Диссертация (Усиленный закон взаимности Суслина и смежные вопросы), страница 5

Покажем, чтоможно отнять от него некотороеg1количество элементов вида δ{xP (f1 , f2 )} и δ, где deg(g1 ) = deg(g2 ) = d,g2 2так что получившийся элемент будет лежать в L2d−1 .Для этого сгруппируем мономы, входящие в X, в две группы. В первуюгруппу войдут мономы вида P ∧a, где P — некоторый неприводимый многочленстепени d, a a — неприводимый многочлен, степень которого не превышает d −1.

Во вторую группу входят мономы вида a ∧ b, где a и b — неприводимыемногочлены степени d. Для каждого монома a ∧ b из второй группы вычтем изX элемент b−δ= b ∧ a + b ∧ (a − b) − a ∧ (a − b)a 2с соответствующим коэффициентом. В результате этой операции останутсятолько мономы первой группы. Для каждой точки P сгруппируем все соответa1 a2 .

. . an, где deg(ai ), deg(bi ) ≤ствующие мономы первой группы в элемент P ∧b1 b2 . . . bma1 a2 . . . an(d−1) исравним с 1 по модулю P . Остаётся заметить, что по модулюb1 b2 . . . bme поэтому элементL2d−1 элемент xP (a, b) ∧ (1 − xP (a, b)) = P ∧ a + P ∧ b − P ∧ ab,a1 a2 . .

. anявляется суммой элементов вида xP ∧(1−xP ) по модулю L2d−1 .P∧b1 b2 . . . bmДалее, определим фильтрацию на группе B2 (F (t)) ⊗a F (t)× как тензорноепроизведение Md ⊗ Ld . Мы будем обозначать символом grd градуированныефакторы каждой из введенных фильтраций.Комплекс grd Γ(F (t), 3) определяется как3^ δd×F (t)× ,grd B2 (F (t)) ⊗a F (t) −→ grdто естьMd ⊗ LdL3dδd−→ 3 .Md−1 ⊗ Ld−1Ld−1342.3.5. Отображения ковычета hP : Γ(FP , 2) −→ grdΓ(F (t), 3)Этот параграф является наиболее сложным в доказательстве Теоремы 2.4. Отсутствие естественных отображений ковычета для полилогарифмических комплексов является основной трудностью в доказательстве теоремы гомотопической инвариантности.Нам нужно построить два отображения h1P и h2P :R1 (FP ) ⊗ Q[FP ]1 LβPR2 (FP ) −−→Q[F]−−→P2S2 R1 (FP )h2y PαP2Vδ×grd [B2 (F (t)) ⊗a F (t) ]−−→ grdQ[FP ]1h1.y P3VF (t)×Положимh1P ([f1 ] ∧ [f2 ]) = fe1 ∧ fe2 ∧ P,h2P (t1 (f1 , f2 ) × [f3 ]) ⊕ [f4 ]) = {fe4 }2 ⊗ P − {xP (f1 , f2 )}2 ⊗ fe3 .Напомним, что отображениеxP : R1 (FP ) −→ F (t)×определено формулойxP ([a] + [b] − [a · b]) =eaeb.eabОбозначим символом LP минимальную подгруппу в Ld , содержащую Ld−1и P.

Главная трудность состоит в том, что бы показать, что отображение hPопределено корректно и является цепным.Функции xP : R1 (FP ) −→ F (t)× и {xP }2 : R1 (FP ) −→ grd [B2 (F (t))] удовлетворяют уравнению коцикла:xP (c, d) + xP (cd, a) = xP (c, a) + xP (ca, d),35{xP (c, d)}2 + {xP (cd, a)}2 = {xP (c, a)}2 + {xP (ca, d)}2 .ea·ec · de. Второеfacdравенство следует из первого. Действительно, выражение, лежащее в группеПервое из них очевидно, так как и левая, и правая части равныgrd [B2 (F (t))] , равно нулю, если его образ при отображении δ лежит в L2d−1 .Остаётся заметить, что δ ◦ {xP }2 − P ∧ xP ∈ L2d−1 .Для того, чтобы показать, что hP является корректно определенным, осталось показать, что h2P равно нулю на группе S2 R1 (FP ).

Это эквивалентно следующему утверждению:Лемма 2.10. Для произвольной точки P ∈ A1F и a, b, c, d ∈ FP ,{xP (a, b)}2 ⊗ xP (c, d) + {xP (c, d)}2 ⊗ xP (a, b) = 0в группе grd [B2 (F (t)) ⊗a F (t)× ] .Доказательство. Обозначим элемент{xP (a, b)}2 ⊗ xP (c, d) + {xP (c, d)}2 ⊗ xP (a, b)символом S(a, b|c, d). Доказательство будет проведено в несколько шагов.Шаг 1. Если для некоторых x, y ∈ Ld−1 выполнено1 − x, 1 − y, x − y ∈ P · Ld−1 ,то {x}2 ⊗ y + {y}2 ⊗ x = 0 в группе grd [B2 (F (t)) ⊗a F (t)× ] .Действительно,x0 = t2 (x, 1−y)⊗ =y{x}2 + {1 − y}2 +ny ox2+x−yx(1 − y)+21−x1−y2x⊗ .y xxЗаметим, что {x}2 ⊗x = {1−y}2 ⊗y =⊗ = 0 в группе B2 (F (t))⊗a F (t)× .y 2 y36x−y1−xТак как 1 − x, 1 − y, x − y ∈ LP , легко видеть, чтоиx(1 − y) 21−y 2лежат в группе Md−1 (поскольку образ этих элементов при отображении δ лежитв L2d−1 ).

Отсюда следует, что {x}2 ⊗ y + {y}2 ⊗ x ∈ Md−1 ⊗ Ld−1 , что нам и нужнобыло показать.Шаг 2. Если a = c или ab = cd, то S(a, b|c, d) = 0.ec · deea · ebи y = xP (c, d) =. ТогдаРассмотрим элементы x = xP (a, b) =eeabcd1 − x, 1 − y, x − y ∈ P · Ld−1 . Например, если a = c, тоeb · cde − de · abex−y =ea,e · cdeabe d·e abe — это кратный P полином, степень которогои остаётся заметить, что eb· cd−не превышает 2d.

Таким образом, утверждение Шага 2 следует из утвержденияШага 1.Шаг 3. S(a, b|c, d) = S(a, b|a · c, d).Поскольку функции xP и {xP }2 удовлетворяют уравнению коцикла,S(a, b|c, d) + S(a, b|c · d, a) = S(a, b|a, c) + S(a, b|a · c, d),а в соответствии с Шагом 2, S(a, b|c · d, a) = S(a, b|a, c) = 0.Шаг 4. S(a, b|c, d) = −S(a, d|b, c). Рассмотрим элементыe · cdexP (c, d)abx==,f · de xP (ab, c)abcf · bceadxP (a, d)=.y=f · de xP (a, bc)abcВ соответствии с Шагом 1, {x}2 ⊗ y + {y}2 ⊗ x=0 в группеgrd [B2 (F (t)) ⊗a F (t)× ] . С другой стороны, применяя пятичленное соотношение,37легко видеть, что в группе grd [B2 (F (t))]{x}2 = {xP (c, d)}2 − {xP (ab, c)}2 ,{y}2 = {xP (a, d)}2 − {xP (a, bc)}2 .Поэтому,0 = {x}2 ⊗ y + {y}2 ⊗ x =({xP (c, d)}2 − {xP (ab, c)}2 ) ⊗xP (a, d)xP (c, d)+ ({xP (a, d)}2 − {xP (a, bc)}2 ) ⊗=xP (a, bc)xP (ab, c)S(a, d|c, d) − S(a, bc|c, d) − S(ab, c|a, d) + S(ab, c|a, bc).По Шагу 2 S(a, d|c, d) = S(ab, c|a, bc) = 0.

Кроме этого, по Шагу 3 S(a, bc|c, d) =S(a, b|c, d) и S(ab, c|a, d) = S(b, c|a, d), откуда S(a, b|c, d) + S(b, c|a, d) = 0.Завершение доказательства.Трижды применяя Шаг 4, находим: S(a, b|c, d)=−S(a, d|b, c)=S(a, c|b, d) = −S(a, b|c, d).Далее, необходимо проверить, что отображение hP является цепным. Равенство h1P ◦ βP = δ ◦ h2P является очевидным. Остаётся доказать, что h2P ◦ αP = 0.Это эквивалентно утверждению следующей леммы:Лемма 2.11.

Для произвольной точки P ∈ A1F и элементов f1 , f2 ∈ FP определим последовательность элементов поля FP следующим правилом: fi+1 =1 − fi. Заметим, что при этом fi+5 = fi . Тогдаfi−1i=5 n oi=5XXefi ⊗ P +i=1i=1(gfgi−1 · fi+11^− fi)⊗ fei = 0в группе grd [B2 (F (t)) ⊗a F (t)× ] .Доказательство. Разберём случай нечетной степени d = 2k + 1, случай четного d полностью аналогичен. В этом доказательстве мы будем использовать38следующие соотношения в группе B2 (F (t)) ⊗a F (t)× : x1−xy(1 − x){x}2 − {y}2 −+−= 0.y 21−y 2x(1 − y) 2{x}2 ⊗ (1 − x) = 0.Для простоты будем опускать тильду в обозначении fei ∈ F [t] и 2 в символе{x}2 .Шаг 1.

Для произвольного элемента x ∈ F (P ) существуют полиномыx1dx1 , x2 ∈ F [t], степень которых не превосходит , такие что x = .2x2Так как случай x = 0 очевиден, предположим, что x обратим в поле FP .F [t]Рассмотрим поле F (P ) =как векторное пространство над F с базисом(P )1, t, t2 , ..., td−1 .

Символом F (P )s обозначим линейное подпространство с базисом1, t, t2 , ..., ts размерности s + 1. Обозначим оператор умножения на x, действующий на пространстве FP , символом mx . Нам нужно показать, чтоmx (F (P )k ) ∩ F (P )k 6= ∅.Действительно,таккакоператорmxобратим,dim (mx (F (P )k ))=dim (F (P )k ) = k + 1, поэтомуdim (mx (F (P )k )) + dim (F (P )k ) = 2k + 2 > dim(F (P )).Шаг 2. Существуют элементы xi ∈ Ld−1 такие, что xi ≡ fi (modP ), а такжеxi − fi1 − xi ∈ Ld−1 и∈ Ld−1 .PИспользуя результаты Шага 1, найдем многочлены a, b, c, d ∈ F [t], степеньacкоторых не превышает k, такие что x1 = ≡ f1 (modP ) и x2 = ≡ f2 (modP ).bd1 − xiЗададим рекуррентно xi+1 =. Тогдаxi−1ab−ax1 = ; 1 − x1 =,bb39d−cc,x2 = ; 1 − x2 =ddb(d − c)ad − bd + bcx3 =; 1 − x3 =,adadad − bd + bc(d − c)(b − a)x4 =; 1 − x4 =,acac(b − a)dbc − bd + adx5 =; 1 − x5 =.bcbcxi − fiИз этих формул очевидно, что xi , 1 − xi ,∈ Ld−1 .P 1 − xixi⊗ (1 − fi ) +⊗ xi .Шаг 3.

({xi } − {fi }) ⊗ P = −fi1 − fixi − fiОбозначимсимволом qi . Нетрудно видеть, чтоP fiP qi⊗= 0,xixifi (1 − xi )P qi⊗= 0,xi (1 − fi )xi (1 − fi )P qi1 − xi⊗= 0.1 − fi1 − fiОтсюда следует, что xifi (1 − xi )1 − xi({xi } − {fi }) ⊗ P =⊗P +⊗P −⊗P =fixi (1 − fi )1 − fi xifi (1 − xi )xi (1 − fi )1 − xixi (1 − fi )1 − xi⊗P +⊗−⊗+⊗ xi =fixi (1 − fi )qi1 − fiqi1 − fi xixixi (1 − fi )1 − xi⊗ P + {xi } − {fi } −⊗⊗ xi =+fifiqi1 − fi xiP qi1 − xixi1 − xi⊗+⊗ xi = −⊗ (1 − fi ) +⊗ xi .fixi (1 − fi )1 − fifi1 − fiPi=5Pi=5 n fi−1 ·fi+1 oШаг 4. i=1 {fi } ⊗ P + i=1⊗ fi = 01−fiЗаметим, что в группе grd [B2 (F (t))] выполнены равенства1 − xi1 − fi=1 − xifi fi+1+fi fi+11 − fi,40 xi+1 xi−1xi−1xi+1=+.fi+1 fi−1fi−1fi+1P{xi } = 0, так как xi−1 xi+1 = 1 − xi .

Наконец, по предыдущейКроме этого,лемме,fi−1 fi+11 − fixi⊗ =−fixifixi⊗ =−fixifi⊗fi−1 fi+11 − fi⊗xi+1.fi+1иxi+1fi+1Отсюда мы получаем, чтоX{fi }⊗P +X fi−1 · fi+1 X xi 1 − fi({fi }−{xi })⊗P +X 1 − xi X fi−1 · fi+1 1 − fiX fi−1 · fi+1 ⊗fi =⊗ xi +⊗ fi =1 − fi1 − fiX fi−1 · fi+1 X 1 − xi X fi−1 · fi+1 X xi ⊗(1−fi )−⊗xi −⊗xi +⊗fi =fi1 − fifi+1 fi−11 − fiX xi X fi−1 · fi+1 xi 1 − fi⊗−⊗⊗ xi +fifi+1 fi−11 − fifiX xi+1 xi−1 X xi ⊗ fi+1 fi−1 −⊗ xi =fifi+1 fi−1X xi+1 X xi−1 X xi ⊗ fi+1 fi−1 −⊗ xi −⊗ xi =fifi+1fi−1X xi xi+1 X xi xi−1⊗⊗−−= 0.fifi+1fifi−1fi⊗ (1 − fi ) −⊗fi =X2.3.6.

Завершение доказательства Теоремы 2.4.Напомним, что нам нужно доказать, что отображениеΓ(F (t), 3) ⊕∂P M−→Γ(FP , 2).Γ(F, 3)P 6=∞41является квазиизоморфизмом.Заметим, что отображение ⊕∂P индуцирует отображение спектральных поΓ(F (t), 3) Lи P 6=∞ Γ(FP , 2), последовательностей фильтрованных комплексовΓ(F, 3)этому для доказательства Теоремы 2.4 достаточно проверить, что ⊕∂P − изомор1физм на группах Ep,qспектральных последовательностей. Легко видеть, что этоэквивалентно квазиизоморфности отображения⊕∂Pgrd Γ(F (t), 3) −→MΓ(FP , 2).deg(P )=dВыше мы построили комплексы Γ(FP , 2), квазиизоморфные Γ(FP , 2), и отображения ковычета hP : Γ(FP , 2) −→ grd Γ(F (t), 3). Нам осталось показать, что⊕hP :MΓ(FP , 2) −→ grd Γ(F (t), 3)deg(P )=dявляется квазиизоморфизмом.Напомним, что hP задаётся коммутативной диаграммойαR2 (FP ) −−P→R1 (FP ) ⊗ Q[FP ]1 LβPQ[F]−−→P2S2 R1 (FP )h2y Pgrd [B2 (F (t)) ⊗a F (t)× ]δ2V−−→ grdQ[FP ]1h1.y P3VF (t)×Так как R2 (FP ) является подгруппой Q[FP ]2 , очевидно, что αP инъективно.

То,что h1P : Coker(βP ) −→ Coker(δP ) является изоморфизмом, следует из доказательства Теоремы 2.1. То, чтоh2P :Ker(βP )−→ Ker(δP )Im(αP )инъективно, легко видеть, так как отображение resP ◦ hP = jP , а jP являетсяизоморфизмом. Остаётся заметить, что из инъективности hP для каждой точки42P степени d следует инъективность ⊕hP .Покажем, что отображение h2P сюръективно.