Диссертация (Асимптотики решений задач обтекания несжимаемой жидкостью поверхностей с малыми неровностями при больших числах Рейнольдса), страница 3

Вейля [94], Н.С. Пискунова [31], О.А. Олейник [26;27] и др. Позже все полученные результаты были обобщены в монографии О.А. Олейник и В.Н. Самохина [28], в которой наряду свопросами существования, единственности и устойчивости решенийтакже представлены их качественные свойства и асимптотическоеповедение.Отметим, что пограничный слой возникает не только в задачахобтекания поверхности, но и в других задачах течения жидкости, например, в задаче о стационарном истечении осесимметричной струивязкой несжимаемой жидкости из трубы круглого сечения в свободное пространство, см.

работу В.В. Пухначева и В.С. Белоносова [33].После появления теории пограничного слоя было предпринято много попыток решения различных задач обтекания, однако невсе они увенчались успехом. Трудность заключалось в том, что принеблагоприятном градиенте давления величина трения жидкости остенку уменьшалась и становилась равной нулю, и в этой точке нулевого трения xs решение имеет особенность. С. Гольдштейн показал (см. [56]), что, если в точке xs производная скорости на стенке равна нулю, то решение уравнений пограничного слоя Прандтляимеет неустранимую особенность и не может быть непрерывно продолжено на область ниже по потоку от точки xs . Л.Д.

Ландау установил, что при приближении к точке нулевого трения нормальнаясоставляющая вектора скорости (т.е. компонента v в наших обозначениях) неограниченно возрастает, а производная тангенциальнойсоставляющей вектора скорости (т.е. компоненты u в наших обозначениях) ∂u/∂y на поверхности обтекаемого тела в точке xs равнанулю, см.

[19]. В точке нулевого трения наблюдается отрыв ламинарного пограничного слоя от поверхности обтекаемой пластины,а за ней образуется турбулентная (вихревая) область возвратноготечения, см. рис. 2 и [19].15Рисунок 2 – Схематичное изображение отрыва пограничного слоя, xs — точканулевого тренияОднако, при отрыве пограничного слоя происходит его вытеснение в область внешнего потока, и возникает задача о взаимодействии пограничного слоя с внешним потоком. Эта задача исследуется в работах Дж. Лайтхилла, см. [59; 60]. Он изучал эффекты,оказывающие влияние на внешнее течение и эффект отрыва пограничного слоя в задачах обтекания тел сверхзвуковым потоком.Задача заключается в исследовании влияния малых возмущений напограничный слой, когда внешний поток является сверхзвуковым.Он рассматривал взаимодействие (с математической точки зрения)с помощью малых возмущений плоскопараллельного потока и линеаризации уравнений Навье–Стокса вокруг него.

В результате своихисследований он пришел к гипотезе о том, что область, в которойпроисходит взаимодействие, разделяется на 3 части: область невязкого течения, лежащая вне пограничного слоя, в которой возмущения описываются линеаризованными уравнения невязкого сверхзвукового течения; область соответствующая классическому пограничному слою; и область около поверхности обтекаемого тела, в которойпроявляются эффекты вязкости. Важным результатом в работе [60]является найденный там масштаб ширины области в которой происходит взаимодействие: она порядка O(ε3/4 ).Работа Дж.

Лайтхилла [60] была основой для появившейся позже в работе К. Стюартсона и П.Г. Вилльямса [91] и работе В.Я. Нейланда [25] трехпалубной теории пограничного слоя. В работе [91]рассмотрена задача обтекания полубесконечной пластины сверхзвуковым потоком и, используя метод сращивания асимптотик (см. [6]),16построено асимптотическое решение уравнений Навье–Стокса (1)при Re → ∞. В этих работах обнаружено, что пограничный слойимеет трехпалубную структуру, состоящую из: «нижней палубы» —области пристеночного течения, «средней палубы» — области классического пограничного слоя и «верхней палубы» — области вытеснения, находящейся во внешнем потоке, см.

рис. 3. В рамках этойтеории результаты Лайтхилла [60] являются ее линеаризацией. Взаимодействие устроено следующим образом. Возмущение вязкого течения в нижней палубе, проходя через среднюю палубу приводит квозмущению давления в верхней палубе, которое индуцирует градиент давления в нижней палубе. В пристеночной области (т.е. внижней палубе) течение описывается уравнениями Прандтля, но синдуцированным давлением, т.е. градиент давления в них не является заранее заданной величиной, как в теории Л.

Прандтя [72],а определяется в процессе решения задачи во всей области. В средней палубе компоненты скорости потока выражаются через скоростьБлазиуса (5). Более подробно это будет описано ниже. Теория трехпалубного пограничного слоя нашла отражение во множестве работФ.Т. Смита [76; 79–84; 87; 88], К. Стюартсона [89–91], О.С. Рыжова [37–41; 74], А.И. Рубана [34; 35], В.В. Сычева [2; 36], В.Я. Нейланда [5; 23—25] и многих других [66–69].Одной из первых работ по изучению задач обтекания тел смалыми неровностями на поверхности является работа Ф.Т.

Смита [79]. Он рассматривал задачу обтекания полубесконечной плоскойпластины с локализованной неровностью на ней — малым горбикомцилиндрической формы, находящимся на некотором расстоянии Lот ее края, см. рис. 3, имеющий следующий вид (в обозначениях,которые используются в диссертационной работе, ε = Re−1/2 ):ys = ε5/4 µ x/ε3/4 ,(6)где µ(ξ) — функция солитонного типа: µξ→−∞ = µξ→∞ = 0.

Доэтой работы такую задачу рассматривал Дж. Хант [57], однако по-17лученная им модель верна только для горбиков очень малой высотыи ширины, а сами эти результаты являются частным случаем решения, полученного в [79], имеющего трехпалубную структуру, подобную [91]: пограничный слой разделяется на 3 области: «нижняяпалуба», «среднюю палуба» и «верхняя палуба», см. рис. 3.Рисунок 3 – Трехпалубная структура в задаче обтекании локализованногогорбика: I — нижняя палуба (пристеночный слой); II — средняя палуба; III —верхняя палуба; IV — область внешнего потока; u0 = 1, uB — профиль теченияБлазиуса, см.

(5)Полученное в [79] асимптотическое решение описанной вышезадачи имеет следующий вид (ниже используются следующее обозначение: верхний индекс над функцией обозначает номер палубысогласно рис. 3, в которой эта функция определена).• На верхней палубе (III):u = 1 + ε1/2 uIII1 (ξ, ρ) + . . . ,v = ε1/2 v1III (ξ, ρ) + . . . ,(7)p = ε1/2 pIII1 (ξ, ρ) + . . .

,IIIIIIгде ξ = x/ε3/4 , ρ = y/ε3/4 , а функции uIII1 , v1 , p1 являются решением следующей системы уравнений:∂v1III∂uIII1+= 0,∂ξ∂ρ III∂u1∂pIII(8)+ 1 = 0,∂ξ∂ξ∂v1III ∂pIII+ 1 = 0.∂ξ∂ρ18• В средней палубе (II):u = uB (τ ) + ε1/4 uII1 (ξ, τ ) + . . . ,v = ε1/2 v1II (ξ, τ ) + . . . ,(9)p = ε1/2 pII1 (ξ, τ ) + .

. . ,где ξ = x/ε3/4 , τ = y/ε, uB — профиль течения Блазиуса (см. (5)), аIIIIфункции uII1 , v1 , p1 являются решением следующей системы уравнений: II∂u1∂v1II+= 0,∂ξ∂τ∂uII1II ∂uB(10)u+v= 0,B1∂ξ∂τII ∂p1 = 0.∂τ• На нижней палубе (I):u = ε1/4 uI1 (ξ, θ) + . . . ,v = ε3/4 v1I (ξ, θ) + . . .

,(11)p = ε1/2 pI1 (ξ, θ) + . . . ,где ξ = x/ε3/4 , θ = y/ε5/4 , а функции uI1 , v1I , pI1 являются решениемсистемы уравнений Прандтля с индуцированным давлением:∂uI1 ∂v1I+= 0,∂ξ∂θII∂pI1 ∂ 2 uI1I ∂u1I ∂u1(12)u1+ v1=−+,2∂ξ∂θ∂ξ∂θ∂pI 1 = 0.∂θСистема уравнений на функции, описывающие течение в средней палубе (10) легко разрешима:0uII1 = A(ξ)uB (τ ),v1II = −A0 (ξ)uB (τ ),(13)19где функция A(ξ) (т.н. функция вытеснения) — константа интегрирования, которая должна удовлетворять условию Aξ→−∞ → 0. Всеуравнения дополняются условиями согласования (λ = u0B (0)):lim uI1 − λθ = λA,(14)v1III (ξ, 0) = lim v1II = −A0 (ξ),(15)θ→∞pII1 (ξ, 0) = limθ→∞τ →∞pI1 , pIII1 (ξ, 0)= lim pII1.τ →∞(16)Из последних уравнений систем (10), (12) и условий согласования (16) следует, чтоIIIpIII1 (ξ, 0) = p1 (ξ) = p1 (ξ).(17)Решение системы уравнений на верхней палубе (8) имеет следующий вид (см.

[63]):1uII(ξ,τ)=1πZ∞v1II (q, 0)(ξ − q)dq,(ξ − q)2 + τ 2−∞v1II (ξ, τ ) =1πZ∞(18)v1II (q, 0)τ(ξ − q)2 + τ 2dq,−∞где τ 6= 0, а1IIuII(ξ,0)=−p(ξ,0)=11πv1II (ξ, 0) =1πZ∞−∞Z∞v1II (q, 0)dq,ξ−q(19)pII1 (q, 0)ξ−qdq.−∞Индуцированное давление выражается следующим образом:1pI1 (ξ) =πZ∞−∞A0 (ξ)dq.ξ−q(20)20Система уравнений на нижней палубе (12) дополняется условиями прилипания к обтекаемой поверхности (6):uI1 θ=µ = v1I θ=µ = 0.Отметим, что трехпалубная структура пограничного слоя является сильно связанной системой.

Течение на верхней палубе зависит от течения в нижней палубе через функцию вытеснения A(ξ), атечения на нижней и средней палубах зависят от течения на верхней палубе через давление. Роль средней палубы заключается лишьв посредничестве переноса давления и эффекта вытеснения междунижней и верхней палубы. Данная задача может быть решена только во всей совокупности, т.е. невозможно найти решение, например,только в нижней палубе, не находя решений в остальных областях.Более подробно трехпалубная структура представлена в [63; 69; 89].Трехпалубная структура была также обнаружена при исследовании задачи обтекания пластины с малыми периодическими неровностями при больших значениях числа Рейнольдса в работе В.Г.

Данилова и К.Ю. Россинского [15]. В этой работе рассматривалось обтекание вязкой несжимаемой жидкостью полубесконечной пластиныс периодической неровностью, параметры которой точно такие же,как и в работе Ф.Т. Смита [79]:ys = ε5/4 µ(x, ξ),ξ = x/ε3/4 ,но функция µ(x, ξ) отличается от [79]: она является 2π-периодичесR2πкой по аргументу ξ и имеющая нулевое среднее, т.е.

µ(x, ξ) dξ = 0,0в то время, как уже было написано выше, в работе [79] функцияµ(x, ξ) была солитонного типа. Отметим, что периодичность функции µ приводит к необходимости применения помимо метода погранслойного раззложения еще и метода осреднения, см. ниже.В работах Ж. Мосса [61; 62] исследовались масштабы, приводящие к возникновению трехпалубной структуры.