Диссертация (Усиленный закон взаимности Суслина и смежные вопросы), страница 7

В силу того, что мы рассматриваем модули надкольцом главных идеалов, индекс [L : M ] конечен тогда и только тогда, когдаранг решетки L совпадает с рангом ее подрешетки M. Индексом решетки мыбудем называть её индекс относительно F0 .Функция B принимает значения в решетке F0 = Z2 ⊕ Z2 , мы будем обозначать соответствующие координатные функции Bx и By . С каждой вершинойсбалансированного графа мы связываем два инварианта: индекс и решетку. Основные результаты этой главы связаны с тем, какие ограничения на эти инварианты накладывают условия балансировки.Определение 3.7. Рассмотрим три ориентированных ребра e1 , e2 , e3 сбалансированного графа {Γ, B}, начинающиеся в вершине v.

Индексом m(v) вершиныv мы будем называть 2−адическое нормирование определителя, образованногоиз координат векторов B(e1 ) и B(e2 ). Иначе говоря,m(v) = ν2 (Bx (e1 )By (e2 ) − By (e1 )Bx (e2 )) .Из определения сбалансированного графа следует равенство B(e1 )+B(e2 )+B(e3 ) = (0, 0), откуда легко заключить, что данное выше определение не зависит от того, какие именно два ребра выбирать. Заметим, что индекс вершиныне обязательно конечен.Нам также понадобится более тонкий инвариант вершины, который мы назовем решеткой.Определение 3.8. Рассмотрим три ориентированных ребра e1 , e2 , e3 сбалансированного графа {Γ, B}, начинающиеся в вершине v.

Решеткой L(v) вершиныv мы назовем подрешетку F0 , порожденную векторами B(e1 ) и B(e2 ). Иначе50говоря,L(v) = hB(e1 ), B(e2 )i = Z2 B(e1 ) + Z2 B(e2 ).Так же, как и в определении индекса, решетка не зависит от того, какиеименно два ребра, смежные с вершиной v, рассматриваются КРИВАЯ ФРАЗА!!!!!. Построенная таким образом решетка будет иметь ранг 0 или 1, если индекс вершины v бесконечен, и ранг 2 в противном случае.

Можно показать, чтоиндекс m(v) совпадает с индексом решетки L(v). Для произвольного сбалансированного графа {Γ, B} будем обозначать как M {Γ, B} наименьшее значениеиндекса его вершин. Сформулируем основной результат этой главы:Теорема 3.9. У произвольного сбалансированного графа {Γ, B} число вершиннаименьшего индекса четно.Основным приложением этой теоремы является следующий частный случайгипотезы из [16].Следствие 3.10. Целочисленный сбалансированный многоугольник нельзя разрезать на нечетное число треугольников равной площади так, что бы координаты всех вершин триангуляции были целыми числами.Доказательство. Действительно, предположим противное и рассмотрим соответствующий многоугольник.

Добавив необходимое количество вырожденныхтреугольников с целочисленными координатами вершин, дополним разрезаниедо целочисленной триангуляции, согласованной с балансировкой. Построим поэтим данным сбалансированый граф. Заметим, что индекс произвольной вершины графа совпадает с увеличенным на один 2−адическим нормированиемплощади соответствующего треугольника триангуляции. Это прямо следует изопределения индекса вершины, в котором фигурирует определитель пары векторов, соответствующих сторонам треугольника. У построенного графа индексвсех вершин может принимать единственное конечное значение, так как всеневырожденные треугольники имели равную площадь.

Следовательно, число51вершин конечного индекса четно, а значит четно и количество невырожденныхтреугольников триангуляции.3.3. Доказательство теоремы 3.9Доказательство будет проводиться индукцией по наименьшему значению индекса вершины графа, то есть по параметру M {Γ, B}, который мы будем сокращенно обозначать M. В начале будет доказана база индукции M = 0. Доказательство индукционного перехода будет основано на том, что условия балансировкиостаются выполненными, если добавить фиксированный вектор к значениямфункции B на ребрах произвольного цикла. Оказывается, что можно изменитьзначения B на некоторых циклах, не изменив при этом четности числа вершининдекса M, так, что новые значения будут векторами с четными координатами.После деления всех векторов на 2, мы приходим к сбалансированному графу, ккоторому можно применить предположение индукции.Назовем вектор (ux , uy ) ∈ F0 = Z2 ⊕ Z2 примитивным, если хотя бы однаиз его координат является нечетным 2−адическим числом.

Решетка будет называться примитивной, если в ней содержится хотя бы один примитивный вектор. Таким образом, решетка не является примитивной, если координаты всехвходящих в неё векторов четны. Нетрудно показать, что решетка L являетсяпримитивной тогда и только тогда, когда ранг модуля F0 /L равен 1.Определения примитивности естественным образом переносятся на вершиныи ребра сбалансированного графа. Ребро называется примитивным, если соответствующий ему вектор примитивен, а вершина называется примитивной, еслипримитивна соответствующая ей решетка. Мы начнем со следующего простогонаблюдения:Лемма 3.11. Пусть v — произвольная вершина сбалансированного графа{Γ, B}. Тогда, либо ее индекс m(v) равен нулю и все три смежных с ней ребра примитивны, либо индекс m(v) положителен и число примитивных ребер,52смежных с вершиной v6 четно.Рассмотрим три вектора, соответствующих ребрам, смежным с вершинойv.

Доказательство леммы получается полным перебором всех их остатков помодулю 2.Следствие 3.12. (База индукции.) Если сбалансированный граф {Γ, B} имеетвершину нулевого индекса, то для него выполнено утверждение Теоремы 3.9.Доказательство. Рассмотрим подграф P графа Γ, образованный примитивными ребрами сбалансированного графа {Γ, B}.

По Лемме 3.11, все его вершиныимеют валентность 2 или 3. Нам нужно показать, что число его вершин валентности 3 четно.Обозначим число двухвалентных вершин графа P символом V2 (P), трехвалентных вершин — V3 (P), а число ребер графа P — символом E(P). Посчитаемсумму всех степеней графа P двумя способами:2V2 (P) + 3V3 (P) = 2E(P).Отсюда легко видеть, что число V3 (P) четно.Следствие 3.13. Если все вершины сбалансированного графа {Γ, B} имеютположительный индекс, то его примитивные ребра образуют набор непересекающихся циклов.Доказательство. Рассмотрим подграф P графа Γ, образованный примитивными ребрами сбалансированного графа {Γ, B}.

По Лемме 3.11, все его вершиныимеют валентность 2. Как известно, любой граф с таким свойством представляет из себя несвязное объединение циклов.Мы будем называть такие циклы примитивными. Следующие две леммыописывают структуру решеток, соответствующих вершинам примитивных циклов сбалансированного графа.53Лемма 3.14.1. Рассмотрим две произвольных решетки L1 и L2 , имеющиеобщий примитивный вектор. Тогда одна из них содержит другую.2.

Рассмотрим набор примитивных решеток L1 , ..., Ln такой, что для любых двух решеток с соседними номерами одна содержится в другой. Тогда одна из решеток Li содержит все остальные.Доказательство.1. Первое утверждение леммы легко следует из неслож-ного факта коммутативной алгебры. Рассмотрим произвольное кольцо R,модуль M и его подмодуль N . Тогда подмодули M , содержащие N , находятся в биективном соответствии с подмодулями M/N .

Это соответствиепереводит модуль S в модуль S/N и сохраняет включения.Рассмотрим кольцо Z2 , модуль F0 и его подмодуль P, порожденный общимпримитивным вектором решеток L1 и L2 . В силу примитивности вектора,модуль F0 /P является свободным модулем ранга 1 над кольцом дискретного нормирования, а значит семейство его подмодулей линейно-упорядоченопо включению. Следовательно, L1 /P ⊆ L2 /P или L2 /P ⊆ L1 /P, а значитL1 ⊆ L2 или L2 ⊆ L1 .2. Второе утверждение леммы проще всего доказать индукцией по количеству рассматриваемых решеток. База n = 1 очевидна.

Предположим, чтоутверждение верно для n−1 решетки. Предположим, что все решетки Li синдексом i ≤ n − 1 содержатся в некоторой решетке Lm . Из первого утверждения леммы следует, что Ln ⊆ Ln−1 или Ln−1 ⊆ Ln . В первом случае,Ln ⊆ Ln−1 ⊆ Lm , следовательно Lm содержит все n решеток. Во второмслучае, решетки Ln и Lm имеют общий примитивный вектор, так как ониобе содержат примитивную решетку Ln−1 .

Если Ln ⊆ Lm , то решетка Lmсодержит все решетки набора, а если Lm ⊆ Ln , то все решетки содержатсяв Ln .54Лемма 3.15. Рассмотрим сбалансированный граф {Γ, B} у которого минимальный индекс M {Γ, B} положителен и конечен.1. Каждый примитивный цикл C графа Γ содержит четное число вершининдекса M {Γ, B}.2. Рассмотрим все непримитивные ребра ei графа Γ, смежные с вершинамипримитивного цикла C. Векторы B(ei ) порождают решетку индекса,превышающего M {Γ, B}.Доказательство.

Рассмотрим две смежных вершины цикла C. Соответствующие им решетки имеют общий примитивный вектор, отвечающийсоединяющему их ребру. Следовательно, по Лемме 3.14.1, для каждыхдвух последовательных вершин цикла C решетка, отвечающая одной изних, содержит решетку, отвечающую другой. Применив Лемму 3.14.2, мызаключаем, что одна из решеток, отвечающих вершинам цикла C, содержит все остальные. Обозначим эту решетку символом M.

Если индексэтой решетки меньше двух, то оба утверждения очевидны. Предположим,что он в точности равен двум. В этом случае решетка M имеет в точноститри подрешетки индекса 1, а именно, три ядра ненулевых гомоморфизмовиз M в абелеву группу порядка 2. Предположим, что M порождена над Zпримитивными векторами p1 и p2 . Эти решетки легко задать порождающими их векторами: M+ = hp1 , 2p2 i, M− = h2p1 , p2 i и M0 = hp1 + p2 , 2p2 i.Из этого очевидно, что M+ и M− являются примитивными, а M0 — нет.Далее, каждый примитивный вектор решетки M содержится либо в M+ ,либо в M− .

Если бы какой-то вектор принадлежал и той, и той решетке,то мы бы получили противоречие с Леммой 3.14.1. Наконец, решетка M0состоит в точности из всех непримитивных векторов M.Пометим ребро цикла C знаком +, если соответствующий примитивныйвектор принадлежит решетке M+ , и знаком −, если он принадлежит M− .55Решетка L(v), отвечающая вершине цикла v, совпадает с M тогда и толькотогда, когда смежные с ней ребра помечены разными символами. Действительно, L(v) не совпадает с M тогда и только тогда, когда L(v) содержитсяв M+ или M− , что равносильно совпаданию знаков смежных с v ребер.Первое утверждение леммы следует из того, что число перемен знака вцикле всегда четно.