Диссертация (1137325), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Для многогранника с длинами рёбер li и соответствующими двугранными углами αi ,Pинвариант Дена определяется формулой D(T ) = li ⊗ αi .Неформально содержание нашего результата можно описать так: по каждой25тройке обратимых мероморфных функций на компактной гладкой кривой можно канонически построить класс равносоставленности гиперболического многогранника.
Полученное отображение полилинейно и антисимметрично. Инвариант Дена полученного многогранника выражается через значения одних функций в нулях и полюсах других, а гиперболический объем выражается как интеграл по кривой от некоторой явно заданной дифференциальной формы. Желание доказать существование подобной конструкции и было первоначальноймотивировкой данной работы.Обозначим через p проекцию C× ∧ C× −→ R ⊗ R/2πZ, заданную формулойp(z ∧ w) = z ∧ w − z ∧ w.
Нетрудно проверить, что D([z]) = p(z ∧ (1 − z)).Следствие 2.7. Для гладкой проективной кривой X над C существует линейное отображениеH : C(X )× ∧ C(X )× ∧ C(X )× −→ P(H)со следующими свойствами:P1. [Инвариант Дена] D ◦ H =p ◦ ∂P ,P ∈XP2. H(f ∧ (1 − f ) ∧ g) =ordP (g) · [f (P )],P ∈XR13. [Объем] V ol ◦ H(f1 ∧ f2 ∧ f3 ) = 2πir2 (f1 , f2 , f3 ), гдеX (C)r2 (f1 , f2 , f3 ) = Alt311log |f1 | d log |f2 | ∧ d log |f3 | − log |f1 | darg(f2 ) ∧ darg(f3 ) .62Доказательство. Наметим (несложное) доказательство этого результата. Напомним, что ядро отображения×δB2 (F ) ⊗a F −→n^F ×.совпадает с группой HG2,3 (F ), а коядро — с K3M (F ).
Для гладкой проективной26кривой X над C мы показали, что отображение полного вычетаRes : HG2,3 (C(X )) −→ HG1,2 (C)нулевое. Как было показано в [2], подобное отображение на −теории МилнораRes : K3M (C(X )) −→ K2M (C)также нулевое. Следовательно, цепное отображение полного вычета×B2 (C(X ) ⊗a C(X )yResB2 (C)δ−−→3VC(X )×yRes ,δ−−→ C× ∧ C×определяемое как сумма отображений вычета ∂P по всем точкам кривой X ,цепно гомотопно нулю. Значит, существует стягивающее отображениеh:3^C(X )× −→ B2 (C),такое что h ◦ δ = Res и δ ◦ h = Res. Положим H = [h].
Тогда cвойства 1 и 2очевидны, а свойство 3 следует из результатов работы [9].2.3. Доказательство Теоремы 2.42.3.1. План доказательства Теоремы 2.4Теорема 2.4 является наиболее важным результатом этой работы. Её утверждение заключается в том, что прямая сумма отображений вычета по всем конечным точках проективной прямой ⊕∂P индуцирует квазиизоморфизм комплексовΓ(F (t), n) ⊕∂P M−→Γ(FP , n − 1).Γ(F, n)P 6=∞27Для случая n = 2 утверждение этой теоремы следует из результатов А. А.Суслина.
Мы изложим доказательство со всеми деталями только для случаяn = 3. Для больших значений параметра n рассуждение проводится полностьюаналогично, но обозначения становятся значительно более громоздкими.Изложим план доказательства. В начале мы построим комплексы Γ(FP , n −1), квазиизоморфные Γ(FP , n − 1), используя задание групп B2 (FP ) и FP× через образующие и соотношения. Затем мы построим комплексы grd Γ(F (t), n),используя фильтрацию по степеням многочленов. Самой содержательной частью доказательства теоремы будет построение отображений ковычета Γ(FP , n−1) −→ grd Γ(F (t), n) и доказательство того, что это отображение - квазиизоморфизм.
Отсюда мы выведем Теорему 2.4, используя спектральную последовательность фильтрованного комплекса.То, что отображение ⊕∂P является квазиизоморфизмом, эквивалентно тому, что оно индуцирует изоморфизм на первых и на вторых когомологиях рассматриваемых нами полилогарифмических комплексах. Мы начнем с того, чтонапомним доказательство второго из этих утверждений, которое эквивалентноТеореме 2.1.2.3.2. Гомотопическая инвариантность K−теории МилнораДоказательство.
Нам нужно доказать точность последовательности0 −→KnM (F )−→⊕∂PKnM (F (t)) −→MMKn−1(FP ) −→ 0.P 6=∞Рассмотрим следующую фильтрацию на группеn^nVF (t)× :F × = Ln0 ⊂ Ln1 ⊂ . . . ⊂ Lnd ⊂ . . . ,28в которой группа Lnd порождена элементами f1 ∧ . . . ∧ fn , где fi — многочлены, степень которых не превышает d. Для n = 1 мы будем писать вместо L1dпросто Ld . Эта фильтрация индуцирует фильтрацию на KnM (F (t)), присоединенные факторы которой мы обозначим grd KnM (F (t)).
Докажем, что при d ≥ 1отображение⊕∂Pgrd KnM (F (t)) −→MMKn−1(FP )deg(P )=dявляется изоморфизмом. Из этого утверждения Теорема 2.1 очевидно следует.Во-первых, заметим, что это отображение корректно определено на факторах фильтрации, так как для произвольной точки P степени d отображениевычета ∂P обнуляет Ld−1 .Для произвольного элемента a ∈ FP существует единственный полином скоэффициентами в поле F степени, не превышающей d − 1, совпадающий с aпо модулю P.
Обозначим этот элемент символом ea.Рассмотрим отображение hPn−1^hPFP× −→grd KnM (F (t)),заданное формулойhP (a1 ∧ . . . ∧ an−1 ) = P ∧ ae1 ∧ . . . ∧ agn−1 .Докажем, что это отображение полилинейно. Проверка этого свойства для произвольного n сводится к проверке для случая n = 2. Рассмотрим два произe равно нулювольных элемента a, b ∈ FP . Докажем, что P ∧ ea + P ∧ eb − P ∧ abв группе grd K2M (F (t)).
Для этого применим теорему о делении с остатком дляполиномов к паре eaeb. По этой теореме существует единственный полином q, стеe Степень этогопень которого не превосходит d − 1, такой что eaeb = −P q + ab.29полинома, очевидно, не превышает d − 1. Следовательноea · eb −P · q+= 1.eeababВведем обозначениеxP (a, b) =ea · eb.eabВ группе K2M (F (t)) элемент xP (a, b) ∧ (1 − xP (a, b)) равен нулю, следовательно,e выражается через элементы, лежащие в группе L2 .P ∧ea + P ∧ eb − P ∧ abd−1Остаётся заметить, что все эти элементы равны нулю в grd K2M (F (t)).Так как отображение hP переводит элементы Стайнберга в элементы Стайнберга, можно рассмотреть фактор-отображениеhPMKn−1(FP ) −→grd KnM (F (t)).Легко проверить, что отображения ⊕∂P и ⊕hP взаимно обратны.2.3.3. Резольвента комплекса Γ(k, 2)В этом параграфе мы определим комплексы Γ(k, 2) и квазиизоморфизмыjPΓ(k, 2) −→ Γ(k, 2)для произвольного поля k.
Позднее нас будет интересовать случай поля вычетовk = FP .Напомним, каким образом были определены группы соотношений R1 (k) иR2 (k) в параграфе 2.1. Группа R1 (k) является подгруппой свободной группына точках проективной прямой Q[P1 (k)]1 , порожденной элементами [0], [∞] иt1 (x1 , x2 ) = [x1 ] + [x2 ] − [x1 · x2 ] для произвольных x1 , x2 ∈ k. Группа R2 (k)— это подгруппа свободной группы на точках проективной прямой Q[P1 (k)]2 ,Pпорожденная элементами [0], [∞] и t2 (y1 , y2 ) = 5i=1 [yi ], где числа {yi } заданы30рекуррентно формулой yi+1 · yi−1 = 1 − yi .Определим комплекс Γ(k, 2) следующим образом:2R1 (k) ⊗ Q[k]1 Mβ ^R2 (k) −→Q[k]2 −→ Q[k]1 .S2 R1 (k)αОпишем дифференциалы в этом комплексе:"α(t2 (y1 , y2 )) =5X#(−[yi−1 ] − [yi+1 ] + [yi−1 · yi+1 ]) ∧ [yi ] ⊕5Xi=1[yi ],i=1β(t1 (x1 , x2 ) ⊗ [x3 ]) ⊕ [x4 ] = ([x1 ] ∧ [x3 ] + [x2 ] ∧ [x3 ] − [x1 · x2 ] ∧ [x3 ]) ⊕ [x4 ] ∧ [1 − x4 ].Теперь определим цепные отображения j : Γ(k, 2) −→ Γ(k, 2) :αR2 (k) −−→2VR1 (k) ⊗ Q[k]1 Lβ−−→Q[k]1Q[k]2S2 R1 (k)jj ,y2y1B2 (k)δ−−→ k × ∧ k ×формуламиj1 ([a] ∧ [b]) = a ∧ b,j2 (t1 (a, b)) ⊗ [c]) ⊕ [d]) = {d}2 .Лемма 2.8.
Отображение j является квазиизоморфизмом.Доказательство. По определению групп R1 (k), R2 (k) следующие две последовательности точны:0 −→ R1 (k) −→ Q[k]1 −→ k × −→ 0,0 −→ R2 (k) −→ Q[k]2 −→ B2 (k) −→ 0.Применяя к первой из них функтор внешнего квадрата, получаем точную по-31следовательность20 −→ S R1 (k) −→ R1 (k) ⊗ Q[k]1 −→2^Q[k]1 −→2^k × −→ 0.Это приводит к следующей коммутативной диаграмме с точными строками:−−→−−→ B2 (k)y.22VV ×R1 (k) ⊗ Q[k]1δ−−→Q[k]−−→k1S2 R1 (k)R2 (k)αyQ[k]2yЭту диаграмму можно понимать как утверждение о том, что комплексB2 (k)y2Vk×квазиизоморфен тотальному комплексу бикомплексаR2 (k)y−−→Q[k]2y,2VR1 (k) ⊗ Q[k]1Q[k]1−−→S2 R1 (k)что нам и требовалось доказать.2.3.4. Фильтрации на полилогарифмическом комплексеполя функций на проективной прямойВ параграфе 2.3.2 мы определили следующую фильтрацию на группе F (t)×F × = L0 ⊂ L1 ⊂ .
. . ⊂ Ld ⊂ . . . .32Группа Ld порождена элементами P (t), где P — неприводимый многочлен, степень которого не превышает d. Аналогично, мы определили фильтрации Lnd наnVгруппах F (t)× . Определим фильтрацию Md на группе B2 (F (t)) правиломMd = δ −1 Ld .У неё есть и альтернативное описание.Лемма 2.9. Группа Md порождена над своей подгруппой Md−1 элементамиследующих двух типов:• для каждой точки (P степени) d и двух элементов a, b ∈ FP — элементаfe1 · fe2ми {xP (f1 , f2 )}2 =,fgf1 22• для каждой пары различных унитарныхнеприводимых многочленов g1 и g1.g2 степени d — элементамиg2 2Доказательство.
Суслин доказал свойство гомотопической инвариантностигруппы Блоха. В силу теоремы 2.1, это эквивалентно утверждению Теоремы2.4 для n = 2, состоящему в том, что отображениеMΓ(F (t), 2)⊕∂P :−→Γ(FP , 1)Γ(F, 2)P 6=∞является квазиизоморфизмом. Иными словами, следующая последовательностьточна:B2 (F (t)) δ F (t)× ∧ F (t)× ⊕∂P M0 −→,−→−F (P )× −→ 0.××B2 (F )F ∧FP 6=∞Из этой последовательности видно, что нам достаточно доказать, что группы(Ker(⊕∂P ) ∩ L2d )/L2d−1 порождаются элементами xP (f1 , f2 ) ∧ (1 − xP (f1 , f2 )) иg1g1∧ (1 − ).g2g2Рассмотрим произвольный элемент X группы Ker(⊕∂P ) ∩ L2d и представимего как сумму мономов вида x1 ∧ x2 , где xi — неприводимые многочлены, сте-33пень которых не превышает d.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
