Диссертация (Числа Бетти и трианалитические подмногообразия гиперкэлеровых многообразий), страница 7

В размерности восемь ситуация сложнее, поскольку чис­ла Черна неоднозначно выражаются через [S]. Однако, неравенство 3.2.4остаётся верным и в больших размерностях.453.4. Применения Основного неравества3.4.1. Размерность четыреВ размерности четыре лемма 3.2.5 даёт в точности результат Гуана [Gu].При этом можно заметить, что 3.1.3 эквивалентно неравенству 3.2.4, посколь­ку инварианты Розанского-Виттена в этом случае выражаются в терминахвторого класса Черна.Действительно, воспользуемся теми же формулами (3.3.3 и 3.3.1) дляΘ2 и Θ2 и получим(︀)︀492 + 1 > (2 + 2) 60 + 1 .Первое число Хирцебруха 1 можно легко вычслить, в результате полу­чаем3− 22 + 4.2Тем самым, мы получаем одно из утверждений теоремы Гуана (3.1), что1 =3 ≤4(23 − 2 )(8 − 2 )(2 + 1).3.4.2.

Случай шестимерного О’ГрэдиКак показали О’Грэди и Рапаньетта ([O1, R]) второе число Бетти длямногообразия О’Грэди 6 равно восьми, а константа Фуджики равна 4 ([R]).Также Рапаньетте удалось вычислить эйлерову характеристику, она равна1920 ([R]).В своей работе ([R]) Рапаньетта использовал бирациональную симплек­тическую инволюцию схемы Гильберта трёх точек, которую также рассматри­вали Монгарди и Вандель в недавней работе про автоморфизмы, тривиальнодействующие на вторых когомологиях ([MW]). В частности, из их результа­тов следует, что нечётные числа Бетти равны нулю.Пусть является шестимерным гиперкэлеровыммногообразием с 2 = 8 и ( ) = 1920.

Тогда возможны следующие вариан­ты в зависимости от делимости 5 на 8:Предложение 3.4.1.∙ Если 5 = 8, то 3 = 4 , где ∈ [0, ] и 4 = 199 + 2 + 9 ,6 = 1504 + 12 − 10 , ℎ2,2 6 173 + 2 + ,46∙ Если 5 = 8 + 4, то 3 = 4 , где ∈ [0, ] и 4 = 200 + 2 + 9 ,6 = 1510 + 12 − 10 , ℎ2,2 6 174 + 2 + .∙ Если 5 = 0 (3 = 0 также), то 4 = 199, 6 = 1504, ℎ2,2 6 173 (случаймногообразия 6 ).Доказательство. Воспользуемся основным неравенством 3.3.4 и неравен­ством Саламона 2.4.3, а также вложением Sym3 ( 2 ( )) в 6 ( ) (2.4.4):97 +37195 233822 − 10302 + 75723 − 4 − + ℎ2,2 622222 + 1963 + 32 + 322 + 22 6 420 + 1802 + 364гдевовторомнеравенствемывоспользовалисьвложениемSym3 ( 2 ( )) ˓→ 6 ( ).Используя неравенство Саламона и эйлерову характеристику мнообра­зия О’Грэди 6 (2 = 8, = 1920), получаем1920 = 2 + 2 · 8 − 23 + 24 − 25 + 6 ,6 + 163 = 64 + 310,Дальше оставшееся утверждение про ℎ2,2 легко следует из 3.3.4.Замечание 3.4.2.

Недавно Монгарди, Рапаньетта и Сакка ([MRS]) удалосьопределить числа Ходжа для 6 . В своей работе они воспользовались ужеупомянутой инволюцией и подсчитали числа Ходжа для 6 :471010101017301730110006126000012114412000117317310601206010101001В случае шестимерного многообразия О’Грэди 6 неравенство 3.3.4 об­ращается в равенство.3.4.3. Шестимерные гиперкэлеровые многообразия⨁︀4Согласно 2.4.4 и [LL]=0 (, C) раскладывается в сумму неприво­димых представлений so(2 + 2, C) в соответствии с действием этой алгебрыЛи.При этом ромб Ходжа является проекцией на плоскость решётки весовso(2 + 2, C) [LL]. Положительные веса могут быть выбраны так, что доми­нантная клетка Вейля проецируется в октант ромба Ходжа.Случай размерности шесть изучен Сейвоном в [S-b2].

Он доказал следу­ющуюПусть – простое гиперкэлерово многообразие размерно­сти шесть, тогда 2 ( ) ≤ 23.Теорема 3.4.3.Доказательство следует из равенства Саламона 2.4.3 и соотношений начисла Бетти, получаемых из разбиения ромба Ходжа на неприводимые пред­ставления алгебры Ли so(2 +2).

Напомним, что в зависимости от чётности 2алгебра Ли so(2 + 2) имеет тип или . И, соответственно, имеется 2 + 248фундаментальных представления вида Λ C2 +2 , а также спинорные представ­ления. Остальные неприводимые представления – подмодули в тензорныхпроизведениях фундаментальных.Рассмотрим подробнее строение ромба Ходжа шестимерных гиперкэле­ровых многообразий, чтобы получить ограничения на числа Бетти из нера­венства 3.3.4.Положительные веса соответствуют элементам ромба Ходжа, при этомнеприводимое представление со старшим вектором 1 ∈ 0 (, C) в точностиподкольцо в кольце когомологий, порождённое 2 (, C). Напомним, что4 4 ( ) = Sym 2 ( ) ⊕ ( ).Соответственно, элементы из примитивной части четвёртых когомоло­3,12,2гий, лежащие в ( ) и ( ) также задают неприводимые модули.Таким образом, мы имеем следующие неприводимые модули∙ 1 , порождённое элементами 2,1 ( ) – спинорное представление,∙ 2 , порождённое элементами 3,1 ( ) – Λ2 C2 +2 размерности (2 +2)(2 +1)/2,∙ 3 , порождённое элементами 2,2 ( ) – C2 +2 размерности 2 + 2,∙ 4 , порождённое элементами 3,2 ( ) – спинорное представление,∙ 5 , порождённое элементами 3,3 ( ) – тривиальное размерности 1,Более того 2 сидит в ромбе Ходжа следующим образом (2 ):00000000000100000100022 −52 +102000490000000010000002 − 22 − 20012 − 22 − 200,А 3 сидит в ромбе Ходжа следующим образом (3 ):00000000000000000100000000000012 − 200000011000000000Таким образом, можно ролучить выражения для чисел Бетти 4 и 6 втерминах 2 ([S-b2]):(︂6 =)︂(︂ 2)︂(︂)︂2 + 22 − 2 + 22 + 1++ 2 + , 4 =+ 2 + .

(3.4.1)322где – кратность вхождения представления 2 в разложение когомоло­гий на неприводимые so(2 + 2, C)-модули, а – представления 3 .Равенство Саламона в случае шестимерных гиперкэлеровых многообра­зий принимает вид:184 − 483 + 902 + 210 = 36 .Подставляя в это равенство формулы 3.4.1, можно получить, что 2 ≤23.

А используя 3.3.3, мы можем доказать и следующую теорему.Теорема 3.4.4.Пусть – гиперкэлерово многообразие размерности шестьс 5 = 0. Тогда(1) Если 2 = 23, то возможны следующие комбинации чисел Бетти504 299 276 + 6 2554 2422 + 6где – от 0 до 10.(2) Равенство в 3.3.4 возможно при следующих значениях 2 –3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 17, 19, 23.Доказательство.

Подставляя 3.4.1 в неравенство 3.3.4, получаем:(222(3822 − 10302 + 7572)− 222 + 23) + 2 + (22 − 23) + 97 ≤2 + 1(3.4.2)Если 2 = 23, то получаем2 + 23 ≤ 23,поскольку числа , – целые, то отсюда следует (1).Чтобы получить (2) достаточно заметить, что левая часть 3.4.2 всегдацелая, при равенстве правая часть тоже должна быть целой, это возможно,только при приведённых значениях 2 .3.5. Ограничения на2в размерностях восемь и десятьЧтобы найти ограничения в размерностях восемь и десять мы исполь­зуем метод, описанный Сейвоном [S-b2].

Действительно, как мы уже знаем,so(2 + 2, C) действует на когомологиях.Пусть – восьмимерное простое гиперкэлерово многооб­разие с 2+1 (, C) = 0. Тогда 2 6 24.Теорема 3.5.1.Замечание 3.5.2. Из 2+1 (, C) = 0 следует, что зануляются все нечётныечисла Бетти.Доказательство. Также как и в размерности четыре и шесть, выразим 4 , 6 ,и 8 в терминах 2 и кратности других представлений.Рассмотрим действие so(2 + 2, C) на комплексных когомологиях много­3,1образия . Элемент ( ) порождает неприводимый so(2 + 2, C)-модуль( +2)( +1)2. В ромб Ходжа он входит какразмерности 2 6 2510000000000000ℎ2 −ℎ+42h000010001000ℎ00000100010000ℎ000ℎ2 −ℎ+42ℎ0010ℎ2 −ℎ+4200ℎℎ3 −3ℎ2 −10ℎ−606ℎ000ℎ2 −ℎ+42ℎ01010ℎ000100000000Аналогично, мы имеем неприводимый so(2 + 2, C)-модуль, задаваемый2,2, которые не лежат в модуле, порождённом вторыми ко­теми элементами 3,1гомологиями, и в модулях, порождённых элементами из .

В ромб Ходжаон входит следующим образом000000000000001000000000000000001100000000ℎ1000ℎ2 −ℎ−4201ℎ000ℎℎ0000011100000000000000000Напомним, что 4 =3,1происходит из .(2 +1)222,2+ 2 + , где – та часть , которая не52Таким образом первый модуль даёт вклад в 8 ( ))︂(︂ 3)︂ℎ3 + 3ℎ2 − 4ℎ − 362 − 322 − 42 − 24=,66(︁ 2)︁(︁ 2 )︁(︁ 2)︁2 −2 −2ℎ −ℎ−4ℎ +3ℎвторой – + 2ℎ + 2 = =.222(︂Ясно, что в 8 ( ) есть элементы, которые приходят из тойчасти 6 ( ), которая не задаётся элементами Sym3 2 и двумя2,23,1.и so (2 + 2, C)-модулями, порождёнными элементами из (︂ 2)︂(2 + 2) (2 + 1) 22 − 2 + 26 =++ 2 + 623,3части задаёт so (2 + 2, C)-модуль размерностиКаждый элемент из (2 + 2). Это даёт в 8 следующий вклад (2 ).Таким образом, для 8 имеем(2 + 3) (2 + 2) (2 + 1) 28 >+24(︂32 − 322 − 42 − 246)︂(︂+22 − 2 − 22)︂+ 2Из соотношения Саламона (2.4.3) следует, что(︂22 − 2 + 22)︂(2 + 1) 2+ 2 + ++ 82 + 8 + 442+1042 + 188 + 7 − 713 − 235 >(︂ 3)︂(︂ 2)︂2(2 + 3) (2 + 2) (2 + 1) 22 − 32 − 42 − 242 − 2 − 2+ 2+ 2+ 22>22462(2 + 2) (2 + 1) 2+ 88·6)︂(︂Преобразуем, перенеся все члены, возникающие из симметрических степенейналево, всё остальное, кроме 7 налево:−2(︂)︂(2 + 2) (2 + 1) 2(2 + 1) 2(2 + 3) (2 + 2) (2 + 1) 2+8·+ 44+ 1042 + 188 + 7 >2462(︂ 3)︂(︀)︀ − 1522 − 1242 − 48> 2+ 22 − 92 − 46 + 2 (2 − 4) + 713 + 2353Левая часть−42 +1032 +30122 +5302 +225612+ 7 .Все нечётные числа Бетти нулевые, поэтому левая часть неотрицательна2 > 24, а правая часть положительна.53Замечание 3.5.3.