Диссертация (Агентная модель поведения толпы в условиях чрезвычайной ситуации для оценки интенсивности фронта выходного потока), страница 15

Пусть e ⊂ Ω ∩ Rn−1. Тогда существует такая константа c итакая константа k, зависящая только от n, чтоn−2cap ϕ−c (e,Ω) ≥ k(mn−1(e)) n−1 ,где ms – s-мерная мера Лебега.Доказательство. Для доказательства достаточно применить неравенствоkukL 2 (n−1 ) (Rn−1 ) ≤ ck∇ukL2 (Rn )n−2к произвольной функции u ∈ Mϕ−c (e,Ω).С учетом [87], полезно иметь в виду следующие соотношения:Если n > 2, тоcap ϕ (Br ) = cϕ rn−2.Если n = 2, тоcap ϕ (Br ) = cϕ (log(2/r))−1.Лемма 6. Пусть n > 2 и e – континуум с диаметром d.

Тогдаcap ϕ (e) ∼ dn−2.xДоказательство. Заключим e в шар B d с радиусом d (далее, просто Bd ), гдеx ∈ e, и обозначим через B2d концентрический шар с радиусом 2d. Используямонотонность емкости, получаемcap ϕ (e) ≤ cap ϕ (B d ) = c1,ϕ dn−2.Пусть O и P – точки компакта e, |O − P | = d. Направим ось Oxn от точки Oк точке P . Введем обозначения: x = (x′,xn), x′ = (x1, . . .

, xn−1), e(t) = e ∩ {x :(n−1)xn = t}, B2d (t) = B2d ∩ {x : xn = t}, ∇′ = (∂/∂x1, . . . ,∂/∂xn−1). Для любойфункции u ∈ Mϕ (e,B2d)ZB2d|∇u|2dx ≥Zd0dtZ(n−1)B2d|∇′ u|2 dx′ ≥(t)Zd0(n−1)cap ϕ (e(t),B2d(t))dt.108Так как e(t) 6= ∅, e(t) ⊂ B d , то(n−1)cap ϕ (e(t),B2d(t)) ≥ c2,ϕ dn−3.Минимизируя k∇uk2L2 (B2d ) на множестве Mϕ (e,B2d), получаемcap ϕ (e, B2d) ≥c2,ϕ n−2d .n−2Остается воспользоваться оценкой (3.16).Лемма 7.

Пусть n = 2 и e – континуум с диаметром d, 2d < D. Тогдаcap ϕ (e, BD ) ∼ (log(D/d))−1,где BD – открытый шар с радиусом D и центром O ∈ e.Доказательство. Сначала оценим емкость сверху. Пусть Bd = {x : |x| < d}.Определим на множестве BD \ Bd функцию v : v(x) = (log(D/d))−1 log(D/|x|)и обозначим через α функцию из C ∞[0,1], равную нулю вблизи точки t = 0, ϕвблизи t = 1.

Пусть еще u(x) = α(v(x)) при x ∈ BD \ Bd , u(x) = ϕ в Bd иu(x) = 0 вне BD . Очевидно, что u ∈ Mϕ (B d ,BD ). Кроме того, легко видеть, что|∇u(x)| ≤ cϕ (log(D/d))−1|x|−1 на BD \ Bd . Отсюда получаемcap ϕ (B d , BD ) ≤Z|∇u(x)|2dx ≤ cϕ (log(D/d))−2BDZ|x|−2dx = cϕ (log(D/d))−1.BD \BdПерейдем к доказательству нижней оценки емкости. Пусть P и Q – точкимножества e, удаленные на расстояние d. Обозначим через (r, ω) сферическиекоординаты точки в системе с центром Q, r > 0, ω ∈ S n−1 и через u – функциюQиз Mϕ (e,B2D), такую, чтоZ|∇u(x)|2dx ≤ γ − ε,QB2DQгде γ = cap ϕ (e, B2D) ≤ cap ϕ (e, BD ), а ε – малое положительное число. Введемеще функцию U (r) = ku(r,·)kL2 (S n−1 ) . Так как, по крайней мере, в одной точкесферы {x : |x| = r}, где r < d, функция u равна109Лемма 8.

Пусть Cδ,d – цилиндр {x = (x′, xn) : |x′ | ≤ δ, |xn| ≤ d/2}, где 0 < 2δ <d и Q2d = {x : |xi | < d}. Справедливы o-отношенияcap ϕ (Cδ,d , Q2d) ∼dδ n−3,если n > 3d(log(d/δ))−1,если n = 3.Доказательство. Пусть u ∈ Mϕ (Cδ,d, Q2d). Очевидно, чтоZ2|∇u| dx ≥Q2dZd/2dxn−d/2Z|∇′ u|2 dx′,(3.17)(n−1)Q2d(n−1)где ∇′ = (∂/∂x1, .

. . ,∂/∂xn−1), Q2d= {x′ : |xi | < d, i = 1, . . . ,n − 1}.Внутренний интеграл в правой части неравенства (3.17) не меньше, чем(n−1)(n−1)(n−1)cap ϕ (Bδ, Bρ), где Bρ– (n − 1)-мерный шар {x′ : |x′ | < ρ} и ρ =2(n − 1)1/2d. Отсюда и из лемм 6 и 7 получаем, что этот интеграл мажорируетсяcδ n−3 при n > 3 и c(log(d/δ))−1 при n = 3. Минимизируя левую часть неравенства (3.17) на множестве Mϕ (Cδ,d, Q2d), получаем требуемую оценку емкостиснизу.Перейдем к выводу верхней оценки. Пусть u(x′) – гладкая функция с носи(n−1)(n−1)телем в шаре Bd, равная ϕ в окрестности шара Bρ.

Введем еще функциюηd равенством ηd (x) = η(x/d), где η ∈ R(Q1, Q2). Так как функция ηd (x)u(x′)принадлежит классу Mϕ (Cδ,d, Q2d), тоcap ϕ (Cδ,d, Q2d) ≤ZQ2d2|∇(ηd u)| dx ≤ cdZ|∇′ u|2dx′ .(n−1)BdМинимизируя последний интеграл и использую леммы 6 и 7, получаем требуемую верхнюю оценку емкости.1103.3ВыводыВ третьей главе дано определение понятия “фронта выхода” и интенсивности фронта выходного потока. Описана зависимость интенсивности потокаи эффективности процесса эвакуации при возникновении ЧС. Сформулированакраевая задача для эллиптических систем, заданных в неограниченных областях,решение которых соответствуют максимальной интенсивности потока.

Получены прямая и обратная теоремы существования решения для таких систем.111ЗаключениеВ ходе работы были получены следующие основные результаты:1. Разработана имитационная агентная модель поведения толпы в условиях ЧС, основанная на индивидуальной системе принятия решенийагентов, новизной которой является учет как многофакторности системы принятия решений агентами, так и стохастичности ряда процессов, вчастности, учет влияния факторов внешней среды (стены, другие агенты, препятствия, взрыв и т.д.) на систему принятия решений агентом,учет радиуса личного пространства агентов и эффекта турбулентноститолпы, детальная параметризация начального распределения агентов.Указанная модель была реализована в системе имитационного моделирования AnyLogic.2.

C целью повышения временной эффективности модели разработан эволюционный алгоритм нечеткой кластеризации, учитывающий факт наличия препятствий на пути следования агента, с учетом текущего направления движения агента, позволяющий существенно улучшить точность идентификации таксонов (кластеров толпы).3. Доказана прямая и обратная теоремы существования решения дляпервой краевой задачи, определяющие максимальную интенсивностьюфронта выходного потока при эвакуации.4. Впервые получена аналитическая зависимость между параметрами модели и динамикой таксонов (кластеров) при эвакуации.5.

Разработан комплекс программ, отличающийся интеграцией имитационной модели поведения толпы с эволюционным алгоритмом нечеткойкластеризации, модулем кластерного анализа и базой данных системы,а также обеспечивающий возможность дальнейшего развития модели засчет объектно-ориентированного подхода.Построенный комплекс программ отвечает требованиям прогнозирования, учетаспецифики агентов, а также требованиям быстродействия, основанным на законодательных актах. Разработанный программный комплекс внедрен в деятельность компании специализирующейся на проектировании систем пожарной безопасности и видеонаблюдений (ООО “ГЕНКЕЙ-ТЕЛЕКОМ”, приложение А.1).112Список сокращений и условных обозначенийБД - База данныхОС - Операционная системаРАН - Российская академия наукСУБД - Система управления базами данныхЧС - Чрезвычайная ситуацияIDE - Integrated Development EnvironmentJDBC - Java DataBase ConnectivityODBC - Open Database Connectivity113Словарь терминовТолпа - Бесструктурное скопление людей, лишенных ясно осознаваемойобщности целей, но связанных между собой сходством эмоционального состояния и общим объектом вниманияAnyLogic - Программное обеспечение для имитационного моделированияMicrosoft SQL Server - Система управления реляционными базами данныхRStudio - Среда разработки программного обеспечения для языка программирования RWindows - Семейство операционных систем корпорации Microsoft114Список литературы1.

Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. — М.: Финансы и статистика, 1985. — 487 с.2. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности /С. А. Айвазян, В. М. Бухштабер, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин. — М.:Финансы и статистика, 1989. — 607 с.3.

Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. — М.: Финансы истатистика, 1983. — 471 с.4. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика. Основы эконометрики: учебник для вузов в 2 т. — 2-е изд., испр. изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА,2001.

— Т. Т. 1. Теория вероятностей и прикладная статистика. — 656 с.5. Айвазян С. А. Прикладная статистика. Основы эконометрики: учебник длявузов в 2 т. — 2-е изд., испр. изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. — Т. Т. 2.Основы эконометрики. — 432 с.6. Акопов А. С. Имитационное моделирование: учебник и практикум для академического бакалавриата.

— М.: Юрайт, 2014. — 389 с.7. Андреева Г. М. Социальная психология. Учебник для высших учебных заведении. — М.: Аспект-Пресс, 2001. — 290 с.8. Аптуков А. М., Брацун Д. А. Моделирование групповой динамики толпы,паникующей в ограниченном пространстве // Вестник Пермского университета. Механика. — 2009. — № 3. — С. 18–23.9. Аптуков А. М., Брацун Д.

А., Люшнин А. В. Моделирование поведения паникующей толпы в многоуровневом разветвленном помещении // Компьютерные исследования и моделирование. — 2013. — Т. 5, № 3. — С. 491–508.10. Микро- и макромодели социальных сетей: идентификация и имитационныеэксперименты / А. В. Батов, В. В. Бреер, Д. А. Новиков, А. Д. Рогаткин //Проблемы управления. — 2014. — № 6. — С.

45–51.11511. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.:Бином. Лаборатория знаний, 2011. — 640 с.12. Бекларян А. Л. Имитационная модель поведения толпы в среде разработкиAnyLogic // Вестник Бурятского государственного университета. — 2015.— № 9. — С. 40–53.13. Бекларян А. Л., Акопов А. С. Моделирование поведения толпы на основеинтеллектуальной динамики взаимодействующих агентов // Бизнес-информатика. — 2015. — Т. 31, № 1. — С. 69–77.14.