Диссертация (Задача Монжа-Канторовича с линейными ограничениями), страница 12

2.1). = G ( × ) — симплекс всех инвариантных вероятностныхраспределений на × относительно такого действия, а ( ⊗ ℬ)— -алгебра всех инвариантных измеримых множеств на × . Очевидно, чтоΠ ( × ) ⊆ , ⊗ ℬ ⊆ ( ⊗ ℬ) и ( ⊗ ℬ) — -достаточная подал­гебра, соответствующая . Чтобы показать эргодическую разложимость (определение 3.23), нужно проверить, что любое эргодическое распределе­ние из G ( × ) имеет своими проекциями эргодические распределения изG (), что очевидно из рассуждения от противного.ПустьПокажем, что это ограничение является метрическим (определение3.24):G () замкнуто и Ω ⊂ ( × ),(,)# ( (,) − ((),())) = ( (,) − ((,))) = ( (,)) −# ( (,)) = 0 если ∈ = G (), ∈ ( × ), ∈ G,∫︀( ) := ,1.

множество2.723. заметим, что( ⊗ )( (,) − ((),()) =∫︁ (︁∫︁)︁= (,) − ((),)() ()+∫︁ (︁∫︁)︁+ ((),) − ((),())() () = 0,∀, ∈ Dom = G (), ∈ ( × ), ∈ G, (,)− ((), ()) ∈ Ω следует, что (,)− ((), ()) ∈ Ω для всех ∈ ( × ), то последнее условие из4. так как из включенияопределения метрического ограничения выполнено.Нам также нужно проверить, что ограничение является внутренне (определение 3.24).

Можно заметить, чтоΠ (,) = Π(,) ∩ ( × ), ∀(,) ∈ × и воспользоваться замеча­согласованным относительнонием 3.26.Замечание 3.32.DomВ контексте симплекса инвариантных мер(пример3.16), можно рассмотреть и другие примеры хороших дополнительных огра­ничений. У нас есть фиксированное действие группыGна.Можно рас­G ⊕ G на пространстве × ,заданное естественным образом: (1 ,2 )(1 , 2 ) := (1 (1 ), 2 (2 )).Зафиксируем подгруппу H ⊆ G ⊕ G с индуцированным действием на × .

Если эта подгруппа принадлежит к одному из классов групп из при­мера 3.16, и ее проекции на первую и вторую компоненты равны G, то соот­ветствующее ограничение = (Ω, Dom, Dom),смотреть действие прямой суммы группΩ := span({ − ∘ ℎ : ∀ ∈ ( × ), ∀ℎ ∈ H}).обладает свойствами эргодической разложимости и внутренней согласован­ности из этого параграфа. Проверка осуществляется аналогично той, чтомы провели для диагонального действия группы.Пример 3.33плекс.(Дискретный марковский процесс, продолжение)Dom = ()определен как в примере 3.17.

Пустьиз⊗в0 — соответ­ -подалгебра. Рассмотрим марковское переход­0 ⊗ 0 , определенное соотношением ( )(,) :=ствующая этому симплексуное ядроПусть сим­73∫︀ (˜, ˜) (˜)⊗ (˜ ). Можно проверить, что ( ()) = ( ) (),и, значит, по теореме 3.12 ему соответствует эргодически разложимый сим­плекс.Рассмотрим линейное ограничение = (Ω, Dom, Dom),Ω := span({ − ( ) : ∀ ∈ ( × )}).Оно будет эргодически разложимо и внутренне согласовано относительно(рассуждение аналогично примеру с действием группы).3.3О некоторых вопросах измеримостиНаша задача в этом параграфе — доказать существование отображения : × → Π ( × ), такого, что Pr( (,)) = (,) (напомним вве­денное нами обозначение: Pr() := (Pr (),Pr ())), в предположении слабойрегулярности и полунепрерывности снизу функционала стоимости.

Факт осуществовании такого отображения будет использован при доказательстве ре­зультата о декомпозиции задачи Канторовича с дополнительными ограничени­ями, но он также представляет интерес и сам по себе.В задаче Канторовича без дополнительных ограничений существованиеизмеримого выбора хорошо известно (см. следствие 5.22 в [59]). Его доказатель­ство опирается на следующий классический результат:—циклическая монотон­ность носителя транспортного плана влечет его оптимальность. Однако подоб­ный результат не имеет место в задаче с дополнительными ограничениями (см.пример 1.19).

Поэтому возникает необходимость предложить альтернативныйспособ доказательства существования измеримого выбора.Главным инструментом будет следующая теорема Ридера об измеримомвыборе в задачах оптимизации:Теорема 3.34(Rieder [57], теорема 4.1, следствие 4.3)— польские пространства с борелевскими. -алгебрами,(Θ,) и (,ℬ) ⊆ Θ × , : →ПустьR ∪ {±∞}, := {(,) ∈ : (,) ≤ }, ∈ R,74+∞ := .Если∀ ∈ (−∞, +∞], ∈ ⊗ ℬи∀ ∈ R,то () := ∩ {(,) : ∈ }компактны для любогоPrΘ () → , ∈ PrΘ (),то существует измеримая функция :такая, что(, ()) = inf (,), ∀ ∈ PrΘ (),∈()где() := Pr−1Θ () ∩ .Θ := × , := Π ( × ) топологиями слабой сходимостии соответствующими борелевскими -алгебрами.

Тогда оба пространства: Θ и ,окажутся польскими, и, вследствие слабой регулярности , будет замкнутым.Положим := {(,,) : ∈ Π (,), (, ) ∈ × }, ((,),) :=(). ТогдаСнабдим = {(, , ) : () ≤ , ∈ Π (,),(, ) ∈ × }, ∈ (−∞, +∞],(3.12) (,) = { : () ≤ , ∈ Π (,)}, ∈ R.Чтобы применить приведенную выше теорему, нужно сперва доказать, что мно­жествоборелевское, а (,)компактно.Для этого мы используем следующее предложение (Himmelberg [42], тео­рема 3.5).Предложение 3.35.(Θ,), (,ℬ) — сепарабельные метрические про­странства с борелевскими -алгебрами. Предположим, что отображение : Θ → 2 принимает значения в замкнутых подмножествах , и чтодля любого замкнутого подмножества ⊆ Пусть{ : () ∩ ̸= ∅} ∈ .Тогда график отображения:{(,) : ∈ Θ, ∈ ()}75принадлежит алгебре ⊗ ℬ.Лемма 3.36.слабо регулярно, и функционалЕсли : Π ( × ) → Rполунепрерывен снизу, то множество := {(, , ) : () ≤ , ∈ Π (,),(, ) ∈ × }, ∈ (−∞, +∞],является элементом -алгебры Bor( × ) ⊗ Bor(Π ( × )).Π ( × ) яв­ляется польским пространством, а Π (,) польским компактом.

Так как полунепрерывен снизу, то его линии под-уровня Π := { ∈ ( × ) :() ≤ } замкнуты. Так как (,) = Π (,) ∩ Π , (,) являетсякомпактом. Нужно заметить, что (,) может быть пустым, но пустое мно­Доказательство. Благодаря слабой регулярности ограниченияжество компактно, так что никаких противоречий здесь не возникает.(Ω,) := ( × , Bor( × )), (,ℬ) := (Π ( × ),Bor(Π ( × ))), : × → 2Π (× ) , (,) = (,). Тогда = {(,,) : ∈ (,), (, ) ∈ × } — это график . Заметим, что принимает компактные (и, следовательно, замкнутые) значения.Зафиксируем произвольное замкнутое множество ⊆ Π ( × ).

Пока­Пустьжем, что прообраз −1 ( ) := {(,) : (,) ∩ ̸= ∅}замкнут, и, значит, принадлежит борелевской алгебре. Если множество пусто,то это тривиально верно. Предположим, что оно не пусто. Рассмотрим после­( , ) ∈ −1 ( ), ∈ N, сходящуюся к (, ) в × .Тогда → , → слабо, и последовательности ( ), ( ) плотны. Но длякаждой пары ( , ) существует ∈ ( , ) ∩ . Из этого следует, чтоPr( ) = ( , ), и последовательность ( ) плотна (можно рассмотреть произ­довательностьведения компактов для обоснования плотности).

Пусть подпоследовательность . Так как замкнуто, то ∈ . Благодаряслабой непрерывности оператора Pr и слабой полунепрерывности снизу функ­ционала , ясно, что Pr() = (,), () ≤ . Как следует из слабой( )слабо сходится к пределу76∫︀ → слабо непрерывен для любой функ­∫︀ции ∈ Ω. Следовательно = 0, и ∈ (,).Получаем, что для любой пары (,) существует ∈ (,) ∩ , (,) ∈ −1 ( ), и −1 ( ) секвенциально замкнуто. Так как × метризуемо,−1то секвенциальная замкнутость влечет замкнутость, и ( ) оказывается за­регулярности,функционалмкнутым (а, значит, борелевским).

Согласно предложению 3.35, график отоб­ражения(который совпадает со множеством )является борелевским мно­жеством. Это завершает доказательство.Теперь мы можем сформулировать и доказать основной результат этогопараграфа.Теорема 3.37. , — польские пространства с борелевскими = (Ω, , ) — слабо-регулярное линейное ограниче­Пусть -алгебрами. Еслиние, — слабо полунепрерывный снизу функционал стоимости, то суще­ствует измеримое отображение : × → Π ( × ), такое, чтоPr( (,)) = (,).Θ := × , := Π ( × ) — польские пространства с борелевскими -алгебрами, :={(,,) : ∈ Π (,), (,) ∈ × }, ((,),) := (), ={(, , ) : () ≤ , ∈ Π (,), (,) ∈ × } борелевское длялюбого ∈ (−∞, + ∞] по лемме 3.36, (,) = { : () ≤ , ∈ Π (,)}компактно для любого ∈ R в силу слабой регулярности и полунепрервностиснизу .

Из применения теоремы 3.34 следует существование борелевскойфункции : × → Π ( × ), такой, чтоДоказательство. Применим теорему 3.34. Напомним, что( (,)) =inf(),∈Π (,)а это означает, что (,) ∈ Π (,)для любой пары(,) ∈ × .773.4Эргодическое разложение задачи КанторовичаВ этом параграфе мы сформулируем и докажем результат аналогичныйтеореме 3.1 для задачи Канторовича с дополнительными ограничениями в пред­положении эргодической разложимости, слабой регулярности и внутренней со­гласованности линейных ограничений.(,), (,ℬ) — пара польских пространств с борелевскими -алгебрами, ⊆ () и ⊆ ( ) — два замкнутых эргодически разло­жимых симплекса. Обозначим через и соответствующие и мар­ковские ядра на (,), (,ℬ), такие, что, ( ) = { }, ( ) = { }.

Ес­00ли ⊆ и ℬ ⊆ ℬ — связанные с ними -достаточные подалгебры, то по опре­00делению и являются разложениями для троек (, , ) и (ℬ, ℬ , )соответственно. Будем также использовать такие обозначения: () := ,() := . Заметим, что отображения : → ( ), : → ( )00будут - и ℬ -измеримыми соответственно.Пусть = (Ω, , ) — слабо регулярное, эргодически разложимое ивнутренне согласованное относительно линейное ограничение, где ⊆( × ) — соответствующий эргодически разложимый симплекс, и ( ⊗ℬ)0 ⊆ ⊗ ℬ — связанные с ним марковское ядро и -достаточная -алгебра.ПустьОпределение 3.38.ных мерΠ̃(˜,˜ ) множество всех вероятност­˜ ∈ ( × , ( ⊗ ℬ)0 ), таких, что PrX (˜) = ˜, PrY (˜ ) = ˜).Определение 3.39.Обозначим через ∈ , ∈ . Определим множествоΘ(, , ) как множество всех пар (, ), где ∈ Π (,), а — такое мар­0ковское переходное ядро из ( × , ⊗ ℬ) в ( × ,( ⊗ ℬ) ), что (˜) = (,)и ∈ Π ( , ) для ˜ -п.в.