Диссертация (1137325), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Rudenko D. Scissor Congruence and Suslin reciprocity law [Электронный ресурс]// Working papers by Cornell University. Series math «arxiv.org». 2015.URL:http://arxiv.org/pdf/1511.00520.101.2. Основное содержание работыДиссертация состоит из вводной главы, двух глав, содержащих изложение основных результатов исследования, и списка литературы.Содержание главы 1 (введения). Во введении описана актуальностьтемы исследования и степень её разработанности, перечислены цели и задачиисследования, описана научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, методы исследования, апробация результатов исследования.Содержание главы 2. Вторая глава содержит доказательство теоремыгомотопической инвариантности и её следствия.
Перед тем, как сформулироватьосновные результаты этой главы, дадим необходимые определения.Рассмотрим подгруппу R2 (k) свободной группы на точках проективной прямой Q[P1 (k)], порожденную элементами [0], [∞] и комбинациями5X(−1)i [r(y1 , . . . , ŷi , . . . , y5 )],i=1где (y1 , . . . , y5 ) — всевозможные пятерки различных точек проективной прямой(a − b)(c − d)P1 (k), а символом r(a, b, c, d) =обозначается двойное отношение(c − b)(a − d)четырех точек. Группа B2 (k) определяется как следующий фактор:Q[P1 (k)]B2 (k) :=.R2 (k)Образ элемента [x] в факторе обозначим символом {x}2 .Рассмотрим отображениеδ : Q[P1 (k)] −→ k × ∧ k × ,переводящее базисный элемент [x] ∈ Q[P1 (k)] в x ∧ (1 − x).
Можно показать,что δ равно нулю на группе R2 (k).11Определение 1.1. Группой HGn−1,n (k) мы будем называть ядро отображенияB2 (k)⊗aЗдесь символом B2 (k)⊗an−2Vn−2^×δk −→n^k×.k × обозначен фактор группы B2 (k)⊗Zn−2Vk × поподгруппе, порожденной элементами вида {x}2 ⊗x∧x1 ∧. . .∧xn−3 для некоторыхx, x1 , . . . , xn−3 ∈ k, а отображение δ задаётся формулойδ({x}2 ⊗ x1 ∧ . . . ∧ xn−2 ) = x ∧ (1 − x) ∧ x1 ∧ . . . ∧ xn−2 .С каждой абелевой группой A можно связать её рационализацию AQ = A ⊗ZQ. Первой целью диссертации является доказательство следующей теоремы огомотопической инвариантности:Теорема 1.2.
Для произвольного поля F следующая последовательность точна:⊕∂P0 −→ HGn−1,n (F )Q −→ HGn−1,n (F (t))Q −→MHGn−2,n−1 (FP )Q −→ 0.P 6=∞Здесь символом P обозначена точка проективной прямой P1 (F ), a FP — соответствующее поле вычетов. Далее, инъективное отображение индуцировановложением поля F в поле F (t), а сюръективное есть прямая сумма отображений вычета.Из утверждения этой теоремы несложно вывести усиленный закон взаимности Суслина.Следствие 1.3. Для гладкой проективной кривой X над C отображение полного вычетаRes : HGn−1,n (C(X ))Q −→ HGn−2,n−1 (C)Q ,определяемое как сумма отображений вычета ∂P по всем точкам кривой X ,12тождественно равно нулю.Перед тем как сформулировать еще одно следствие, напомним некоторыеопределения из теории равносоставленности многогранников в пространстве Лобачевского H3 .3Определение 1.4. Группа P(H ) — это абелева группа, заданная образующими[T ], соответствующими гиперболическим многогранникам T, возможно, с вершинами на абсолюте, и следующими соотношениями.
Во-первых, [T1 t T2 ] =[T1 ] + [T2 ], если внутренности многогранников T1 и T2 не пересекаются. Вовторых, элементы группы, соответствующие изометричным многогранникам,совпадают.3Каждому комплексному числу z ∈ C соответствует элемент [z] ∈ P(H ),отвечающий тетраэдру с вершинами на абсолюте, имеющими координаты∞, 0, 1, z в модели Пуанкаре в верхнем полупространстве.3У каждого элемента группы [T ] ∈ P(H ) однозначно определен гиперболический объем V ol(T ) ∈ R и инвариант Дена D(T ) ∈ R ⊗Z R/2πZ.
Для многогранника с длинами рёбер li и соответствующими двугранными углами αi инвариантPДена определяется формулой D(T ) = li ⊗ αi .Неформально содержание следующего результата можно описать так: покаждой тройке обратимых мероморфных функций на компактной гладкой кривой можно построить класс равносоставленности гиперболического многогранника.
Полученное отображение полилинейно и антисимметрично. ИнвариантДена полученного многогранника выражается через значения одних функцийв нулях и полюсах других, а гиперболический объем выражается как интегралпо кривой от некоторой явно заданной дифференциальной формы. Желаниедоказать существование подобной конструкции и было первоначальной мотивировкой данной работы.Обозначим через p проекцию C× ∧ C× −→ R ⊗ R/2πZ, заданную формулойp(z ∧ w) = z ∧ w − z ∧ w.
Нетрудно проверить, что D([z]) = p(z ∧ (1 − z)).13Следствие 1.5. Для гладкой проективной кривой X над C существует линейное отображениеH : C(X )× ∧ C(X )× ∧ C(X )× −→ P(H)со следующими свойствами:P1. [Инвариант Дена] D ◦ H =p ◦ ∂P ,P ∈XP2. H(f ∧ (1 − f ) ∧ g) =ordP (g) · [f (P )],P ∈XR13. [Объем] V ol ◦ H(f1 ∧ f2 ∧ f3 ) = 2πir2 (f1 , f2 , f3 ), где r2 (f1 , f2 , f3 ) − −−X (C)это следующая форма на кривой:Alt311log |f1 | d log |f2 | ∧ d log |f3 | − log |f1 | darg(f2 ) ∧ darg(f3 ) .62Содержание главы 3. Третья глава посвящена доказательству целочисленной версии гипотезы Штайна.Определение 1.6.
Сбалансированным графом {Γ, B} мы будем называть пару,состоящую из трехвалентного графа Γ и функции B, сопоставляющей каждомуориентированному ребру Γ пару целых 2−адических чисел и удовлетворяющуюследующим свойствам, которые мы будем называть условиями балансировки:• Для каждой пары ориентированных ребер e+ и e− , отвечающих одному итому же неориентированному ребру e, выполнено следующее равенство:B(e+ ) + B(e− ) = (0, 0).• Для каждой тройки ориентированных векторов e1 , e2 , e3 , начинающихсяв одной и той же вершине графа, выполнено следующее равенство:B(e1 ) + B(e2 ) + B(e3 ) = (0, 0).14Индексом m(v) вершины v мы будем называть 2−адическое нормированиеопределителя, образованного из координат векторов B(e1 ) и B(e2 ).
Иначе говоря,m(v) = ν2 (Bx (e1 )By (e2 ) − By (e1 )Bx (e2 )) .Из определения сбалансированного графа следует равенство B(e1 ) + B(e2 ) +B(e3 ) = (0, 0), откуда легко заключить, что данное выше определение не зависит от того, какие именно два ребра выбирать. Заметим, что индекс вершиныне обязательно конечен.Второй целью диссертации является доказательство следующей теоремы обиндексах вершин сбалансированного графа:Теорема 1.7.
У произвольного сбалансированного графа число вершин наименьшего индекса четно.Опишем приложение этой теоремы.Определение 1.8. Назовем многоугольник сбалансированным, если его стороны можнно разбить на пары таким образом, чтобы в каждой паре соответствующие векторы были противоположны друг другу. Назовем многоугольникцелочисленным, если координаты всех его вершин целочисленны в некоторойаффинной системе координат на плоскости.Из утверждения теоремы о четности числа вершин минимального индексанесложно вывести целочисленную версию гипотезы Штайна.Следствие 1.9.
Целочисленный сбалансированный многоугольник нельзя разрезать на нечетное число треугольников равной площади так, чтобы координаты всех вершин триангуляции были целыми числами.В частности отсюда следует, что целочисленный сбалансированный многоугольник нечетной площади нельзя разрезать на нечетное число треугольниковравной площади так, чтобы координаты всех вершин триангуляции были целыми числами.15Глава 2Усиленный закон взаимностиСуслинаС каждой абелевой группой A можно связать её рационализацию A ⊗Z Q. Напротяжении всей второй главы мы будем работать только с соответствующимиQ−векторными пространствами, не указывая этого каждый раз явно.2.1. Мотивные когомологии поляДля совершенного поля F и гладкого алгебраического многообразия X над поp,qлем k Воеводский определил группы мотивных когомологий HM(k, Q).
В част-ном случае, когда X = Spec(k), эти группы определяются как когомологииявно заданного комплекса свободных абелевых групп H p (Q(q)(k)) (см., например, [19].) Эти же группы имеют более классическое описание на языке алгебраической K−теории поля: H p,q (X, Q) ∼= grq K2q−p (X) ⊗ Q. Здесь символом grγMγобозначены присоединённые факторы фильтрации Адамса γ.162.1.1. K−теория МилнораВажным частным случаем мотивных когомологий является K−теория Милнора поля k.
Напомним определение группы KnM (k). Рассмотрим подгруппу R1 (k)свободной группы на точках проективной прямой Q[P1 (k)], порожденную элементами [0], [∞] иt1 (x1 , x2 ) = [x1 ] + [x2 ] − [x1 · x2 ]Q[P1 (k)].R1 (k)Эта группа совпадает с рационализацией мультипликативной группы поля k.nVОпределим K−теорию Милнора KnM (k) как фактор группы k × по подгруппе,для произвольных x1 , x2 ∈ k.
Группой k × мы назовём фактор k × :=порожденной элементами вида x∧(1−x)∧x1 ∧. . .∧xn−2 , где x, x1 , . . . , xn−2 ∈ k × .Сделаем небольшое терминологическое отступление. Одна и та же группаQ[P1 (k)] будет появляться у нас в нескольких разных контекстах. Чтобы их было удобнее различать, мы будем приписывать справа индекс i, смысл которогосостоит в том, что бы обозначить мотивный "вес"элементов Q[P1 (k)].
В частности, выше мы использовали группу веса 1 и определили группу k × через точнуюпоследовательность0 −→ R1 (k) −→ Q[P1 (k)]1 −→ k × −→ 0.Из результатов Суслина следует, что K−теория Милнора KnM (k) ⊗ Q совn,nпадает с группой мотивных когомологий HM(k, Q). Иными словами, у группымотивных когомологий поля веса (n, n) имеется простое описание на языке символов. Многие свойства мотивных когомологий можно доказать для K−теорииМилнора непосредственно через это явное описание. Например, в параграфе2.3.2 мы напомним доказательство следующей теоремы гомотопической инвариантности:Теорема 2.1 (Milnor). Для произвольного поля F cледующая последователь-17ность точна:⊕∂P0 −→ KnM (F ) −→ KnM (F (t)) −→MMKn−1(FP ) −→ 0.P 6=∞В этой последовательности инъективное отображение индуцировано вложением поля F в поле рациональных функций F (t), символом FP обозначены полявычетов, связанные с точками проективной прямой P1F .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
