Диссертация (Асимптотики решений задач обтекания несжимаемой жидкостью поверхностей с малыми неровностями при больших числах Рейнольдса)

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственноебюджетное образовательное учреждение высшего образования«Московский технический университет связи и информатики»На правах рукописиГайдуков Роман КонстантиновичАсимптотики решений задач обтеканиянесжимаемой жидкостью поверхностейс малыми неровностями при большихчислах РейнольдсаСпециальность 01.01.03 — Математическая физика(физико–математические науки)Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико–математических наукНаучный руководительдоктор физико–математических наук,профессор Данилов Владимир ГригорьевичМосква — 20162ОглавлениеВведение . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4§ 1. Общая характеристика работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4§ 2. Основные типы решений уравнений Навье–Стокса взадачах обтекания полубесконечных поверхностей . . . . . 12Глава 1.

Задача обтекания пластины с малымипериодическими неровностями . . . . . . . . . . . . . 29§ 1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29§ 2. Существование, единственность и устойчивостьрешения уравнения типа Рэлея в области позадипередней кромки . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47§ 3. Исследование уравнения типа Рэлея в областипередней кромки пластины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65§ 4. Алгоритм численного решения и результаты егоиспользования . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.1. Алгоритм численного решения системыуравнений тонкого пограничного слоя . . . . . . . . . . . . 714.2. Алгоритм численного решения уравнения типа Рэлея 82Глава 2. Задача обтекания малой локализованнойнеровности на пластине . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 88§ 1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88§ 2. Формальное асимптотическое решение . . . . . . . . . . . . . . . 90§ 3. Алгоритм численного решения и результаты егоиспользования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 1023.1. Алгоритм численного решения системыуравнений тонкого пограничного слоя . . . . . . . . . . . . 1033.2. Результаты численного моделирования течения втонком пограничном слое . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063Глава 3. Задачи о течении жидкости внутри трубыи двумерного канала с малымипериодическими неровностями на стенках . . . 109§ 1. Постановка задачи о течении в трубе с малымипериодическими неровностями на стенке . . . . . . . .

. . . . . 109§ 2. Формальное асимптотическое решение задачи отечении в трубе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111§ 3. Алгоритм численного решения и результаты егоиспользования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 1293.1. Течение в тонком пограничном слое . . . . . . . . . . . . . 1293.2. Течение в толстом пограничном слое . . . . . . . . . . . . . 135§ 4. Задача о течении жидкости внутри двумерногоканала с малыми периодическими неровностями настенках . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444Введение§ 1.Общая характеристика работыАктуальность темы исследования и степень ееразработанностиВ диссертационной работе исследуется задача обтекания вязкой несжимаемой жидкостью различных поверхностей с малыминеровностями при больших числах Рейнольдса Re.

В качестве обтекаемых поверхностей рассматриваются:1. полубесконечная пластина с малыми периодическими неровностями на ней;2. полубесконечная пластина с малой локализованной неровностью типа горбика, ступеньки или излома в виде угла;3. аксиально-симметричная труба и двумерный канал с малымипериодическими неровностями на стенках.Исследуемые задачи описываются уравнениями Навье–Стоксаи неразрывности (см., например, [19]): U, ∇U = −∇p + ε2 4U,∇, U = 0,(1)где U — двумерный или трехмерный вектор скорости, p — давление,а ε = Re−1/2 — малый параметр.

Система уравнений (1) дополняется граничными условиями прилипания к поверхности S:US = 0,(2)а также некоторыми другими краевыми условиями — условиями согласования с внешним потоком, различными для каждой из рассматриваемых задач, которые будут приведены в соответствующихглавах.5В основе решения подобных задач лежит теория пограничногослоя, которая впервые была предложена Л. Прандтлем [72] болеевека назад. В рамках этой теории в тонкой пристеночной области(которая и называется пограничным слоем) при большом значениичисла Рейнольдса можно перейти от уравнений Навье–Стокса, которые содержат малый параметр при старших производных, к уравнениям, не содержащим малого параметра, которые носят названиеуравнений пограничного слоя Прандтля.Вообще говоря, задачи обтекания поверхностей исследуютсядостаточно давно, и в литературе широко известна трехпалубнаяструктура пограничного слоя, например, см.

работы Ф.Т. Смита [79],К. Стюартсона [89], В. Я. Нейланда [25], О. С. Рыжова [40], В. В. Сычева [2] и другие, подробный обзор литературы приведен ниже в § 2данного Введения.В рамках трехпалубной структуры пограничный слой имееттри разномасштабные области: «нижняя палуба» — тонкий пристеночный пограничный слой , «средняя палуба» — область классического пограничного слоя Прандтля, «верхняя палуба» — область взаимодействия течения пограничного слоя с внешним потоком. Взаимодействие устроено следующим образом. Возмущениевязкого течения в нижней палубе, проходя через среднюю палубуприводит к возмущению давления в верхней палубе, которое индуцирует градиент давления в нижней палубе.

В пристеночной области(т.е. в нижней палубе) течение описывается уравнениями Прандтля, но с индуцированным давлением, т.е. градиент давления в нихне является заранее заданной величиной, как в теории Прандтля, аопределяется в процессе решения задачи во всей области.Однако, наряду с классической трехпалубной структурой, существует еще и двухпалубная, впервые открытая в работе В.

Г. Данилова и М. В. Макаровой [49], но при масштабах неровностей, отличных от тех, которые приводят к трехпалубной структуре. Возможность существования такой структуры была впоследствии подтверждена в работе Ж. Мосса [61]. В двухпалубной структуре отсут-6ствует верхняя палуба, находящаяся над погранслоем Прандтля, характерная для трехпалубной структуры, а все взаимодействие происходит внутри классического пограничного слоя, не оказывая влияние на внешний поток.

В нижней палубе — тонком пристеночномслое — течение так же, как и в трехпалубной структуре, описываетсяуравнениями пограничного слоя Прандтля с самоиндуцированнымдавлением. Однако, в средней палубе, т.е. области классического пограничного слоя, возмущение течения, возникающее из-за неровностей на поверхности (точнее — из-за возмущения течения в нижнейпалубе), описывается уравнением типа Рэлея, которое мало исследовано в литературе, в частности, остается открытым вопрос о существовании его решения.

Отметим, что исследованию двухпалубнойструктуры, помимо работ [49; 61], посвящены еще работы [85; 95;96], которые будут подробно рассмотрены в § 2 данного Введения.Цели и задачи диссертацииЦелью данной диссертационной работы является исследованиеусловий существования двухпалубной структуры пограничного слояв задачах обтекания несжимаемой вязкой жидкостью поверхностейс малыми неровностями при больших значениях числа Рейнольдса.Задачи диссертационного исследования следующие.1. Определение геометрических параметров неровностей на поверхности, приводящих к двухпалубной структуре пограничного слоя в задачах о течении в трубах и каналах.2. Построение формального асимптотического решения, имеющего двухпалубную структуру, для задачи обтекания пластины с малой локализованной неровностью и для задач о течении жидкости в аксиально-симметричной трубе и двумерномканале с малыми периодическими неровностями на стенке прибольших числах Рейнольдса.3.

Определение условий существования стационарного решения иисследование устойчивости этого решения для уравнения ти-7па Рэлея, возникающего в области классического пограничного слоя Прандтля (на «верхней палубе» пограничного слоя cдвухпалубной структурой).Отметим, что целью диссертационного исследования является построение формальных асимптотических решений рассматриваемых задач, а не обоснование асимптотики. Задача обоснованияасимптотики эквивалентна (или даже сложнее) доказательству существования и гладкости решения уравнений Навье–Стокса в неограниченной области, входящей в список нерешенных «Задач тысячелетия».Также отметим, что при асимптотическом анализе задача с малым параметром всегда сводится к какой-то серии задач, не содержащих малого параметра, и задачи из этой серии могут либо иметьявное аналитическое решение, либо могут допускать только комбинацию аналитического и численного исследований.

В.П. Масловнеоднократно подчеркивал, что второй класс задач не менее важен,чем первый, и именно с такой ситуацией мы имеем дело в этой работе.Научная новизнаВ диссертационной работе представлены новые методы исследования математической задачи, описывающей обтекание несжимаемой вязкой жидкостью поверхностей с малыми неровностями прибольших числах Рейнольдса.Положения, выносимые на защиту1.