Диссертация (Задача Монжа-Канторовича с линейными ограничениями), страница 13

(,) ∈ × . Здесь ˜ — ограничение меры с ⊗ ℬ на ( ⊗ ℬ)0 .ПустьВ следующей лемме используется свойство эргодической разложимости ивнутренней согласованности линейного ограничения.Лемма 3.40. ∈ Π (,)(, ) ∈ Θ(,,).В предположениях, сделанных выше, для каждогосуществует такое марковское переходное ядро ,что78 ∈ Π(,) определим меру ˜ как ограни­0чение на ( ⊗ ℬ) . Ее маргиналы, Pr (˜ ) и Pr (˜ ), будут являться ограниче­00ниями мер и на подалгебры и ℬ соответственно.

Значит, из включения ∈ Π(,) следует, что ˜ ∈ Π̃(˜,˜ ) (см. определение 3.38).Положим := , где — марковское ядро из свойства эргодическойразложимости ограничения . Из этого свойства следует, что (˜ ) = , и что(,)(,) ∈ ( × ). Более того, Pr( ) = ((),()) для ˜ -п.в. (,).(,)Проверим, что почти всюду относительно ˜ имеем () = 0 для каж­дой функции ∈ Ω. Используем тот факт, что∫︁ℎ(,)= E (ℎ|( ⊗ ℬ)0 ) -п.в. ∀ℎ ∈ ( × , ⊗ ℬ).(3.13)Доказательство. Для каждой мерыИз определения условного математического ожидания и внутренней согласован­ности ограничения∫︁ (︂∫︁получаем:)︂(,)˜=∫︁ = 0, ∀ ∈ ( ⊗ ℬ)0 .∫︀(,)˜ -п.в. (,).(,)Как мы только что показали, ∈ Π ((),()) для ˜ -п.в.

(,). Так(,)0как отображение (,) → является ( ⊗ ℬ) -измеримым, то — марков­0ское переходное ядро из ( × , ⊗ ℬ) в ( × ,( ⊗ ℬ) ). Из равенства (3.13)Следовательно,=0дляследует, что∫︁∫︁ ( )˜=поэтому(, ) ∈ Θ(,,), , ∀ ∈ ( × , ⊗ ℬ),что завершает доказательство. : × → R — такая измеримая функция, что функционал∫︀ : ( × ) → R ∪ {+∞}, определенный как () = , оказы­Пустьвается полунепрерывным снизу относительно топологии слабой сходимости.Лемма 3.41. При предположениях, сделанных выше, существует марковское0переходное ядро из ( × , ⊗ ℬ) в ( × , ( ⊗ ℬ) ) такое, что{︀∫︀}︀∫︀(,)1.

= inf : ∈ Π ((), ()) ∀(,) ∈ × ,∫︀∫︀(, ) ∈ Θ(,,), (˜ ) ≤ (˜ ), где ˜—0меры с ⊗ ℬ на ( ⊗ ℬ) ,2. для каждой парыограничение793. для каждой мерыничениесна˜ ∈ Π̃(˜, ˜), ( (˜ ), ) ∈ Θ(,,),0 , ˜ — ограничение с ℬ на ℬ 0 .где˜ — огра­Доказательство. Согласно предложению 3.37, существует измеримое отобра­жение : × → Π ( × ) такое, что Pr( (,)) = (,). Пусть(,) := ((),()). Так как → () и → () являются измеримыми00отображениями относительно алгебр и ℬ соответственно, то в дей­( × , ⊗ ℬ) в( ⊗ ℬ)0 . Из опреде­ствительности является марковским переходным ядром из( × , 0 ⊗ ℬ 0 ),и, следовательно, переходным ядром вления следует, что∫︁Пусть(,){︂∫︁= inf(, ) ∈ Θ(,,).(,)∫︀∫︀ (︁∫︀(,) (˜ ) :=∫︀(,)(,)˜ -п.в.,≥ Тогда∫︀}︂ : ∈ Π ((), ()) .)︁˜ .

Так как∫︀ (˜) ≥то∈ Π ((), ()) ˜ -п.в.,∫︀ (˜ ).Пусть ˜ ∈ Π̃(˜, ˜), где ˜, ˜ — ограничения мер ∈ , ∈ на 0 ,ℬ 0 соответственно. По определению марковского переходного ядра, (˜) ∈(,)( × ). Проверим, что (˜ ) ∈ Π (,). Так как ∈ Π ((), ())для каждой пары (,) ∈ × , то можно показать, что Pr( (˜ )) = (,).Приведем рассуждение для первого маргинала:∫︁ ∫︁(,),˜ )˜ (,) (˜) (˜∫︁ ∫︁ (˜) (˜)˜ (,) =∫︁ ∫︁∫︁= (˜) (˜)˜() = (), ∀ ∈ (,),=где последнее равенство следует из факта, чтодля(, 0 , ).(3.14)является разложениемАналогично можно провести рассуждение для второго мар­∫︀(,) = 0 для всех (,) влечет равенство∫︀ ∫︀(,) ˜ = 0.

Поэтому (˜ ) ∈ Π (,), следовательно, существует ме­ра ∈ Π (,) такая, что = (˜ ) ∈ Π (,).гинала. Ясно, что равенствоСформулируем и докажем основной результат.Теорема 3.42 (Основная теорема главы). Пусть (, ), (, ℬ) — два польскихпространства с борелевскими -алгебрами, : × → R — такая измеримая80функция, что функционал∫︀() = , : ( × ) → R ∪ {+∞},определяемый какоказывается полунепрерывным снизу относительно тополо­, гии слабой сходимости,— два эргодически разложимых симплекса,0 ⊆ , ℬ 0 ⊆ ℬ — соответствующиеим -подалгебры, = (Ω, , ) —слабо регулярное, эргодически разложимое и внутренне согласованное отно­сительнолинейное ограничение, где -алгебра.эргодически разложимый симплекс,марковское ядро и{︂∫︁ -достаточная ⊆ ( × ) — соответствующий0и (⊗ℬ) ⊆ ⊗ℬ — связанные с нимТогда}︂{︂∫︁}︂ : ∈ Π (, ) = inf ()˜: ˜ ∈ Π̃(˜,˜) ={︂∫︁{︂∫︁}︂}︂= infinf : ∈ Π ((), ()) ˜: ˜ ∈ Π̃(˜,˜) .inf(3.15)Доказательство.

ПустьΘ (, , ) := {( (˜ ), ) : ˜ ∈ Π̃(˜, ˜)},гдеопределено, как в лемме 3.41. По этой леммеΘ (, , ) ⊆ Θ(, , ),следовательно,{︂∫︁inf}︂{︂∫︁}︂ ()˜ : (, ) ∈ Θ(,, ) ≤ inf ()˜: ˜ ∈ Π̃(˜,˜) .Согласно лемме 3.40{︂∫︁inf}︂{︂∫︁}︂ : ∈ Π (, ) = inf ()˜ : (, ) ∈ Θ(,, ) .По лемме 3.41 имеем∫︀ (˜) ≤∫︀ (˜)для всех(, ) ∈ Θ(,, ).Значит,{︂∫︁inf}︂{︂∫︁}︂ ()˜ : (, ) ∈ Θ(,, ) ≥ inf ()˜: ˜ ∈ Π̃(˜,˜) .Теперь можно заключить, что{︂∫︁inf}︂{︂∫︁}︂ : ∈ Π (, ) = inf ()˜: ˜ ∈ Π̃(˜,˜) .81Равенство{︂∫︁inf}︂ : ∈ Π (, ) ={︂∫︁}︂{︁∫︁}︁= infinf : ∈ Π ((), ()) ˜: ˜ ∈ Π̃(˜,˜)следует из явной формы3.5 ,описанной в лемме 3.41.Эргодическое разложение инвариантных метрик КанторовичаВ этом параграфе мы опишем приложение результата о разложении зада­чи Канторовича (теорема 3.42) к обобщенным метрикам Канторовича.Зафиксируем некоторую функцию расстояниячески разложимый симплексDom ⊆ ().и эргоди­Напомним, что под обобщеннойметрикой Канторовича мы имеем ввиду функцию ∈ [1,∞).[0, +∞]-значной: × → R : Dom ×Dom → [0,∞]из определения 3.11,Для каждой Domфункции расстоянияэкстремальных точек множествафункции расстояния на всемˆ (,) := infDom¯на подмножествеопределим ее продолжение доDom :{︃(︂∫︁¯ (, ) :)︂ 1}︃ ∈ Π(˜,˜) ,(3.16)˜, ˜ ∈ ( Dom ), Π(˜,˜ ) := { ∈ ( Dom × Dom ) : Pr1 () =˜, Pr2 () = ˜}, bar(˜) = , bar(˜) = .гдеТеорема 3.43(Разложение модифицированного расстояния Канторовича).(,) — метрическое польское пространство с борелевской -алгеброй, Dom ⊆ () — замкнутый эргодически-разложимый симплекс с соот­0ветствующим ему марковским ядром , таким, что { } = Dom , —соответствующая -достаточная -подалгебра, = (Ω, Dom , Dom ) —Пустьметрическое, эргодически разложимое и внутренне согласованное относи­тельно ⊆ ( × ) — соответствующий и ( ⊗ ℬ)0 ⊆ ⊗ ℬ — связанные слинейное ограничение, гдеэргодически разложимый симплекс,82 -достаточная -алгебра.

Тогда для ¯ := | Domмножество Dom ) верно равенствоним марковское ядро и(ограниченияна (,) = ˆ (,) ∀, ∈ Dom ,гдеˆзадано формулой (3.16). Более того,стояния на — [0, +∞]-значная функция рас­Dom .Доказательство. Из того, что = (Ω, Dom , Dom )является метрическим — ограничен­∫︀ ная снизу и полунепрерывная снизу функция на × . Поэтому → —полунепрерывный снизу функционал на ( × ) (относительно топологииограничением, следует, что оно слабо регулярно.

Известно, чтослабой сходимости). Так как все условия теоремы 3.42 выполнены, получаемinf{︁∫︁Здесь}︁ : ∈ Π (, ) ={︁∫︁{︁∫︁}︁}︁= infinf : ∈ Π ((), ()) ˜: ˜ ∈ Π̃(˜,˜) .Π̃(˜,˜)как в определении 3.38. Так как отображение{︂∫︁(,) →}︂ : ∈ Π ((), ())0 ⊗ ℬ 0 , и 0 ⊗ ℬ 0 ⊆ ( ⊗ ℬ)0 , то верно,Π(˜,˜ ) не повлияет на значение инфимума:измеримо относительномножества{︂∫︁infΠ̃(˜,˜)на(3.17)что замена}︂ : ∈ Π (, ) ={︂∫︁{︂∫︁}︂}︂infinf : ∈ Π ((), ()) ˜: ˜ ∈ Π(˜,˜) .Из определений метрикˆ , и установленного факта об эквивалентности -алгебр на пространстве мер (предложение 3.15), полученное равенство равно­ˆ .

Из предложения 3.28 следует, что (,) являетсясильно равенству = [0, +∞]-значной функцией расстояния на Dom .Можно заметить, что пример разложения, описанный в начале главы, яв­ляется частным случаем доказанного утверждения.83Глава 4. Инвариантная задача Монжа—Канторовича набесконечномерных пространствахДанная глава диссертации посвящена инвариантной задаче Монжа—Кан­торовича на пространствах видапространство, а N — прямое N,где — некотороепольское метрическоетопологическое произведение счетного числа егокопий.

Результаты этой главы можно рассматривать как приложение теории,развитой в первых трех главах. Основные результаты этой главы опубликованыв совместной работе диссертанта и его научного руководителя [49].Пусть— польское пространство,действует непрерывно на , , —инвариантные борелевские вероятностные меры. Напомним, что измеримоеотображение : →называется инвариантным относительно,если ∘ = ∘ , ∀ ∈ .# = . Обозначим множе­ство всех инвариантных транспортных отображений через Trans (,). Напом­Отображениеназывается транспортным, еслиним, что инвариантная задача Монжа формулируется следующим образом:∫︁(, ()) → inf , ∈ Trans (,),где : × → R — некотораяизмеримая функция стоимости.Важность инвариантной задачи Монжа можно продемонстрировать наклассическом конечномерном примере. Пусть1 (,) := |1 − 1 |2 , , — вероятностные = R , (,) := || − ||2 ,меры, инвариантные относительноперестановок координат. Тогда классическая задача Монжа c функцией стои­мостиэквивалентна инвариантной задаче Монжа с функцией стоимости1(см.