Диссертация (Усиленный закон взаимности Суслина и смежные вопросы), страница 3

Отображения вычета ∂P будут определены в параграфе 2.2.1.С помощью этой теоремы можно определить отображение нормы наK−теории Милнора, связанное с расширением полей конечной степени L/F .Мы напомним идею этой конструкции в параграфе 2.2.2. Одним из следствийэтого результата является следующий закон взаимности:Следствие 2.2. Для гладкой проективной кривой X над полем C отображение полного вычетаMRes : KnM (C(X )) −→ Kn−1(C),определяемое как сумма отображений вычета ∂P по всем точкам кривой X ,тождественно равно нулю.2.1.2. Группа БлохаПомимо K−теории Милнора есть еще один случай, когда известно явное описание группы мотивных когомологий через символы.

Такое описание было1,2найдено Суслиным для группы HM(k, Q), изоморфной неприводимой частиK−теории K3ind (k). В работе [3] доказан более сильный результат, учитывающийкручение, но мы сразу опишем его рационализированную версию.РассмотримективнойподгруппупрямойR2 (k)Q[P1 (k)]2 ,свободнойпорожденнуюгруппынаэлементамиточках[0], [∞]прои18P5ii=1 (−1) [r(y1 , . . . , ŷi , . . .

, y5 )],где (y1 , . . . , y5 ) — всевозможные пятерки различ(a − b)(c − d)ных точек проективной прямой P1 (k), а символом r(a, b, c, d) =(c − b)(a − d)обозначается двойное отношение четырех точек. Группа B2 (k) определяетсякак следующий фактор:Q[P1 (k)]2B2 (k) :=R2 (k)и вкладывается в точную последовательность0 −→ R2 (k) −→ Q[P1 (k)]2 −→ B2 (k) −→ 0.Образ элемента [x] в факторе обозначим символом {x}2 .Группу соотношений R2 (k) можно определить немного иначе. Для каждойпары различных элементов x1 , x2 ∈ k определим рекуррентную последовательность {xi } формулой xi+1 · xi−1 = 1 − xi . Эта последовательность является5−периодичной. Определим R2 (k) как подгруппу Q[P1 (k)]2 , порожденную элементами [0], [∞] иt2 (x1 , x2 ) =5X[xi ].i=1Наметим ход доказательства эквивалентности двух приведенных вышеопределений.

Для этого рассмотрим произвольную пятёрку различных точекy1 , . . . , y5 ∈ P1 (k). Существует проективное преобразование P1 (k), переводящееy3 в 0, y4 в 1, а y5 в ∞. Обозначим образ точки y1 при этом отображении символом x1 , а образ y2 — символом x2 . Остаётся заметить, что все элементы xiявляются двойными отношениями некоторой четвёрки точек yi .Рассмотрим отображениеδ : Q[P1 (k)] −→ k × ∧ k × ,переводящее базисный элемент [x] ∈ Q[P1 (k)] в x∧(1−x). Покажем, что δ равно19нулю на группе R2 (k). Действительно,δ(t2 (x1 , x2 )) =5Xδ([xi ]) =i=15Xxi ∧ (xi−1 · xi+1 ) = −i=15Xxi ∧ (1 − xi ) =i=15Xxi−1 ∧ xi +i=15Xxi ∧ ·xi+1 = 0.i=1Это позволяет рассмотреть фактор-отображениеδ : B2 (k) −→ k × ∧ k × ,заданное формулой δ({x}2 ) = x ∧ (1 − x).В работе [2] Суслин показал, что ядро отображенияδ : B2 (k) −→ k × ∧ k ×1,2совпадает с группой мотивных когомологий HM(k, Q) = K3ind (k) ⊗ Q.

Это ядроназывается группой Блоха.Свойства гомотопической инвариантности мотивных когомологий вместе срезультатами Суслина позволяют утверждать, что теорема, аналогичная 2.1,должна быть справедлива для групп Блоха, заданных через символы. Однако,на момент написания данной работы автору не удалось доказать этого элементарными методами.2.1.3. Гипотезы ГончароваАлександром Гончаровым было предложено явное описание групп мотивныхкогомологий поля произвольного веса.

Подробное изложение гипотез Гончарова содержится, например, в [8]. Из предложенного им описания, в частности,можно вывести гипотезы Загье о выражении дзета-функций числовых полей вцелых точках через полилогарифмы. Для наших целей будет достаточно при-20n−1,nвести это описание для группы HM(k, Q).Определение 2.3.

(Обрезанным) полилогарифмическим комплексом Γ(k, n)веса n над полем F называется комплексB2 (k)⊗aЗдесь символом B2 (k)⊗an−2Vn−2^×δk −→n^k×.k × обозначен фактор группы B2 (k)⊗Qn−2Vk × поподгруппе, порожденной элементами вида {x}2 ⊗x∧x1 ∧. . .∧xn−3 для некоторыхx, x1 , . . . , xn−3 ∈ k, а отображение δ задаётся формулойδ({x}2 ⊗ x1 ∧ .

. . ∧ xn−2 ) = x ∧ (1 − x) ∧ x1 ∧ . . . ∧ xn−2 .Заметим, что коядро отображения δ совпадает с K-теорией Милнора. ГруппойHGn−1,n (k) мы будем называть ядро отображения δ.Приведем некоторые соображения, мотивирующие данное выше определение. В статье [5] Александр Бейлинсон высказал предположение о том, что дляпроизвольного поля k существует положительно градуированная коалгебра ЛиLM (k), для которой выполнено соотношениеp,qpH[q](LM (k)) = HM(k, Q).pСимволом H[q]мы обозначаем p−е когомологии градуировки q. Можно пока-зать, что если такая коалгебра существует, то компонента градуировки 1 совпадает с группой k × , а компонента градуировки 2 — с описанной выше группойB2 (k).

При этом, коумножение задаётся отображением δ. Александр Гончароввысказал предположение о схожем описании коалгебры LM (k) в градуировке 3.В соответствии с этим предположением, LM (k)3 совпадает с группой B3 (k), являющейся фактором свободной группы на точках проективной прямой по некоторой группе соотношений R3 , связанных с уравнениями для функции трило-21гарифм:Q[P1 (k)]B3 (k) :=.R3 (k)При этом, коумножение является отображением δ:δ : B3 (k) −→ B2 (k) ⊗ k × ,заданном на образующих формулой δ([x]) = {x}2 ⊗ x. Рассмотрим три крайнихчлена коцепного комплекса коалгебры Ли LM (k) в градуировке n:B3 (k)⊗n−3^×δ3k −→ B2 (k)⊗n−2^×δk −→n^k×.Легко видеть, что первая группа когомологий этого комплекса совпадает с группой HGn−1,n (k), определенной выше.

В соответствии с гипотезами Гончарова, онаn−1,nтакже должна совпадать с HM(k, Q).Нашей целью будет доказать аналог Теоремы 2.1 для групп HGn−1,n (k) и вывести из этого некоторые следствия.2.2. Основные результаты и их следствия2.2.1. Отображения вычетаДля того чтобы сформулировать теорему гомотопичексой инвариантности,нам необходимо определить отображения вычета ∂P для полилогарифмических комплексов. Начнем с напоминания конструкции отображений вычета дляK−теории Милнора.Рассмотрим поле L с дискретным нормированием ν и полем вычетов L.Определим отображение вычета∂ν :n^×L −→n−1^×L .22на элементе X = x1 ∧ .

. . ∧ xn следующим правилом: если все нормированияэлементов xi равны нулю, то положим ∂ν (X) = 0, а если ν(x1 ) = 1, ν(x2 ) =0, ..., ν(xn ) = 0, положим∂ν (X) = x2 ∧ . . . ∧ xn .На остальные элементы группыnVL× определение вычета распространяется полинейности. Легко видеть, что оно корректно определено на K−теории МилноMра и приведет к отображениям вычета ∂ν : KnM (L) −→ Kn−1(L).Аналогично определим отображение вычета∂ν : B2 (L)⊗an−2^n−3^×L −→ B2 (L)⊗a×Lна элементе Y = {y}2 ⊗ y1 ∧ . .

. ∧ yn−2 следующими правилами: если ν(y) 6= 0, тоположим ∂ν (Y ) = 0; если все нормирования элементов yi равны нулю, то такжеположим ∂ν (Y ) = 0; наконец, если ν(y1 ) = 1, ν(y2 ) = 0, ..., ν(yn−2 ) = 0, положим∂ν (X) = {y}2 ⊗ y2 ∧ . . . ∧ yn−2 .На остальные элементы группы B2 (L)⊗an−2VL× определение вычета распро-страняется по линейности.В итоге, определено цепное отображение вычетаn−2VLn−3VLB2 (L)⊗a∂yνB2 (L)⊗a××δ−−→nVδn−1V−−→L×∂yν ,×Lиндуцирующее отображение вычета на K−теории Милнора, определенное вы-23ше.

Иначе говоря, мы построили отображение комплексов∂νΓ(L, n) −→Γ(L, n − 1),индуцирующее отображение вычета∂νHGn−1,n (L) −→HGn−2,n−1 (L).В дальнейшем нам будет важен случай, когда L — поле рациональных функций на гладкой кривой над полем F , а ν — дискретное нормирование, связанноес некоторой точкой P этой кривой. В этом случае поле вычетов будет обозначаться символом FP , a отображение вычета — ∂P .2.2.2. Теорема гомотопической инвариантности и законвзаимностиОсновным результатом этой главы является теорема гомотопической инвариантности:Теорема 2.4. Для произвольного поля F следующая последовательность точна:⊕∂P0 −→ HGn−1,n (F ) −→ HGn−1,n (F (t)) −→MHGn−2,n−1 (FP ) −→ 0.P 6=∞В этой последовательности инъективное отображение индуцировано вложением поля F в поле F (t), а сюръективное есть прямая сумма по всем точкамA1F отображений вычета, построенных выше.В статье [2] Суслин построил отображение нормы для K−теории Милнораи доказал закон взаимности, опираясь на теорему гомотопической инвариантности Милнора, в точности аналогичную теореме 2.4.

Доказательство Суслинаслово в слово переносится на случай групп HGn−1,n (F ), что позволяет построить24на этих группах отображения нормы, доказать их свойства и вывести закон взаимности, дословно следуя второму параграфу работы [2]. В частности, такимобразом получается следующее утверждение, эквивалентное гипотезе 6.2 из [9].Следствие 2.5. Для гладкой проективной кривой X над C отображение полного вычетаRes : HGn−1,n (C(X )) −→ HGn−2,n−1 (C),определяемое как сумма отображений вычета ∂P по всем точкам кривой X ,тождественно равно нулю.2.2.3. Приложения к теории равносоставленностиПеред тем как сформулировать еще одно следствие, напомним некоторые определения из теории равносоставленности многогранников в пространстве Лобачевского H3 .

Подробное изложение можно найти, например, в [7].3Определение 2.6. Группа P(H ) — это абелева группа, заданная образующими[T ], соответствующими гиперболическим многогранникам T, возможно, с вершинами на абсолюте, и следующими соотношениями. Во-первых, [T1 t T2 ] =[T1 ] + [T2 ], если внутренности многогранников T1 и T2 не пересекаются. Вовторых, элементы группы, соответствующие изометричным многогранникам,совпадают.3Каждому комплексному числу z ∈ C соответствует элемент [z] ∈ P(H ),отвечающий тетраэдру с вершинами на абсолюте, имеющими координаты∞, 0, 1, z в модели Пуанкаре в верхнем полупространстве.3У каждого элемента группы [T ] ∈ P(H ) однозначно определен гиперболический объем V ol(T ) ∈ R и инвариант Дена D(T ) ∈ R ⊗Z R/2πZ.