Диссертация (Усиленный закон взаимности Суслина и смежные вопросы)

Федеральное государственное автономноеобразовательное учреждение высшего образования«Национальный исследовательский университет«Высшая школа экономики»На правах рукописиРУДЕНКО Даниил ГлебовичУсиленный закон взаимности Суслина и смежные вопросы01.01.06 Математическая логика, алгебра и теория чиселДиссертация на соискание ученой степени кандидатафизико-математических наукНаучный руководительдоктор физико-математических наук, профессорЛандо Сергей КонстантиновичМосква— 2016 г.2Оглавление1. Введение . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.2. Основное содержание работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102. Усиленный закон взаимности Суслина . . . . . .

. . . . . . . . . 152.1. Мотивные когомологии поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152.1.1. K−теория Милнора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162.1.2. Группа Блоха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172.1.3. Гипотезы Гончарова . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .192.2. Основные результаты и их следствия . . . . . . . . . . . . . . . .212.2.1. Отображения вычета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212.2.2. Теорема гомотопической инвариантности и закон взаимности 232.2.3. Приложения к теории равносоставленности . . . . . . . . .242.3. Доказательство Теоремы 2.4 . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .262.3.1. План доказательства Теоремы 2.4 . . . . . . . . . . . . . .262.3.2. Гомотопическая инвариантность K−теории Милнора . . .272.3.3. Резольвента комплекса Γ(k, 2) . . . . . . . . . . . . . . . .292.3.4. Фильтрации на полилогарифмическом комплексе поляфункций на проективной прямой . . . . . . . . . . .

. . . .312.3.5. Отображения ковычета hP : Γ(FP , 2) −→ grd Γ(F (t), 3) . . .342.3.6. Завершение доказательства Теоремы 2.4. . . . . . . . . . .4033. Разрезания многоугольников на треугольники равной площади 453.1. Сбалансированные многоугольники . . . . . . . . . .

. . . . . . .453.2. Сбалансированные графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .463.3. Доказательство теоремы 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .514Глава 1Введение1.1. Постановка задачиАктуальность и степень разработанности темы Диссертация посвящена изучению двух открытых вопросов, поставленных А. Б. Гончаровым и Ш.Штайном в работах [9] и [16].Первый вопрос связан с теорией смешанных мотивов Тейта и гипотезамиГончарова. В работах А.

Гротендика, П. Делиня, Ю. И. Манина, А. А. Бейлинсона и многих других ведущих математиков современности разработана гипотетическая теория смешанных мотивов алгебраических многообразий. В соответствии с этой теорией, каждому многообразию должен соответствовать комплексобъектов некоторой (пока не построенной) абелевой категории смешанных мотивов. При этом, такие инварианты многообразий, как числа Бетти и группыэтальных когомологий, должны вычисляться по одним лишь мотивным данным.В гипотетической категории смешанных мотивов над некоторым полем Fможно выделить ее самую простую часть: подкатегорию смешанных мотивовТейта, порожденную мотивом проективной прямой. В совместной работе [5] А.А. Бейлинсоном и П. Делинем был предложен способ построения обрамленных смешанных мотивов Тейта, связанных с классической полилогарифмической функцией Lin (z), для которых должны быть справедливы функциональ-5ные уравнения, которым удовлетворяет полилогарифмическая функция.

Позднее Гончаров сформулировал набор гипотез, дающих внутреннее описание смешанных мотивов Тейта, получающихся с помощью конструкции Делиня и Бейлинсона. Это дало возможность явно определить комплексы абелевых групп,когомологии которых должны совпадать с мотивными когомологиями поля сp,qрациональными коэффициентами HM(F, Q).

Такие комплексы называют поли-логарифмическими из-за их связи с классическими полилогарифмами, особенноявной для случая числового поля.Гипотезы о том, что когомологии полилогарифмических комплексов совпадают с мотивными когомологиями, представляются очень сложными. В частности, из этих гипотез можно вывести гипотезы Д. Загье о специальных значениях дзета-функций числовых полей. Другим их следствием являлось бы явноеописание высшей K−теории поля с точностью до кручения, обобщающее символьное определение K−теории Милнора.Одной из главных трудностей теории полилогарифмических комплексов является отсутствие естественного отображения нормы, связанного с расширением полей конечной степени, см.

[8]. Это отображение определено для мотивныхкогомологий, следовательно, должно быть определено и для полилогарифмических комплексов, по крайней мере, на уровне производной категории. Старшиекогомологии полилогарифмических комплексов совпадают с K−теорией Милнора. Уже в этом случае построение отображения нормы — непростая задача,элегантно решенная, в частности, А. А. Суслиным в [3].В настоящей работе это построение продолжено на вторые с конца группыкогомологий полилогарифмических комплексов. Из этого результата выводится усиление закона взаимности Суслина, сформулированного как гипотеза А. Б.Гончаровым, а также некоторые теоремы о равносоставленности гиперболических многогранников.

Заметим, что полученные результаты служат косвеннымподтверждением справедливости общих гипотез Гончарова, Бейлинсона и Делиня.6Второй вопрос, изучаемый в диссертации, связан с разрезаниями многоугольников на треугольники равной площади. Под разрезанием мы понимаемпредставление многоугольника в виде объединения конечного числа треугольников, непересекающихся по внутренним точкам. В работе [11] П. Монски было доказано, что квадрат нельзя разрезать на нечетное число треугольниковравной площади. Доказательство представляет из себя комбинацию двух идей:раскраски плоскости в три цвета, построение которой использует дискретное2−адическое нормирование, и леммы Шпернера.Известно несколько различных обобщений теоремы Монски.

В 1990 году П.Монски доказал предположение, высказанное ранее Ш. Штайном, утверждающее, что центрально-симметричный многоугольник не может быть разрезан нанечетное число треугольников равной площади ([10]). Далее, будем называтьполимино фигуру, являющуюся объединением конечного числа клеток прямоугольной целочисленной решётки.

В 1999 году Ш. Штайн доказал, что полиминонечетной площади нельзя разрезать на нечетное число треугольников равнойплощади ([17]). Позже И. Пратон доказал то же самое утверждение для полимино произвольной площади ([12]). В 2000 году Ш. Штайн сформулировалгипотезу, обобщающую все вышеперечисленные результаты.Пусть B — многоугольник на плоскости, про который мы не предполагаем нивыпуклости, ни связности границы.

Мы будем называть B сбалансированным,если его рёбра можно разбить на пары равных по длине и параллельных междусобой. Гипотеза Штайна утверждает, что сбалансированный многоугольник неможет быть разрезан на нечетное число треугольников равной площади.В диссертации разрабатывается новый подход к задачам о разрезании натреугольники равной площади, и доказывается гипотеза Штайна при некоторых дополнительных предположениях целочисленности. Случай многоугольника нечетной площади опубликован, а общий случай готовится к публикации.Цель работы. У этой работы было три основных цели. Первая цель —7доказать теорему гомотопической инвариантности для некоторых когомологийполилогарифмических комплексов. Вторая — использовать эти результаты дляпостроения интересных классов равносоставленности гиперболических многогранников по данным алгебраической геометрии.

Наконец, третьей целью былоразработать новые методы доказательства невозможности разрезания многоугольников на треугольники равной площади.Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты диссертации заключаются в следующем.• Доказана теорема гомотопической инвариантности для предпоследнихгрупп когомологий полилогарифмических комплексов.• В качестве следствия этой теоремы получено доказательство гипотезы А.Б.

Гончарова об усиленном законе взаимности Суслина.• Придумана конструкция классов равносоставленности гиперболическихмногогранников по тройкам мероморфных функций на гладких проективных кривых. Вычислены объемы и инварианты Дена этих многогранников.• Определены сбалансированные графы и доказана теорема о минимальноминдексе вершин у таких графов.• В качестве следствия этой теоремы получено доказательство гипотезы Ш.Штайна о сбалансированных многоугольниках в рациональном случае.Теоретическая и практическая значимость работы.

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы для дальнейшего развития теории когомологий полилогарифмических комплексов. Новые методы вычислений в группах Блоха могут найти независи-8мые применения. Кроме этого, автор надеется, что комбинаторные и теоретикочисловые свойства сбалансированных графов могут быть использованы в задачах, смежных с теорией разрезаний.Методология и методы исследования.

В диссертации используютсяразличные комбинаторные, алгебраические и теоретико-числовые методы. Кроме этого, используются некоторые стандартные методы гомологической алгебры.Положения, выносимые на защиту. В диссертации доказаны, в частности, следующие теоремы.• Для произвольного поля F следующая последовательность групп когомологий полилогарифмических комплексов точна:⊕∂P0 −→ HGn−1,n (F )Q −→ HGn−1,n (F (t))Q −→MHGn−2,n−1 (FP )Q −→ 0.P 6=∞• Для гладкой проективной кривой X над C отображение полного вычетаRes : HGn−1,n (C(X ))Q −→ HGn−2,n−1 (C)Q ,определяемое как сумма отображений вычета ∂P по всем точкам кривойX , тождественно равно нулю.• Целочисленный сбалансированный многоугольник нечетной площадинельзя разрезать на нечетное число треугольников равной площади так,чтобы координаты всех вершин триангуляции были целыми числами.Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах и конференциях:9• На семинаре ”Geometric Langlands ” , The University of Chicago, 01/2016;• На семинаре ”Topology ”, Northwestern University, 03/2016;• На конференции фонда ”Династия”, НМУ, Москва, 06/2015;• На конференции по алгебраическим структурам в выпуклой геометрии,ВШЭ, Москва, 02/2015;• На семинаре лаборатории алгебраической геометрии, ВШЭ, Москва,12/2014, 12/2013;• На семинаре ”Комбинаторика характеристических классов”, ВШЭ,Москва, 11/2014.Публикации автора по теме диссертации. Результаты диссертацииопубликованы в следующих изданиях:1. Rudenko D.

On equidissection of balanced polygons // 851. Записки научныхсеминаров ПОМИ им. В.А.Стеклова Российской академии наук. 2012. Т.403. С. 142-158.2. Руденко Д.Г. Об усиленном законе взаимности Суслина и его приложениях к вопросам равносоставленности гиперболических многогранников //Функциональный анализ и его приложения. 2016. Т. 50 вып.1. С. 79-84.3. Rudenko D. Arithmetic of 3-valent graphs and equidissections of flat surfaces[Электронный ресурс]// Working papers by Cornell University. Series math«arxiv.org». 2014.URL:http://arxiv.org/abs/1409.7996.4.