvetaev N. Yu.Generalized Sperner lemma andsubdivisions into simplices of equal volume. // Journal of MathematicalSciences. 1998.

Т. 91 вып. 6, С. 3492-3498.[7] Dupont J. L. Algebra of polytopes and homology of flag complexes // OsakaJ. Math. 1982. Т. 19 вып. 3. С. 599–641.[8] Goncharov A.B. Polylogarithms and motivic Galois groups // Symposium inpure mathematics. 1994. Т. 55 вып. 2, С. 43–96.58[9] Goncharov A. B.

Polylogarithms, Regulators, and Arakelov Motivic Complexes// Journal of the American Mathematical Society. 2005. Т.18 вып. 1. С. 1–60.[10] Monsky P. A conjecture of Stein on plane dissections // Math. Z. 1990. Т. 205.С. 583–592.[11] Monsky P. On dividing a square into triangles // Amer. Math. Monthly. 1970.Т. 77.

С. 161–164.[12] Praton I.Cutting Polyominos into Equal-Area Triangles // Amer. Math.Monthly. 2002. Т. 109. С. 818–826.[13] Rudenko D. Arithmetic of 3-valent graphs and equidissections of flat surfaces[Электронный ресурс]// Working papers by Cornell University. Series math«arxiv.org». 2014.URL:http://arxiv.org/abs/1409.7996.[14] Rudenko D.

On equidissection of balanced polygons // 851. Записки научныхсеминаров ПОМИ им. В.А.Стеклова Российской академии наук. 2012. Т.403. С. 142-158.[15] Rudenko D. Scissor Congruence and Suslin reciprocity law [Электронный ресурс]// Working papers by Cornell University. Series math «arxiv.org». 2015.URL:http://arxiv.org/pdf/1511.00520.[16] Stein S.

A generalized conjecture about cutting a polygon into triangles ofequal areas // Discrete Comput. Geom. 2000. Т. 24. С. 141–145.[17] Stein S. Cutting a polygon into triangles of equal areas // Math. Intelligencer.2004. Т. 26 вып. 1. С. 17–21.[18] Stein S. Cutting a polyomino into triangles of equal areas // Amer. Math.Monthly. 1999. Т.106. С. 255–257.59[19] Suslin A. , Voevodsky V.

Bloch–Kato conjecture and motivic cohomology withfinite coefficients // NATO Sci. Ser. C Math. Phys. Sci. 2000. Т. 548. С. 117–189..