Диссертация (Задача Монжа-Канторовича с линейными ограничениями), страница 9

Тогда в обозначениях, введенных выше, верно равенство (3.1),где˜ — ограничение на , ˜ — ограничение наℬ .Для доказательства рассмотрим эргодическое разложение оптимальногоинвариантного транспортного плана. Как нетрудно проверить, это разложениебудет состоять из эргодических транспортных планов с эргодическими марги­налами. Нужно показать, что почти все транспортные планы в разложенииоптимальны. Если это не так, то мы могли бы заменить неоптимальные компо­ненты на оптимальные, получив противоречие. Однако здесь есть техническаясложность: осуществляя такую замену, нужно следить, чтобы семейство плановв разложении оставалось измеримо зависящим от своих маргиналов.

Подробнееэтот вопрос обсуждается впараграфе 3.3 в более общем контексте.Dom ⊆ () — симплекс, допускающий разложение задачи Кан­торовича. Для удобства положим := (Dom) ⊆ Dom. Предположим, что¯: × → R≥0 определена на , причем ¯ метризуетфункция расстояния топологию на . Если мы зафиксируем некоторое число ∈ [1,∞), то сможем¯ до функции расстояния ˆ на Dom, используя формулупродолжить Пустьˆ (,) := inf{︁(︂∫︁¯ (1 , 2 )˜)︂ 1:}︁˜ ∈ ( × ), Pr1 (˜) = ˜, Pr2 (˜ ) = ˜ ,(3.2)( × ) — множество всех борелевских вероятностных распределений на × , Pr — оператор, сопоставляющий распределению из ( × ) ее -ймаргинал, bar(˜) = , bar(˜) = .где56Напомним определение инвариантной метрики Канторовича (подробнеесм.

параграф 2.4). (,):= inf{︂(︁∫︁)︂ 1 (, ):}︁ ∈ ( × ), Pr1 () = , Pr2 () = .Вопрос 3.2. ∈ [1, + ∞)(3.3)Dom задана метрикаКанторовича . Возможно ли задать метрику ¯ на = Dom такимобразом, чтобы ее продолжение ˆ на Dom совпадало с ?Пусть для некоторогонаОтвет на этот вопрос положителен. Обозначим через -расстоянияErg() := (Dom), то естьинвариантного(¯ ) ( , ):= inf{︁∫︁¯ограничениеКанторовича (задаваемого формулой (2.7)) на ( , ) :}︁ ∈ ( × ), Pr1 () = , Pr2 () = .(3.4)Тогда равенство (,) = ˆ (,), ∈ Dom. Здесь ˆ является продолжением ¯ (3.4) с множества := (Dom) на Dom, определяемым формулой (3.2).верно для всехЭтот факт является частным случаем следствия 3.43. Ясно, что он такжетесно связан с утверждением о разложении задачи Канторовича.

Обозначимчерез( (), ())пространство инвариантных вероятностных распределе­ний на метрическом компакте(,),снабженное инвариантной -метрикойКанторовича. Так как (Dom) ⊆ Dom = (), () на подмножества Dom и (Dom) и получитьпространства (Dom, ()) и ( (Dom), ()) соответственно.мы можем ограничитьметрическиеПо определению симплексаDom ≃ ( (Dom)),57где“ ≃”означает -метрикугомеоморфизм.Канторовича наСледовательно,( (Dom)),используямыможемпостроить( (Dom), ())как ис­ходную метрическую структуру. Обозначим полученное метрическое простран­ство через(( (Dom)), ( ())).В силу результата о разложении,(( (Dom)), ( ())) = (Dom, ()),где “ =” означает изометрический изоморфизм. Будем называть результаты та­кого типа разложением метрики Канторовича.Мы докажем результат о разложении задачи и метрики Канторовича в до­статочно общей формулировке, так что все описанные выше примеры окажут­ся его частными случаями.

Мы также не будем предполагать компактностьпространства, на котором задаются вероятностные распределения. Основныерезультаты этой главы — теоремы 3.42 и 3.43. Первая из них описывает резуль­тат о разложении задачи Канторовича, а вторая — о разложении обобщенныхметрик Канторовича на симплексах. Параграф 3.1 содержит все необходимыеопределения и результаты из теории симплексов, достаточных статистик и эр­годических разложений (см. [38] и [46]).В параграфе 3.2 мы определяем задачу Канторовича с дополнительнымилинейными ограничениями. Там же приведены определения «хороших» в томили ином смысле ограничений: слабо регулярных, эргодически разложимых,внутренне согласованных и метрических.

В дальнейшем при формулировкерезультатов мы будем ограничивать их общность каким-либо из этих классов.Для доказательства основной теоремы о декомпозиции нам понадобитсярезультат о возможности измеримого (относительно маргиналов) выбора опти­мального плана. Известно, что такой измеримый выбор существует в классиче­ской задаче Канторовича (см. [59], следствие 5.22), но при добавлении дополни­тельных ограничений аналогичное рассуждение не работает. В параграфе 3.3мы приведем новое доказательство этого результата, применимое к задаче сограничениями. Оно будет базироваться на уже известных результатах о су­ществовании измеримого выбора оптимальных решений вариационных задач(в частности, на утверждениях, сформулированных в [57]).

Мы покажем, чтоизмеримый выбор существует, если дополнительное ограничение в задаче Кан­торовича является слабо регулярным.58В параграфе3.4мы формулируем и доказываем основную теорему о су­ществовании разложения задачи Канторовича в случае, если дополнительноеограничение является эргодически разложимым, слабо регулярным и внутреннесогласованным. В3.5доказывается результат о разложении обобщенных мет­рик Канторовича в случае, если дополнительное ограничение в соответствую­щей задаче Канторовича является также метрическим.Вопрос о продолжении метрики Канторовича с крайних точек симплексанедавно уже рассматривался в [4]. Однако предложенные подходы и контекст,в котором рассматривается задача, в нашей и цитируемой работах довольносильно различаются.3.1Симплексы распределений и дезинтегрированиеВ этом параграфе мы кратко обсудим необходимые в дальнейшем опреде­ления и результаты из теории симплексов, эргодических разложений и дезинте­грирования вероятностных распределений.

Стандартным способом определятьбесконечномерный симплекс является подход Шоке.Определение 3.3. Точка ∈ называется крайней, = · + (1 − ) · привыпуклого компакта, ∈ таких, чтоимеем = . Компактноеесли для всяких двух точек ∈ (0,1), мывыпуклое метризуемоемножество называется симплексом Шоке, если для каждого элемента ∈ существует единственная борелевская мера на такая, что– ( ()) = 1, где () — подмножество, состоящее из всех крайнихточек ,∫︀– = bar( ) := .некоторомОднако такой подход к понятию симплекса имеет два существенных огра­ничения:–во-первых, все симплексы Шоке предполагаются по определению ком­пактными: это удобно во многих случаях, но, как известно, простран­ства мер, снабженные метрикой Канторовича, компактны далеко не все­гда;59–второй, и, возможно, более важный минус теории Шоке: она не свя­зывает явным образом представление элемента симплекса как смесиего крайних точек с эргодическим разложением соответствующей это­му элементу меры.Подход, предложенный Дынкиным в [38] и развитый в [46], лишен этихнедостатков.

Понятие симплекса, предложенное Дынкиным, является обобще­нием определения Шоке. Оно не требует наличия топологической структуры иформулируется исключительно в терминах теории меры. О новых результатахо симплексах Дынкина можно прочесть в [4].Для специального подкласса симплексов Дынкина (названных в [46] эрго-дически разложимыми ) известен результат, связывающий представление мерыв виде смеси крайних точек с ее дезинтегрированием относительно некоторойсоответствующей симплексу подалгебры. Условные меры при этом дезинтегри­ровании соответствуют крайним точкам симплекса.(,) множество всех -измеримых ограниченных ве­функций на .Обозначим черезщественнозначныхОпределение 3.4.Пусть(,) — измеримоепространство, ⊆ () —.

Наименьшая -алгебра на , такая, что для всяких ∈ (,), ∈ отображение → ( ) измеримо, называется стандартной -алгеброй.подмножество множества вероятностных распределений наОпределение 3.5.(,) — измеримое пространство, ⊆ () —подмножество, снабженное стандартной -алгеброй. Определим барицентрbar : ( ) → по формулеПусть∫︁ (︂∫︁)︂ ˜(), ∀ ∈ (,).bar(˜)( ) =ℬ – стандартная -алгебра. Границей (, ℬ) назовем множество ( ) ⊂ таких точек , что для любого вероятностного распределения ∈ ( ) свойство bar( ) = влечет ({}) = 1. Измеримое множе­ство (, ℬ) называется симплексом Дынкина, если его граница ( ) изме­рима, причем для каждого ∈ существует единственное вероятностноераспределение ˜ ∈ ( ) с bar(˜) = и ˜( ( )) = 1.ПустьПример 3.6. Если := (), то это симплекс Дынкина, и ( ) состоитиз всевозможных мер Дирака.60Пример 3.7.(,) — измеримое пространство, G — аменабельнаягруппа, действующая на измеримыми автоморфизмами, G () — множе­ство всех инвариантных вероятностных распределений.

Если := G (), аℬ — стандартная -алгебра, то (,ℬ) — симплекс Дынкина, а его граница со­Пустьстоит из всевозможных эргодических вероятностных распределений. Так каклюбой симплекс Шоке аффинно изоморфенго метризуемогоG ()для некоторого компактно­и некоторого непрерывного действия группыZ(см.