Диссертация (Числа Бетти и трианалитические подмногообразия гиперкэлеровых многообразий), страница 5

Опреде­лим ориентацию графа Γ как класс эквивалентности цикличных порядковв каждой вершине, два таких порядка эквивалентны, если отличаются начётном числе вершин. Зафиксируем ориентацию графа и рассмотрим тензорΦ ⊗ Φ ⊗ · · · ⊗ Φ с 2 сомножителями. Если вершины и ( < ) со­единены ребром, то свернём тензор с Ω̃ на * , двойственной к Ω. Заметим,что при переходе к двойственному базису матрица Ω для Ω̃ является минусобратной к Ω .

В результате получаем, Ω Φ ⊗ · · · ⊗ Φ ... ⊗ · · · ⊗ Φ ... ⊗ · · · ⊗ Φ,где , = 1, если ребро ориентировано от к и , = −1 иначе. Проде­лав такую операцию по всем 3 рёбрам, мы получаем сечение ¯* ⊗ · · · ⊗ ¯* .27Спроецировав на внешнее произведение, получаем формуΓ(Φ) ∈ Ω0,2 .Определение 2.3.2. Инвариантом Розанского-Виттена для тривалентногографа Γ на гиперкэлеровом многообразии называетсяZ1Γ ( ) =Γ(Φ) .(2.3.1)2(8 ) !Замечание 2.3.3. Множитель в 2.3.1 нужен для того, чтобы инвариант былкорректно определён для произведений гиперкэлеровых многообразий [HS].Инварианты Розанского-Виттена постоянны на компонентах связностипространства модулей гиперкэлеровых метрик на , это проще всего сле­дует из интерпретации инвариантов Розанского-Виттена через когомологииДольбо (Капранов [Kapr]).2.4.

Когомологии гиперкэлеровых многообразийВ этом разделе мы напомним основные результаты, связанные с когомо­логиями гиперкэлеровых многообразий, в частности, неравенство Саламона[Sa], теоремы Вербицкого [V8] и Луенги-Лунца [LL].Ромб Ходжа и его свойстваПусть является компактным кэлеровым многообразием комплекснойразмерности . Числа Ходжа ℎ, обозначают размерности соответствующихкогомологий Дольбо. Для гиперкэлеровых многообразий естественным обра­зом выполнены следующие симметрии для ромба Ходжа, выполненные такжеи для кэлеровых многообразий:ℎ, = ℎ−,− = ℎ, .(2.4.1)Если компактное гиперкэлерово многообразие вещественной размер­ности 4, то мы можем получить и другие равенства на числа Ходжа.28В частности, Фуджики ([F]) показал, что умножение на голоморфно сим­плектическую форму задаёт отображение , → +2, , которое инъективнопри + 1 ≤ , и ( − )-ая его степень – изоморфизм.Тем самым,(2.4.2)ℎ, = ℎ2−, .Это также следует из теоремы Вербицкого (2.4.4) о действии алгебрыЛи so(5) на когомологиях, которая будет приведена ниже (см.

раздел 2.4).Более того, Вакакува ([W]), исследуя действие Sp() на пространствегармонических форм, доказал, что(︃2 >+22)︃для 6 , и, что нечётные числа Бетти 2+1 делятся на 4. ТакжеФуджики ([F]) доказал, что ℎ, > ℎ+1,−1 , если > .Замечание 2.4.1. Первое число Бетти 1 для простого гиперкэлерового мно­гообразия равно нулю по определению, но в общем случае нечётные числаБетти могут быть ненулевыми, например, 3 (2 ( )) = 8.Равенство СаламонаСимметрии чисел Ходжа 2.4.1 и 2.4.2 в применении к формуле Хирцеб­руха-Римана-Рохапозволяют получить следующее утверждение.[S, Theorem 4.1.] Пусть – компактное кэлеровомногообразие вещественной размерности = 2 = 4 с числами Ходжа,удовлетворяющими соотношению 2.4.2. ТогдаПредложение 2.4.2.(︂)︂ Z1 ∑︁12(−1) 6 − (3 + 1) = 1 −12 =02Если многообразие – гиперкэлерово, то 1 = 0, а, значит выполненоравенство Саламона ([Sa]):294∑︁(︀)︀(−1) 62 − (6 + 1) = 0(2.4.3)=0Из результатов Вакакува следует, что () делится на 24, где () –эйлерова характеристика.Замечание 2.4.3.

Для 3 поверхности эйлерова характеристика равна 24.Также делимость на 24 была показана Гриценко и Хирцебрухом [GrH].Неравенство Саламона 2.4.3 может быть переписано в терминах эёлеро­вой характеристики:4∑︁(−1) 62 = (6 + 1) () ,=0где () – эйлерова характеристика гиперкэлерового многообразия .Действие алгебры Ли(2 + 2)на когомологияхОписание кольца когомологий в случае схемы Гильберта 3 поверхно­сти получено Леном и Зоргером ([LS]), затем Накаджима посчитал базискогомологий [N]. Числа Бетти и Ходжа были определены в работе Гётше иЗоргеля ([GS]).В общем случае произвольного гиперкэлерового многообразия для чёт­ных когомологий выполнена следующая теорема ([V8, V9])Пусть – неприводимое гиперкэлерово многообразие ком­плексной размерности 2 и пусть 2 ( ,C)⊂ * (, C) – подалгебра, по­⃒⟨︀рождённая 2 (, C). Тогда 2 (, C) = * 2 (, C)/ +1 ⃒ () = 0 ⟩ ,где форма Бовиля-Богомолова-Фуджики.Теорема 2.4.4.Замечание 2.4.5.

Из этой теоремы следует вложение Sym 2 ( ) ˓→ 2 .При этом теорема 2.4.4 ничего не говорит про нечётные когомологии и тучасть чётных когомологий, которые не лежат в 2 ( ,C).Пусть – кэлерово многообразие размерности 2. Тогда для любогокэлерового класса ∈ 1,1 ( ) возникает sl(2)-представление:30 : sl(2) → End( * ( )),заданное умножением на :(︃ := 0 10 0)︃,двойственным оператором Лефшеца:0 01 0)︃1 00 −1)︃(︃Λ := и оператором Ходжа(︃ := ,такой что | ( ) = (2 − ) · . Алгебра Ли, порождённая , , (sl(2)),изоморфна so(4, 1).

В эту алгебру также входят коммутаторы =[ , Λ ], = [ , Λ ], = [ , Λ ].([V9]). Пусть g ⊂ (Λ* * ) – алгебра Ли, порождённаяоператорами , Λ , , , , . Тогда g изоморфна so(4, 1).Теорема 2.4.6Замечание 2.4.7. Операторы ( = , , ) имеют степень 2, Λ ( =, , ) имеют степень -2, – степень ноль. Заметим также, что, напри­мер, оператор имеет вид ( − )Π , где Π является проекцией напространство (, ) -форм.Пусть – гиперкэлерово многообразие. Для индуцированной комплекс­ной структуры на рассмотрим кэлерову форму = (·, ·), где (·, ·)риманова форма. Обозначим через , как и раньше, оператор внешнегоумножения на . Двойственный оператор *−1 * обозначается через Λ .Тогда из теоремы 2.4.4 имеется следующее следствие.([V9]).

Пусть – гиперкэлерово многообразие и aℋ алгеб­ра Ли, порождённая и Λ для всех индуцированных комплексных струк­тур на . Тогда алгебра Ли aℋ изоморфна so(4, 1).Следствие 2.4.831Из теоремы 2.4.6 следует утверждение ([LL]):([LL]). Структура Ходжа на кольце когомологий * ( )простого гиперкэлерового многообразия полностью определяется струк­турой Ходжа на 2 ( ) и действием 2 ( ) на * ( ).Следствие 2.4.9Подалгебра, порождённая 2 ( ) может быть посчитана явно, в частно­сти, теорему 2.4.4 можно переписать в следующем виде:([V8]). Пусть является компактным простым гиперк­элеровым многообразием, dimC = 2 и * ( ) – подалгебра в когомологи­ях, порождённая 2 ( ). ТогдаТеорема 2.4.102 ( ) ∼= 2 ( ) 2 ( ) ∼= 2− 2 ( ) 6 ,>Если мы будем рассматривать алгебру Ли, порождённуюsl(2)-представлениями для всех классов в 2 ( ), то эта алгебра на­зывается общей алгеброй Ли g .

Эта алгебра Ли была описана в работахВербицкого ([V8]) и Луенги-Лунца ([LL]).Общая алгебра Ли гиперкэлерового многообразия изо­морфна so(( 2 ( ), ) ⊕ ), где – гиперболическая плоскость.Теорема 2.4.11.Из этой теоремы 2.4.11 следует, что когомологии неприводимого гиперк­элерового многообразия распадаются в сумму неприводимых представленийалгебры Ли so(4, 2 − 2).

Об этом речь пойдёт в разделах 3.4.3 и 3.5.В случае рассмотрения целочисленных когомологий даже длясхемы Гильберта над 3 строение когомологий является непро­стым вопросом. В частности, недавно было доказано, что фактор 4 (Hilb (3, Z))/ Sym2 2 (, Z) содержит элементы конечного поряд­ка при = 2, 3 ([BNS, Kap]). Для схемы Гильберта трёх точек Капфериспользовал компьютерные вычисления, исходя из базиса Накаджимы для32когомологий схемы Гильберта [N]. Для ≥ 4 Маркман ([Ma]) ранее показал,что фактор – свободная группа порядка 24.Теорема 2.4.12([BNS, Kap, Ma]).

Пусть – схема Гильберта точек на3. Тогда(1) 4 (,Z)Sym2 2 (,Z)Z ⊕23= ( 2Z) ⊕(2) 4 (,Z)Sym2 2 (,Z)=(3) 4 (,Z)Sym2 2 (,Z)= Z⊕24 при ≥ 4.Z3ZZ5Zпри = 2,⊕ Z⊕23 при = 3,33Глава 3Ограничения на числа Бетти гиперкэлеровыхмногообразийВ этой главе мы рассмотрим методы обобщения теоремы Гуана 3.1.1 нагиперкэлеровые многообразия большей размерности. В частности, используяинварианты Розанского-Виттена можно получить неравенство, связывающеечисла Бетти в размерности шесть, основной результат Теоремы Гуана в этомслучае будет простым следствием из неравенства на инварианты Розанского­Виттена. Помимо этого мы используем недавние результаты Сейвона ([S-b2])для простых гиперкэлеровых многообразий размерности шесть и получимследствия из нашего основного неравенства.

Предварительные сведения обизвестных примерах гиперкэлеровых многообразиях и свойствах когомоло­гий гиперкэлеровых многообразиях можно прочесть в разделах 2.1, 2.4. Ос­новные результаты данной главы опубликованы в [Ku1, Ku3, Ku5].В разделе 3.1 мы напомним теорему Гуана и результаты по четырёх­мерным гиперкэлеровым многообразиям, а также рассмотрим те методы, ко­торые впоследствии будут нами использованы для получения результатовв больших размерностях. В разделе 3.2 мы рассмотрим инварианты Розан­ского-Виттена для простейших графов и получим неравенство для инвари­антов Розанского-Виттена.

В разделе 3.3 мы докажем основной результат –неравенство, связывающие числа Бетти гиперкэлеровых многообразий в раз­мерности шесть. Затем в разделе 3.4 мы используем основное неравенстводля получения различных следствий для шестимерных гиперкэлеровых мно­гообразий. В разделе 3.5 мы рассмотрим случаи многообразий размерностивосемь и десять, а также сформулируем гипотезу об ограниченности 2 в об­щем случае.3.1.

Четырёхмерные гиперкэлеровы многообразияДля гиперкэлеровых многообразий комплексной размерности четыре Гу­ану удалось доказать, что существует конечное число возможностей для чи­сел Бетти, а именно34Если неприводимое гиперкэлеровое многообразие ком­плексной размерности четыре, тоТеорема 3.1.1.∙ если 2 = 23, то 3 = 0, то ромб Ходжа такой же, как у схемыГильберта двух точек над 3,∙ если 2 ̸= 23, то 2 6 8, и если 2 = 8, то 3 = 0.∙ в случае, если 2 = 7, то 3 = 0 или 8.∙ в случае, если 2 = 3, 4, 5, 6, то возможны следующие случаи2 3456.3 4, 6 17 4, 6 15 4, 6 9 4, 6 4∙ второй класс Черна лежит в алгебре (4) , порождённой 2 ( ) еслии только, если(2 , 3 ) = (5, 36), (7, 8), (8, 0), (23, 0).Доказательство ограниченности второго числа Бетти опирается на ре­зультат Вербицкого о вложении Sym ( 2 ( )) в 2 ( ) 2.4.4, [LL].

Чтобыполучить ограничения на 3 Гуан в своей работе [Gu] использовал следующийрезультат для полиномов от чётных классов Черна:Пусть – компактное гиперкэлерово многообразие, – полином от чётных классов Черна степени 4. Тогда числоПредложение 3.1.2.Z() =Z2−2независит от ∈ 2 ( ) таких, что/( 2 )R−2 ̸= 0.Используя соотношения Ходжа-Римана ([GH, p. 123]) можно получить35Пусть – неприводимое компактное гиперкэлеровомногообразие комплексной размерности четыре, тогдаПредложение 3.1.3.32 (2 ())2 ≥ (2 + 2)22 [ ]и равенство выполняется только в том случае, если 2 ∈ Λ2 ( 2 ).В качестве следствия Предложений 3.1.2 и 3.1.3 Гуан получилЕсли неприводимое гиперкэлеровое многообразиекомплексной размерности четыре, тоПредложение 3.1.4.3 ≥4(23 − 2 )(8 − 2 )(2 + 1)(3.1.1)Заметим, что третий пункт теоремы из Предложения 3.1.4 не следует.Согласно Вакавуке ([W]) нечётные числа Бетти делятся на четыре.

В случаеже четырёхмерных гиперкэлеровых многообразий верно следующее утвер­ждение:Пусть – неприводимое компактное гиперкэлеро­2 −1во многообразие комплексной размерности четыре, тогда 3 = 2 2 длянекоторого целого . В частности, если 2 = 7, то 3 = 8 .Предложение 3.1.5.Это предложение следует из результатов Вербицкого и Луенги-Лунца(Теорема 2.4.4, [LL]). В самом деле, алгебра Ли so (4, 2 − 2) действует накольце когомологий гиперкэлерового многообразия (см. раздел 2.4).