Диссертация (Задача Монжа-Канторовича с линейными ограничениями), страница 11

Свойствомтакой полунепрерывности обладают, например, функционалы интегрированияполунепрерывной и ограниченной снизу функции. Есликая функция, то() :=∫︀ — полунепрерывный : × → R — та­снизу функционал стоимо­сти. Однако не все полунепрерывные снизу функционалы представимы в та­ком виде. Например, в [5], [6] описан более широкий класс почти-непрерывныхфункций. Интегрирование с ограниченными снизу функциями из такого классатакже будет задавать полунепрерывный снизу функционал.Зафиксируем некоторый функционал стоимостии сформулируем опре­деления соответствующих множеств оптимальных планов:Π ( × ) := { ∈ ( × ) : () ≤ (), ∀ ∈ Π(Pr())},Π (,) := { ∈ Π(,) ∩ Π ( × )}.В этом параграфе мы подойдем к определению понятия линейного ограниченияс несколько более формальной точки зрения.Определение 3.18. Для пары измеримых пространств (,), (,ℬ) назовем = (Ω, , ), состоящую из подмноже­0ства множества измеримых функций Ω ⊆ ( × , ⊗ ℬ) и двух непустыхподмножеств вероятностных распределений ⊆ (), ⊆ ( ).линейным ограничением тройкуОпределим ограниченные множества транспортных планов следующимобразом:{︁Π ( × ) := ∈ ( × ) :∫︁}︁ = 0 ∀ ∈ Ω, PrX () ∈ , PrY () ∈ ,{︁}︁Π (,) := ∈ Π ( × ) : Pr () = , Pr () = .(3.7)(3.8)671 , 2 называются эквивалентными, если выполне­но равенство Π1 ( × ) = Π2 ( × ).Всюду в этом параграфе мы будем предполагать, что (,), (,ℬ) — парапольских пространств с борелевскими -алгебрами.Два линейных ограниченияСформулируем свойство линейного ограничения, которое понадобитсянам в следующем параграфе при исследовании возможности измеримого вы­бора.Определение 3.19.Назовем линейное ограничение = (Ω, , )слаборегулярным, если1., замкнуты в топологии слабой сходимости,∫︀ → слабо непрерывен на Π( , )функции ∈ Ω,множество Π (,) непусто для всех ∈ , ∈ .2.

функционал3.Предложение 3.20.для всякой = (Ω, , ) — слабо регулярное линейноеограничение. Тогда Π ( × ) замкнуто, а Π (,) компактно для всякойпары вероятностных распределений (, ) ∈ × . Оба пространстваΠ ( × ) и Π (,) являются польскими.ПустьДоказательство. Следует из стандартного факта, что множествоΠ(, )ком­пактно в топологии слабой сходимости (см. [1]).Приведем (очевидное) условие для линейного ограничения, достаточноедля его слабой регулярности.Замечание 3.21.замкнуты и непусты,тоΩ ⊆ ( × ), ⊆ () и ⊆ ( ) слабоа ⊗ ∈ Π (, ) для каждой пары ∈ , ∈ ,Если = (Ω, , ) — слаборегулярное ограничение.Зафиксируем, помимо ограничения.,некоторый функционал стоимостиОпределим ограниченные множества оптимальных транспортных планов:Π ({︁}︁× ) := ∈ Π ( × ) : () ≤ () ∀ ∈ Π (Pr()) ,Π (,){︁}︁:= ∈ Π (,) ∩ Π ( × ) .(3.9)(3.10)68Предложение 3.22.(, , ) слабо регуляр­ное, а — слабо полунепрерывный снизу функционал, тогда Π (,) будеткомпактным подмножеством ( × ) (для любых ∈ , ∈ ).Если линейное ограничениеДоказательство.

По определению полунепрерывного снизу функционала его{ ∈ Π (,) : () ≤ }является замкнутым для любого ∈ R. Пусть = inf {() : ∈ Π (,)}, то­гда соответствующее множество уровня оказывается равным Π (,). Так каконо замкнуто в компактном польском пространстве Π (,) (по предложениюмножества подуровня замкнуты. Значит, множество3.20), то оно само является компактом.Как мы увидим в следующем параграфе, предположение о слабой регу­лярности достаточно для доказательства существования измеримого выбораоптимальных транспортных планов в ограниченном множестве планов. Однакодля результата о разложении задачи Канторовича, аналогичного теореме 3.1,только этого предположения оказывается недостаточно.Доокончанияэтогопараграфамыбудемпредполагать,что :=(Ω, , ) — линейное ограничение, , — эргодически разложимые00симплексы, ⊆ , ℬ ⊆ ℬ — соответствующие им -достаточные -алгебры.Следующее свойство линейного ограничения является ключевым для фор­мулировки результата о разложении задачи Канторовича.Определение 3.23.

:= (Ω, , ) называется эргодически разложимымограничением, если найдется такой эргодически разложимый симплекс веро­ятностных распределений ⊆ ( × ) и такая( ⊗ ℬ)0 ⊆ ⊗ ℬ , чтосоответствующая ему -достаточная -алгебра– Π ( × ) ⊆ ,– 0 ⊗ ℬ0 ⊆ ( ⊗ ℬ)0 ,– Pr () ∈ ( ), Pr () ∈ ( ), ∀ ∈ ( ).Будем теперь предполагать, что := (Ω, , ) — эргодическиразло­ ⊆ ( × ) — соответствующий ему эргодически раз­0ложимый симплекс, и ( ⊗ ℬ) ⊆ ⊗ ℬ — связанные с ним марковскоеядро и -достаточная -алгебра.жимое ограничение,Рассмотрим свойство линейного ограничения, которое гарантирует согла­сованность между симплексами мер, которым принадлежат маргиналы, и усло­вием, накладываемым на транспортные планы.69Определение 3.24.

:= (Ω, , ) называется внутренне согласованным , если из включения ∈ Π ( × ) ∈ Ω, ∈ ( ⊗ ℬ)0 .относительнодля всехследует, что∫︀ = 0В примерах мы будем использовать следующее достаточное условие внут­ренней согласованности.Предложение 3.25.Если найдется такое семейство отображений{ }, : ( × , ⊗ ℬ) → ( × , ⊗ ℬ), ∈ Λ, что01. ( ) = ( ) для всех ∈ ( ×, ( ⊗ ℬ) ), ∈ ( ×, ⊗ℬ), ∈ Λ,2. линейныеограничения=( , , Ω ) и =( , , Ω ) эквивалентны, где Ω := span{ − ( ) : ∈ ( × ), ∈ Λ}, Ω := span{ − ( ) : ∈ ( ×, ⊗ℬ), ∈Λ},то — внутренне согласованное линейное ограничение.∫︀Доказательство. Мы хотим доказать, что ( − ( )) = 0 для всех0 ∈ ( × ), ∈ ( ⊗ ℬ) , ∈ Π ( × ), ∈ Λ, где — индикаторная∫︀функция множества . Так как Π ( × ) = Π ( × ), ( − ( )) = 0для всех ∈ Π (× ), ∈ (×, ⊗ℬ), ∈ Λ.

Доказываемое утверждение∫︀∫︀следует из того факта, что ( − ( )) = ( − ( )) и ∈( × , ⊗ ℬ) для всех ∈ ( × ), ∈ ( ⊗ ℬ)0 , ∈ Λ.Замечание 3.26.Π (,) = Π(,) ∩ , ∀(,) ∈ × для эргодически разложимого ограничения , то внутренне согла­совано относительно .

Действительно, по определению, — множество -инвариантных мер из ( × ). Достаточно положить 1 ( ) := ( ),˜ :=Λ = {1}, Ω̃ := { − ( ), ∀ ∈ ( × )}. Тогда ограничение (Ω̃, , ) внутренне согласовано и эквивалентно .В случае, еслиКак мы увидим, предположения эргодической разложимости, внутреннейсогласованности и слабой регулярности дополнительного линейного ограниче­ния вместе влекут результат о разложении соответствующей задачи Канторо­вича. : × → R — некоторая функция расстояния, Dom ⊆ () —эргодически разложимый симплекс, = (Ω, Dom , Dom ) — линейное огра­ничение.

Определим для каждого фиксированного ∈ [1, + ∞) функциюПусть70 : Dom × Dom → [0,∞] (,) := infпо формуле{︃(︂∫︁ (, ))︂ 1}︃: ∈ Π (, ) .(3.11)В общем случае эта функция не удовлетворяет аксиомам расстояния, однакоможно сформулировать дополнительное, четвертое по счету, предположениео линейном ограничении, при которомгарантированно будет функциейрасстояния.Определение 3.27.Линейное ограничениеся метрическим для,если симплекс = (Ω ,Dom , Dom ) называет­Dom слабо замкнут, Ω ⊆ ( × ) ∈ Ω выполнены следующие условия:((, )# )() = 0 ∀ ∈ Dom ,( ⊗ )() = 0 ∀, ∈ Dom ,() = 0 =⇒ () = 0 ∀ ∈ Π(,), ∀, ∈ Dom ,и для каждого1.2.3.гдеопределе­но соотношением∫︁Предложение 3.28.[0, +∞]-значная (,) =Если∫︁ (,) ∀ ∈ ( × ).

— метрическоелинейное ограничение, то —функция расстояния.∫︀ = (,)# ∈ Π (,), = 0 для этого ,и (,) = 0. По схожим причинам ( = 0 только на диагонали {(,)},причем только планы вида (,)# сосредоточены на ней) (,) ̸= 0, если ̸= . Функция инвариантна, так как из включения ∈ Π (,) следует,∫︀ ∫︀что ∈ Π (,) и = . Неравенство треугольника доказывает­Доказательство. Так какся стандартным образом (см., например, [17], теорема 2.2) с использованиемспециальной версии леммы о склеивании, которую мы формулируем ниже.Лемма3.29(Леммаосклейкес.ограничениями)Пусть=(Ω ,Dom , Dom ) — метрическое линейное ограничение.

Тогда для лю­бых мер 1 , 2 , 3 ∈ Dom , 12 ∈ Π (1 ,2 ), 23 ∈ Π (2 ,3 ) существуетмера ∈ ( × × ) такая, что (Pr12 )# () = 12 , (Pr23 )# () = 23 ,(Pr13 )# () ∈ Π (1 ,3 ).Доказательство. Дословно повторяет доказательство леммы 2.18.71Предложение 3.30.Метрическое линейное ограничение слабо регулярно.( ⊗ )() = 0, ⊗ ∈ Π (,) для всех , ∈Dom , Dom слабо замкнуто и Ω ⊆ ( × ), то = (Ω, Dom , Dom ) слабоДоказательство. Так какрегулярно в силу замечания 3.21.Проверим, что в нашем основном примере (пример 3.16) инвариантныхмер можно естественным образом ввести дополнительное ограничение, удовле­творяющее всем описанным выше условиям.Пример 3.31(Основной пример, продолжение)ного ограничения = (Ω, Dom, Dom),где.Рассмотрим пример линей­Dom — симплексинвариантных ве­роятностных распределений, описанный в примере 3.16,Ω := span({ − ∘ : ∀ ∈ ( × ), ∀ ∈ G}).Это ограничение налагает на транспортные планы требование инвариант­ности относительно диагонального действия группыGна ×(см.