Диссертация (Усиленный закон взаимности Суслина и смежные вопросы), страница 6

Вначале докажем следующуюлемму:Лемма 2.12. Отображение3Vgrd F (t)×grd [B2 (F (t)) ⊗a F (t)× ]−→δ:Im(⊕h2P )Im(⊕h1P )является изоморфизмом.Доказательство. Построим обратное отображениеδ−13V:grd F (t)×grd [B2 (F (t)) ⊗a F (t)× ]−→.Im(⊕h1P )Im(⊕h2P )3Vgrd F (t)×порождена элементами вида g1 ∧ g2 ∧ g3 и g1 ∧ g2 ∧ f, гдеГруппаIm(⊕h1P )gi - неприводимые многочлены степени d, а f - неприводимый многочлен, степень которого не превышает d − 1. Единственный тип соотношений, которымудовлетворяют эти элементы, — их антисимметричность по gi . Положим−1δ (g1 ∧ g2 ∧ f ) = −g1δ (g1 ∧ g2 ∧ g3 ) = −g2−1⊗ g3 +2g1g3g1g2∧ f,2⊗ (g2 − g1 ) −2g2g3⊗ (g2 − g1 ).2Чтобы увидеть, что это отображение корректно, покажем, что−1−1δ (g1 ∧ g2 ∧ g3 ) + δ (g1 ∧ g3 ∧ g2 )лежит в Im(⊕h2P ). Действительно, в соответствии с пятичленным соотношением,g1g2−2g1g3+2g2g3−2g1 − g2g1 − g3+2g3 (g2 − g1 )g2 (g3 − g1 )= 0.243g3 (g2 − g1 )и применяя соотношенияg2 (g3 − g1 )Умножив это равенство наg1g3g3 (g2 − g1 )g2 (g3 − g1 )g3 (g2 − g1 )⊗=g(g−g)2312g3 − g1⊗=g32g2g3g2⊗=g32g1g2⊗2g1 − g2g1 − g3g2 − g1= 0,g2⊗2g1 − g2= 0,g1 − g3получим−1−1δ (g1 ∧ g2 ∧ g3 ) + δ (g1 ∧ g3 ∧ g2 ) =g1 − g2g1 − g3⊗2g3.g2−1Чтобы завершить доказательство корректности отображения δ , покажем, чтодля любого неприводимого многочлена g степени d и многочленов f1 , f2 меньшейf1степени выражение⊗ g лежит в группе Im(⊕h2P ).

Действительно, пустьf2 2f1r(t) — это многочлен, степень которого меньше d, сравнимый спо модулю g.f2Тогда,f1f2⊗ g = {r}2 ⊗ g −2rf2f1⊗g+2r(f1 − f2 )f1 (r − 1)⊗g−2f2 − f1f2 (1 − r)⊗ g.2Элемент {r}2 ⊗ g лежит в образе ⊕h2P . Все остальные элементы, стоящие вправой части, выражаются через элементы вида xg ⊗ g, поэтому тоже лежатв образеh2P . Чтобы это увидеть, заметим,что при отображении δ элементы rf2r(f1 − f2 )f2 − f1,,попадают в группу Ld−1 ∧ P + L2d−1 . То,f1 2f1 (r − 1) 2 f2 (1 − r) 2что все такие элементы выражаются через xg , следует из доказательства Леммы3.14.То, что композиция δ ◦ δность композиции δ−1−1тождественна, очевидно. Проверим тождествен-◦ δ. В силу Леммы 3.14, группа grd [B2 (F (t)) ⊗a F (t)× ]порождена элементами видаg1g2g1⊗g3 ,g22⊗f, {xg1 (r1 , r2 )}2 ⊗g2 , {xg (r1 , r2 )}2 ⊗f,2f1f2⊗g, {xf (r1 , r2 )}2 ⊗g,244где gi — неприводимые многочлены степени d, fi — многочлены, степень которых не превышаетd− 1,а ri — остатки по соответствующему модулю.

Наg1g1−1⊗ g3 и⊗ f композиция δ ◦ δ тождественна. Как былоэлементахg2 2g2 2 f1показано выше, элементы {xg (r1 , r2 )}2 ⊗ f и⊗ g лежат в Im(⊕h2P ), поf2 2этому для них ничего проверять не надо. Случай элементов {xf (r1 , r2 )}2 ⊗ g неотличается от уже разобранных.Докажем, что элементы вида{xg(r1 , r2 )}2 ⊗ g2 по модулю образа отобра1g1жения ⊕h2P попадают в группу⊗ Ld−1 . Обозначим символом r вычетg2 2xg1 (r1 , r2 ) по модулю g2 . Тогда{xg1 (r1 , r2 )}2 ⊗ g2 = {xg1 (r1 , r2 )}2 ⊗ g1 + {r}2 ⊗rxg1 (r1 , r2 )g2⊗ +g12r(xg1 (r1 , r2 ) − 1)xg1 (r1 , r2 )(r − 1)g2⊗ −g12g2−g11 − xg1 (r1 , r2 )1−r⊗2g2.g1Всепять элементов, стоящих в правой части равенства, принадлежатгруппеg11 − xg1 (r1 , r2 )g2⊗ Ld−1 + Im(⊕h2P ). Разберем, например, случай⊗ .g2 21−rg12Пусть r1 · r2 = q1 · g1 + rg1 r2 , r1 · r2 = q2 · g2 + rg1 r2 · r.

Тогда1 − xg1 (r1 , r2 )1−rg2⊗=g12q 2 g2q 1 g1g2⊗=−g12q2 g2q 1 g1⊗2q2.q1 q2 g2g2Из доказательства Леммы 3.14 следует, что−выражается черезqgg11122 1 − xg1 (r1 , r2 )g2g1элементы вида xg1 и xg2 , а значит⊗ лежит в группе⊗1−rg2 22 g1Ld−1 + Im(⊕h2P ).Проверим, что отображение h2P сюръективно. Действительно, рассмотримпроизвольный элемент X ∈ ⊕Ker(δP ). По Лемме 2.12, существует элементY ∈ grd [B2 (F (t)) ⊗a F (t)× ] , такой что X = ⊕hP (Y ). Остается заметить, чтоβP (Y ) = 0, так как h1P инъективно. Это завершает доказательство Теоремы 2.4.45Глава 3Разрезания многоугольниковна треугольники равнойплощади3.1.

Сбалансированные многоугольникиПод многоугольником на плоскости мы понимаем некоторую область, ограниченную набором непересекающихся друг с другом замкнутых ломаных вместес множеством точек на ломаных, содержащим все точки излома. Это множество точек мы будем называть вершинами многоугольника, а отрезки междусоседними вершинами — сторонами.Начнем с того, что опишем некоторый класс многоугольников, которые мыбудем называть сбалансированными. У произвольного многоугольника с каждойстороной можно связать соответствующий вектор на плоскости, выбрав определенным образом ориентацию каждой компоненты границы многоугольника.При изменении ориентации границы все векторы сторон заменяются на противоположные.Определение 3.1.

Назовем многоугольник сбалансированным, если его сторо-46ны можно разбить на пары таким образом, что бы в каждой паре соответствующие векторы были противоположны друг другу.Заметим, что свойство сбалансированности не зависит от выбранной ориентации границы и является инвариантным относительно аффинных преобразований плоскости.Пример 3.2. Произвольный центрально-симметричный многоугольник является сбалансированным.Определение 3.3. Назовем многоугольник целочисленным, если координатывсех его вершин целочисленны в некоторой аффинной системе координат наплоскости.Пример 3.4.

Будем называть многоугольник полиомино, если он является объединением некоторого количества единичных квадратов некоторой целочисленной решетки на плоскости. Легко видеть, что полиомино является примером ицелочисленного, и сбалансированного многоугольника.Нас будут интересовать триангуляции многоугольников в смысле комбинаторной топологии, соответственно мы допускаем вырожденные треугольники,все вершины которых лежат на одной прямой.Определение 3.5. Будем называть триангуляцию многоугольника целочисленной, если все вершины входящих в неё треугольников имеют целые координаты.Будем называть триангуляцию многоугольника, из которой выброшены всевырожденные треугольники, разрезанием многоугольника.3.2.

Сбалансированные графыЗадача о разрезании сбалансированного многоугольника на треугольники равной площади естественно приводит к изучению объектов, которые мы будем47называть сбалансированными графами. Сбалансированный граф — это пара,состоящая из трехвалентного графа Γ и некоторой функции B, определеннойна множестве ребер Γ и удовлетворяющей условиям, напоминающим уравнения замкнутости симплициального 1−цикла.

Функция B принимает значенияв фиксированном свободном модуле ранга 2 над кольцом целых 2-адическихчисел. Мы начнем с формального определения сбалансированного графа, а затем опишем, как строить эти объекты по сбалансированным многоугольникам,разрезанным на треугольники.Все графы, которые мы рассматриваем, не будут иметь петель и кратныхребер. Граф, все вершины которого имеют степень 3, мы будем называть трехвалентным.

В некоторых случаях нам будет удобно думать о ребре e графакак о паре ориентированных ребер e+ и e− , направленных в противоположныестороны. В частности, мы будем говорить, что функция B определена на ориентированных ребрах трехвалентного графа, имея в виду, что на каждом ребреe она принимает два значения, которые мы будем обозначать B(e+ ) и B(e− ).Определение 3.6.

Сбалансированным графом {Γ, B} мы будем называть пару,состоящую из трехвалентного графа Γ и функции B, сопоставляющей каждомуориентированному ребру Γ пару целых 2−адических чисел и удовлетворяющуюследующим свойствам, которые мы будем называть условиями балансировки:• Для каждой пары ориентированных ребер e+ и e− , отвечающих одному итому же неориентированному ребру e, выполнено следующее равенство:B(e+ ) + B(e− ) = (0, 0).• Для каждой тройки ориентированных ребер e1 , e2 , e3 , начинающихся водной и той же вершине графа, выполнено следующее равенство:B(e1 ) + B(e2 ) + B(e3 ) = (0, 0).48Рассмотрим целочисленный сбалансированный многоугольник на плоскостии некоторую его целочисленную триангуляцию, согласованную с балансировкой.Оказывается, по этим данным можно построить сбалансированный граф.

Дляэтого рассмотрим двойственный граф триангуляции, вершины которого имеютвалентность два и три. Вершины валентности два взаимно однозначно соответствуют треугольникам, примыкающим к границе сбалансированного многоугольника. Из условия согласованности триангуляции с балансировкой следует,что этот граф можно однозначно дополнить до трехвалентного, соединив между собой вершины валентности два, отвечающие противоположным сторонамсбалансированного многоугольника.

Далее, каждому ориентированному ребрудвойственного графа можно сопоставить пару координат целочисленного вектора общей стороны соответствующих треугольников триангуляции. Полученнаяфункция, определенная на множестве ориентированных ребер трехвалентногографа, будет удовлетворять условиям балансировки, так как сумма векторовсторон треугольника на плоскости равна нулю. Остается рассмотреть её значения как пары целых 2−адических чисел, воспользовавшись естественным вложением Z ⊂ Z2 .Для дальнейшего нам будет полезно сделать обзор некоторых простых фактов из теории модулей над кольцами главных идеалов.

Для простоты мы будемих формулировать сразу для кольца целых 2−адических чисел Z2 . Как известно, Z2 является кольцом дискретного нормирования, содержащим кольцо целыхчисел Z. Мы будем обозначать 2−адическое нормирование числа λ ∈ Z2 символом ν2 (λ). На целом числе n ∈ Z ⊂ Z2 оно определяется как наибольшеенеотрицательное целое число k, такое что n делится на 2k . Будем называть2−адическое число λ четным, если ν2 (λ) > 0, и нечетным, если ν2 (λ) = 0.Далее, фиксируем свободный модуль ранга два F0 = Z2 ⊕ Z2 с базисом (0, 1)и (1, 0). Мы будем называть решетками Z2 −подмодули свободного модуля F0 .Иначе говоря, решетка — это пара из модуля над кольцом Z2 и вложения этогомодуля в фиксированный свободный модуль F0 ранга 2.49Так как кольцо 2−адических чисел Z2 является кольцом главных идеалов,все решетки являются свободными модулями ранга, не превосходящего двух.Для решетки L и её подрешетки M мы будем называть индексом [L : M ] порядок фактор-модуля L/M.