Диссертация (Агентная модель поведения толпы в условиях чрезвычайной ситуации для оценки интенсивности фронта выходного потока), страница 12

Если ω = Rn , то вместо cap ϕ (E,Rn) будемK⊂ Eписать cap ϕ (E).Нам также потребуется следующая емкость ( [31] с. 326):Cap(K,W21 (ω)) =infψ∈ R(K, ω)Zω|ψ|2 dx +Zω|∇ψ| 2 dx .Емкость произвольного замкнутого в Rn множества E ⊂ ω определяется формулой Cap(E,W21 (ω)) = sup Cap(K,W21 (ω)).K⊂ EИз определения емкости cap ϕ (E,ω) непосредственно вытекают следующиедва свойства.Монотонность. Если e1 ⊂ e2 и Ω1 ⊃ Ω2, тоcap ϕ (e1,Ω1) ≤ cap ϕ (e2 ,Ω2).Непрерывность справа. Для каждого ε > 0 существует такая окрестностьω, ω ⊂ Ω компакта e, что для любого компакта e′ , e ⊂ e′ ⊂ ωcap ϕ (e′ ,Ω) ≤ cap ϕ (e,Ω) + ε.Обозначим через W2−1 пространство линейных непрерывных функционалов на W21 .

Множество E ⊂ Rn назовем (2,1)-полярным, если единственнымэлементом из W21 с носителем в E является нуль ( [31] с. 331).793.2.2Постановка задачиЗдесь и далее L – дивергентный эллиптический оператор, то естьnX∂∂L=aij (x),∂x∂xiji,j=1где aij – измеримые ограниченные функции, удовлетворяющие условию2c1 |ξ| ≤nXaij (x) ξi ξj ≤ c2 |ξ|2ξ ∈ Rn ,c1 , c2 > 0.i,j=1Решением задачи ДирихлеLuu|∂Ω=0 вΩ(3.2)= ϕ,где ϕ ∈ W21, loc (Rn ), называется функция u ∈ W21, loc (Ω) такая что:oo1) u − ϕ ∈ W 12 , loc (Ω), т.е. (u − ϕ)µ ∈ W 12 (Ω) для любой функции µ ∈C0∞( Rn );2) функция u имеет ограниченный интеграл ДирихлеZ|∇u|2dx < ∞ ;Ω3)Z XnΩ i,j=1aij (x)∂u ∂ψdx = 0∂xj ∂xiдля любой функции ψ ∈ C0∞(Ω).3.2.3Основные результатыСформулируем ряд утверждений относительно краевой задачи (3.2).80Теорема 1.

Пусть cap ϕ− c (Rn \ Ω) < ∞ для некоторой константы c ∈ Rn . Тогдакраевая задача (3.2) имеет решение. Теорема 2. Пусть краевая задача (3.2) имеет решение и верно, чтоZ|∇ϕ|2 dx < ∞ .Rn \ΩТогда существует такая константа c ∈ Rn , что cap ϕ− c (Rn \ Ω) < ∞. Теорема 3. Пусть n ≥ 2. Тогда cap ϕ− c(Rn \ Ω) < ∞ тогда и только тогда,когда∞Xcap ϕ− c ((B rk+1 \ Brk−1 ) ∩ (Rn \ Ω),Brk+2 \ B rk−2 ) < ∞ ,k=1где2k , если n ≥ 3rk =22k , если n = 2Пусть ω ⊂ Rn — ограниченная липшицева область и µ – мера в ω такая,чтоsupx∈Rn , ρ>0ρ1−n µ(Bρx ∩ ω) < ∞,Тогда для любой функции v ∈ W21 (ω) существует c ∈ R такое, чтоσ(ω,µ)kv − ckL2 (ω,µ) ≤ k∇vkL2 (ω) ,(3.3)где постоянная σ(ω,µ) > 0 не зависит от v [31, §1.4.5].Теорема 4.

Пусть краевая задача (3.2) имеет решение и µk — семейство мер вωk , k = 1,2, . . ., попарно не пересекающихся ограниченных липшицевых областейв Rn , удовлетворяющие условиямsupx∈Rn , ρ>0ρ1−nµk (Bρx ∩ ωk ) < ∞,∞ ZXk=1ωk \Ω|∇ϕ|2dx < ∞.(3.4)81Тогда∞Xσ 2 (ωk ,µk )m2k (ϕ) < ∞,(3.5)k=1где σ(ωk ,µk ) — коэффициент в неравенстве (3.3) и mk (ϕ) = inf c∈R kϕ −ckL2 (ωk \Ω,µk ) . Для доказательства теорем 1 – 4 нам понадобится ряд вспомогательныхутверждений.Неравенство из следующей леммы является достаточно известным (например, [50] с. 288, с.

398) и встречается в различных модификациях. Тем не менее,в целях полноты изложения приведем подробное доказательство неравенства.Лемма 1 (Частное неравенство Харди). Пусть ψ ∈ C0∞(Rn ) и n ≥ 3. ТогдаZ2|∇ψ| dx ≥ kRnZ|ψ|2dx ,|x|2Rnгде константа k не зависит от u.Доказательство. Перейдем к полярным координатам. Тогда интеграл в правойчасти неравенства приобретает видZdSZ∞|ψ|2 n−1rdr ,r20где первый интеграл берется по всем угловым координатам. Фиксируем угловыекоординаты и получаем цепочку преобразованийZ∞02|ψ| n−1rdr =r2Z∞|ψ 2 | rn−3 dr =01n−2Z∞′|ψ|2 (rn−2) dr =0∞Z∞1=(rn−2 |ψ|2 − 2 |ψ| |ψ|′ rn−2 dr).n−2r=00Первое слагаемое в финальной скобке, очевидно, равняется нулю, т.к.

ψ – пробная функция. Оценим модуль второго слагаемого, используя неравенство ab ≤82n−1n−3ε a2 + ε1 b 2, считая a = |ψ| r 2 , b = r 2 |ψ ′ | .∞ZZ∞ 2 |ψ| |ψ|′ rn−2 dr ≤ 2 |ψ| |ψ ′ | rn−2 dr ≤00 ∞Z∞Z1|ψ ′ |2 rn−1 dr .≤ 2 ε |ψ|2 rn−3 dr +ε00Таким образом, получаем цепочку неравенствZ∞2|ψ|2 rn−3 dr ≤n−20≤2εn−2Z∞Z∞|ψ| |ψ ′ | rn−2 dr ≤0|ψ|2 rn−3 dr +2ε(n − 2)0Z∞|ψ ′ |2 rn−1 dr .0Следовательно, переносом первого слагаемого в левую часть получаем(1 −2ε)n−2Z∞|ψ|2 rn−3 dr ≤2ε(n − 2)0Z∞|ψ ′ |2 rn−1 dr .0С учетом того, что |ψ ′ |2 ≤ |∇ψ|2 , а rn−1 символизирует собой якобиан перехода кполярным координатам, после возвращения к исходным координатам получаемZ2|∇ψ| dx ≥ kRnZ|ψ|2dx,.|x|2RnЗамечание.

Взяв последовательность {ψk } ∈ C0∞ (Rn ) фундаментальную в L12 ,то есть в полунормеk · kL12 (Rn ) = ZRn 21|∇ψ|2 dx ,83мы очевидным образом из частного неравенства Харди получим фундаментальность этой последовательности в метрикеk·k= Z|∇ψ|2 dx +RnZRn2 12|ψ|dx .2|x|oСледовательно, частное неравенство Харди справедливо и для ψ ∈L12 (Rn ).На основе полученного частного неравенства Харди будет получена некоторая модификация общего неравенства Харди. Такая модификация неравенстваХарди, за счет конструктивной модификации правой части неравенства, позволит нам расширить класс функций, для которых оно оказывается справедливым.Лемма 2 (Общее неравенство Харди).

Пусть u ∈ L12 (Rn ) и n ≥ 3. Тогда существует такая константа c, что справедливо неравенствоZ2|∇u| dx ≥ kRnZ|u − c|2dx ,|x|2Rnгде константа k не зависит от u.Доказательство. То, что u принадлежит пространству L12 (Rn ), эквивалентно тому, чтоZ|∇u|2 dx < ∞ .RnoРазложим пространство L12 (Rn ) в прямое произведение L 12 (Rn) и его ортогоoнального дополнения. Пусть u0 – проекция u на L12 (Rn ), a h – составляющая изoортогонального дополнения. Ввиду гильбертовости и сепарабельности L 12 (Rn )oполучаем, что для любого v ∈L12 (Rn) будем иметьZ∇v∇h dx = 0 .RnЗначит, △h = 0 в Rn . Из равенства Парсеваля получаем, чтоZZZ22|∇h| dx + |∇u0| dx = |∇u|2 dxRnRnRn84Ввиду ограниченности правой части, получаем ограниченность каждого слагаемого в левой части.

В частности, получаем, чтоZ|∇h|2 dx < ∞ .RnВспоминая об эллиптичности h, получаем, что h константа. Тогда, используячастное неравенство Харди применительно к u0 = u − h = u − c, получаемобщее неравенство Харди.Случай n = 2 требует отдельного доказательства.Лемма 3. В случае n = 2 существует константа k, не зависящая от u, чтоZ2|∇u| dx ≥ kR2Z|u|2|x|≥ 2δ|x|2 ln2 |x|δdx ,для любой функции u ∈ L12 (R2) и любой константы δ > 0. Более того, длялюбой функции u ∈ L12 (R2) такой, что u = 0 почти всюду в окрестности нуля,полученное неравенство эквивалентно неравенствуZ2|∇u| dx ≥ kR2ZR2|u|2dx .|x|2 ln2 |x|Доказательство. Сначала проведем доказательство для u ∈ C ∞(R2 ).Перейдем к полярным координатам.

Тогда интеграл в правой части неравенства приобретает видZ2π Z∞r|u|2dφdr .r2 ln2 r00Фиксируем угловую координату и получаем цепочку преобразованийZ∞0r|u|2dr =r2 ln2 rZ∞0|u|2dr = −r ln2 rZ∞ 01ln r′|u|2 dr =∞Z∞11=−|u|2 +2 |u||u|′ dr .ln rln rr=0085Первое слагаемое в финальной скобке, очевидно, равняется нулю, т.к. uравна нулю в окрестности нуля. Оценим модуль второго слагаемого, используя1неравенство ab ≤ ε a2 + ε1 b 2, считая a = 1|u| , b = r 2 |u′| .r 2 ln r∞ ∞Z ZZ∞ 112 |u||u|′12rr 2 |u||u′ |′ dr ≤ 2dr ≤11 ln r 2|u||u| dr = r 2 ln rr 2 ln r 00 ∞ 0∞ZZ|u|21r|u′ |2 dr.≤2 εdr+2εr ln r00Таким образом, получаем цепочку неравенствZ∞0|u|2dr ≤ 2 εr ln2 rZ∞0|u|22dr+εr ln2 rZ∞r|u′|2 dr .0Следовательно, переносом первого слагаемого в левую часть получаем(1 − 2 ε)Z∞0|u|22dr≤εr ln2 rZ∞r|u′ |2 dr .0С учетом того, что |u′ |2 ≤ |∇u|2, а r символизирует собой якобиан перехода кполярным координатам, после возвращения к исходным координатам получаемZR22|∇u| dx ≥ kZR2|u|2dx .|x|2 ln2 |x|Далее, пользуясь предельным переходом и тем фактом, что C ∞ плотно в L12( [31] c.

18), получаем доказательство леммы.Не сложно получить утверждение о поведении функции выделенного класса на (2,1)-полярном множестве.Лемма 4. Пусть E – (2,1)-полярное множество. Тогда u|E = 0 для любой u ∈oW21, loc (Rn ), то есть µu ∈ W 12 (Rn \ E) для любой µ ∈ C0∞(Rn ).Доказательство. Известно ( [31] с. 331, теорема 1), что пространство D(Ω)плотно в W21 в том и только в том случае, если Rn \ Ω – (2,1)-полярное множество. Откуда и следует утверждение леммы.86Сформулированные утверждения позволяют нам получить аналог неравенства Фридрихса, дающего оценку норму функции через норму градиента.Лемма 5. Пусть Cap((Rn \ Ω) ∩ B r0 ,W21 (Rn)) > 0 для некоторого r0.

Тогдасуществует константа A, не зависящая от ϕ, чтоkϕ kL2 (Br ) ≤ A k∇ϕ kL2 (Br )при любых r > 2 r0 и любых ϕ ∈ W21, loc (Rn ), удовлетворяющих условиюϕ |(Rn \Ω)∩B r = 0 .0Доказательство. Предположим противное. Тогда для любой константы A существует r > 2 r0 и функция ϕ ∈ W21, loc (Rn ) такая, чтоϕ |(Rn \Ω)∩B r = 0 ,0и при этомkϕ kL2 (Br ) > A k∇ϕ kL2 (Br ) .Возьмем последовательность As = s, s = 1,2, . .