Лекции по функциональному анализу Смолянова О.Г., страница 9

Åñëè Ker Aλ = {0} è Im Aλ = H, òî ãîâîðÿò, ÷òî λ ïðèíàäëåæèò íåïðåðûâíîìóñïåêòðó (÷åðòà îáîçíà÷àåò çàìûêàíèå).3.Åñëè Ker Aλ = {0} è Im Aλ 6= H, òî λ ïðèíàäëåæèò îñòàòî÷íîìó ñïåêòðó.ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 7. Íîðìàëüíûé îïåðàòîð íå èìååò îñòàòî÷íîãî ñïåêòðà.Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì äîêàçûâàòü îò ïðîòèâíîãî, òî åñòü ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ ∈ îñòàòî÷íîìó ñïåêòðó A. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ:Im(A − λI) 6= H;⊥Im(A − λI)= (Im(A − λI))⊥ = Ker A∗λ = Ker(A∗ − λI), òàê êàê(λI)∗ = λI (çäåñü ÷åðòà - ýòî çíàê êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ);6615 Ëåêöèÿñëåäîâàòåëüíî, Ker A∗λ 6= {0}. Ýòî çíà÷èò, ÷òî∃ x ∈ H,x 6= 0 :(A∗ − λI)x = 0.Èñõîäÿ èç ýòîãî, ïîëó÷àåì, ÷òî:0 = (A − λI)(A∗ − λI)x = (A∗ − λI)(A − λI)x)Im(A − λI) 3 (A − λI)x ∈ Ker(A∗ − λI)Im(A − λI) ⊂ Im(A − λI) = (Ker(A∗ − λI))⊥⇒(A − λI)x = 0 ⇒x ∈ Ker Aλ ⇒=⇒Ker Aλ 6= {0}.Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå.Ò Å Î Ð Å Ì À 18.

Ïóñòü A - íîðìàëüíûé ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð. Òîãäà:£¤£λ ∈ spec A ⇐⇒ ∃ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ⊂ H :Äîêàçàòåëüñòâî.⇐ Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ⊂ H :ìîæíû äâà âàðèàíòà:1. Ker Aλ 6= {0} (çíà÷èò, âñå äîêàçàíî);2. Ker Aλ = {0}.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî zn = Aλ xn ∀ n, òîãäà zn → 0, íîxn 9 0,xn 9 0,¤A λ xn → 0 .Aλ xn → 0. Òîãäà âîç-−1A−1λ zn = Aλ Aλ xn = xn 9 0Ñëåäîâàòåëüíî, A−1λ íå íåïðåðûâåí, à ýòî çíà÷èò, ÷òî λ ∈ spec A (â ýòîé ÷àñòè äîêàçàòåëüñòâà íîðìàëüíîñòü íå èñïîëüçóåòñÿ).⇒ Ïóñòü λ ∈ spec A.

Òîãäà ìû ñíîâà ñòàëêèâàåìñÿ ñ äâóìÿ ñëó÷àÿìè:(1.) Ker Aλ 6= {0} =⇒ ∃ x ∈ Ker Aλ , x 6= 0.Ïóñòü xn = x ∀ n :∀n(2.)An xn = Aλ x = 0 =⇒ íóæíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñóùåñòâóåò.Ker Aλ = {0}. Òîãäà λ ∈ íåïðåðûâíîìó ñïåêòðó, òàê êàê A íîðìàëåí. Çíà÷èò,A−1λ : Im Aλ → H, ïðè÷åì Im Aλ = H.∀x ∈ Im Aλ∀z ∈ HAλ Aλ−1 x = xA−1λ Aλ z = z)=⇒ A−1λ íå íåïðåðûâåí íà íåïðåðûâíîì ñïåêòðå,òàê êàê, åñëè áû îí áûë íåïðåðûâíûì, òî åãî ìîæíî áûëî áû ïðîäîëæèòü ïî íåïðåðûâíîñòè äî îïåðàòîðà B, îïðåäåëåííîãî íà çàìûêàíèè Im Aλ , òî åñòü íà âñåì H; ýòîò îïåðàòîðB îáëàäàë áû ñâîéñòâàìè:∀x ∈ HAλ Bx = x,67BAλ x = x,16 Ëåêöèÿ÷òî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî λ ∈ spec A.Òàêèì îáðàçîì,∃ zn → 0∀ n zn ∈ Im Aλ ;xn = A−1λ zn 9 0;Aλ xn = zn → 0.¤Ñëåäñòâèå 3.

Ïóñòü A - ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, òîãäà spec A ⊂ R1 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòüλ = α + iβ; ãäå β 6= 0. Äîêàæåì, ÷òî òîãäà λ ∈/ spec A.Aλ = A − λIèAλ = Aα − iβIÍà îñíîâàíèè ýòîãî, ïîëó÷àåì:(Aλ x, Aλ x) = (( A − λI)x, ( A − λI)x) == ((Aα − iβI)x, (Aα − iβI)x) = kAα xk2 + β 2 kxk2 > β 2 kxk2λ ïðèíàäëåæèò òàêîìó ñïåêòðó â òî÷íîñòè òîãäà, êîãäà:xn 9 0 íà Aλ xn → 0.ÏîýòîìókAλ xn k2 > β 2 kxk2 =⇒ β = 0¤Óïðàæíåíèå 27.

Ïîêàçàòü, ÷òî ñïåêòð óíèòàðíîãî îïåðàòîðà íàõîäèòñÿ íà åäèíè÷íîéîêðóæíîñòè êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.16 ËåêöèÿÒ Å Î Ð Å Ì À 19. Åñëè A = A∗ , òîãäàkAk = sup |(Ax, x)| = sup |(Ax, x)|.kxk 61Äîêàçàòåëüñòâî. 1.∀xkxk=1|(Ax, x)| 6 kAxk · kxk 6 kAk · kxk2kxk = 1 =⇒ |(Ax, x)| 6 kAk =⇒ C = sup |(Ax, x)| 6 kAk.kxk=12.Äîêàæåì, ÷òî kAk 6 sup |(Ax, x)|.kxk=1Ââåäåì ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå: QA (x) = (Ax, x), òîãäà(1)QA (x + z) − QA (x − z) = (Ax, z) + (Az, x) + (Ax, z) + (Az, x) =6816 Ëåêöèÿ³´= 2(Ax, z) + 2(Az, x) = 2 (Ax, z) + (Az, x) =³´= 2 (Ax, z) + (Ax, z) = 4 Re(Ax, z).(2)|QA (x + z) − QA (x − z)| = |4 Re(Ax, z)| 6 |QA (x + z)| + |QA (x − z)| 66 C(kx + zk2 + kx − zk2 ) = C(2kxk2 + 2kzk2 ).Ïðåäïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî|QA (x)| = |(Ax, x)| 6 Ckxk2 ;â ñâîþ î÷åðåäü, íåðàâåíñòâî |(Ax, x)| 6 Ckxk2 äîêàçûâàåòñÿ òàê.Åñëè kxk = 1, òî |(Ax, x)| 6 C; ïîýòîìó, åñëèx=x1|(Ax1 , x1 )|, òî6Ckx1 kkx1 k2⇒ |(Ax1 , x1 )| 6 Ckxk2Èç (1) è (2) ñëåäóåò, ÷òî|4 Re(Ax, z)| 6 2C(kxk2 + kzk2 ).Ïóñòü z =kxk · Ax;kAxk=⇒òîãäà 4kxk · kAxk 6 4 · Ckxk2kAxk 6 Ckxk ∀ x=⇒=⇒kAk 6 C.¤Îïðåäåëåíèå 34.

Îïåðàòîð A ∈ L(H) - êîìïàêòåí, åñëè îí ïåðåâîäèò âñÿêîå îãðàíè-÷åííîå ìíîæåñòâî â îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíîå.16.1 Ñâîéñòâà êîìïàêòíîãî îïåðàòîðà.1.Ìíîæåñòâî âñåõ êîìïàêòíûõ îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå îáðàçóåò èäåàë â àëãåáðå âñåõ îïåðàòîðîâ, òî åñòü:a. Ýòî ìíîæåñòâî - ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî;á.

∀ B ∈ L(H), ∀K ∈ L0 (K) =⇒ KB ∈ L0 (H), BK ∈ L0 (K).2.Ýòîò èäåàë ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì.Ï Ð È Ì Å Ð. Ïóñòü çàäàíî L2 (Ω, B, ν), ãäå Ω = N, à ν ïðèïèñûâàåò ìíîæåñòâó çíà÷åíèå,ðàâíîå ÷èñëó ýëåìåíòîâ â íåì.Òîãäà (K, f )(n) = α(n) · f (n).Óïðàæíåíèå 28. Ýòîò îïåðàòîð K ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì â òî÷íîñòè òîãäà, êîãäàα(n) → 0 è ñàìîñîïðÿæåííûì, åñëè ∀ n α(n) ∈ R.6916 ËåêöèÿÒ Å Î Ð Å Ì À 20 (Ãèëüáåðòà-Øìèäòà). Ïóñòü K - êîìïàêòíûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð â ñåïàðàáåëüíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H. Òîãäà â H ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ {en } ñ òàêèì ñâîéñòâîì:âñå en - ñîáñòâåííûå âåêòîðû ýòîãî îïåðàòîðà, è îïåðàòîð K äåéñòâóåò ñëåäóþùèì îáðàçîì:∞X∀x ∈ HKx =λn (x, en ) en ,n=1ãäå λn - ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå äëÿ ñîáñòâåííîãî âåêòîðà en ; ïðè ýòîì λn → 0.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî òî, ÷òî λn → 0, âûòåêàåò èç âñåãî îñòàëüíîãî.Ïóñòü λn 9 0 =⇒∃ λn1 , λn2 , . . . : |λnj | > ε > 0;òîãäà ∀ jKenj = λnj enjkλnj enj − λnk enk k > εken k = ε.Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì ñäåëàòü âûâîä, ÷òî èç {enj } íåëüçÿ âûáðàòü ôóíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à ýòî çíà÷èò, ÷òî ìû ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå ñ êîìïàêòíîñòüþîïåðàòîðà.Äîêàæåì îñòàëüíûå óòâåðæäåíèÿ.1.Ïðèìåíåíèå ëåììû Êóðàòîâñêîãî-Öîðíà.Ïóñòü S - ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ îðòîíîðìèðîâàííûõ ñåìåéñòâ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâK (êàæäîå òàêîå ñåìåéñòâî íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî, òàê êàê H ñåïàðàáåëüíî).

Ýòî ìíîæåñòâîÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûì ïî âêëþ÷åíèþ.Ïðè ýòîì êàæäîå åãî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ïîäìíîæåñòâî èìååò ìàæîðàíòó. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü A ⊂ S è A ëèíåéíî óïîðÿäî÷åíî, òî åñòüåñëè s1 , s2 ∈ A, òî s1 ⊂ s2 èëè s2 ⊂ s1 (âêëþ÷åíèÿ íå îáÿçàòåëüíî ñòðîãèå).SÒîãäà ìíîæåñòâîs ∈ S - ýòî ìàæîðàíòà ìíîæåñòâà A. Ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìûs∈AÊóðàòîâñêîãî-Öîðíà â S ñóùåñòâóþò ìàêñèìàëüíûå ýëåìåíòû.

Ïóñòü smax ∈ S - îäèíèç íèõ.2.Ìû óòâåðæäàåì, ÷òî smax - òîò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãîóòâåðæäàåòñÿ â òåîðåìå. Ïóñòü ýòî íå òàê, òî åñòüsm = {en ∈ H} íå îáðàçóåò áàçèñà;òîãäà, åñëè span sm - íàèìåíüøåå çàìêíóòîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, ñîäåðæàùåå sm , òîspan sm 6= H.=⇒ (span sm )⊥ = (span sm )⊥ = H1 6= {0}.Ïîêàæåì, ÷òî H1 - èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî íàøåãî îïåðàòîðà, òî åñòü∀ x ∈ H1 , Kx ∈ H1 .7017 ËåêöèÿÝòî - ÷àñòíûé ñëó÷àé ñëåäóþùåãî îáùåãî ôàêòà:åñëè H = H0 ⊕ H1èH0 èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà A ∈ L(H), òî H1èíâàðèàíòíî. Ýòîò ôàêò äîêàçûâàåòñÿ òàê:[x ∈ H0 ⇔ ∀ z ∈ H1 ,(z, x) = 0]=⇒∀ z ∈ H1(Ax, z) = (x, Az) = 0,òàê êàê Az ∈ H1 ⇒ Ax ∈ H0 .Îñòàåòñÿ ïîëîæèòü H0 = span sm .3.Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî êàæäûé êîìïàêòíûé îïåðàòîð èìååò õîòÿ áû îäèí ñîáñòâåííûé âåêòîð.

Ýòî âûòåêàåò èç ñëåäóþùèõ äâóõ óòâåðæäåíèé:a. Åñëè sup |(Ax, x)| äîñòèãàåòñÿ íà âåêòîðå, òî ýòîò âåêòîð ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì äëÿîïåðàòîðà.b. åñëè îïåðàòîð êîìïàêòåí è ñàìîñîïðÿæåí, òî ýòîò sup |(Ax, x)| äîñòèãàåòñÿ îáÿçàòåëüíî.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî óæå äîêàçàíî. Òàê êàê ñóæåíèå A íà H1 - ýòî êîìïàêòíûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð â H1 , òî, åñëè H1 6= {0}, òî A îáëàäàåò (íåíóëåâûì) ñîáñòâåííûìâåêòîðîì â H1 , à ïðîòèâîðå÷èå ñ ìàêñèìàëüíîñòüþ sm .Òàêèì îáðàçîì, sm = {en } - ýòî îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â H è∀ n ∃ λn ∈ R1 ,Ïîýòîìó ∀ x ∈ HKen = λn en .∞X(x, en ) enx =èn=1Kx =∞Xλn (x, en ) en .n=1¤17 Ëåêöèÿ äîêàçàòåëüñòâå òîãî, ÷òî, åñëè A êîìïàêòåí è ñàìîñîïðÿæåí, òî sup |(Ax, x)| äîñòèãàkxk 61åòñÿ íà íåêîòîðîì âåêòîðå, èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, èìåþùàÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîåçíà÷åíèå.Ò Å Î Ð Å Ì À 21.

Âñÿêèé çàìêíóòûé øàð S â ñåïàðàáåëüíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàí-ñòâå ñåêâåíöèàëüíî êîìïàêòåí â ñëàáîé òîïîëîãèè, òî åñòüñëàáî∀ (xn ) ⊂ S ⊂ H ∃ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xnk ) è ∃ z ∈ S : xnk −→ z ïðè k → ∞.7117 ËåêöèÿÄîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü òåîðåìó äëÿ çàìêíóòîãî åäèíè÷íîãî øàðà ñ öåíòðîìâ íóëå. Èòàê, ïóñòü S - òàêîé øàð. Ïóñòü (an ) - ñ÷åòíîå âñþäó ïëîòíîå ïîäìíîæåñòâîãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ((an ) ⊂ H, (an ) = H ).Òàê êàê ∀ j|(aj , xn )| 6 kaj k kxn k 6 kaj k,òî êàæäàÿ èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {(a1 , xn )} ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé îãðàíè÷åíî. Ñëåäîâàòåëüíî, èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé {(aj , xn )} ìîæíî èçâëå÷üñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî åñòü∃ âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {n1 (k)} íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, äëÿ êîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé {(a1 , xn1 (k) )} ñõîäèòñÿ.Ïðèìåíÿÿ ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {(a2 , xn1 (k) )} àíàëîãè÷íîå ðàññóæäåíèå, ïîëó÷èì, ÷òî ñóùåñòâóåò (âîçðàñòàþùàÿ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {n2 (k)} íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ÿâëÿþùàÿñÿïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {n1 (k)}, òàêàÿ ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé {(a2 , xn2 (k) )} ñõîäèòñÿ.Ïðîäîëæàÿýòî ðàññóæäåíèå,ïîëó÷èì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòüno{nj (k) : k ∈ N} : j = 1, 2, .

. . (âîçðàñòàþùèõ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë,êàæäàÿ èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ïðåäûäóùåé, ïðè÷åì âñå ÷èñëîâûåïîñëåäîâàòåëüíîñòè {(aj , xnj (k) ) : k = 1, 2, . . .} ñõîäÿòñÿ. Òîãäà äèàãîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäåêñîâ {nk (k) : k = 1, 2, . . .} îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì:∀ j ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {(aj , xnj (k) ) : k ∈ N} ñõîäèòñÿ (òàê êàê ïðè k > j îíà ÿâëÿåòñÿïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {(aj , xnj (k) )}).Ïîëîæèì, äëÿ êàæäîãî k, m(k) = nk (k); òîãäà, â ñèëó ïðåäûäóùåãî, ∀ i (ai , xm(j) ) ñõîäèòñÿ.Äîêàæåì, ÷òî ∀a ∈ H ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {(a, xm(j) )} òàêæå ñõîäèòñÿ. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (a, xm(j) ) áûëà ôóíäàìåíòàëüíîé, òî åñòü, ÷òîáû¯¯¯(a, xm(j) ) − (a, xm(j+k) )¯ < ε∀ ε ∃ j0 : ∀ j > j0 , ∀ k ∈ NÏðîâåðèì, ÷òî òàêîå j0 ñóùåñòâóåò.

Òàê êàê ìíîæåñòâî {aj } âñþäó ïëîòíî â H, òîε∃ ar : kar − ak < .3Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {(ar , xm(j) ) : j ∈ N} ñõîäèòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, îíà ôóíäàìåíòàëüíà,òî åñòü¯¯¯(ar , xm(j) ) − (ar , xm(j+k) )¯ < ε .∃ j0 : ∀ j > j0 , ∀k ∈ N3Ïîýòîìó äëÿ òàêèõ j è k¯¯¯(a, xm(j) ) − (a, xm(j+k) )¯ 6 |(a, xm(j) ) − (ar , xm(j) ) ++ (ar , xm(j) ) − (a, xm(j+k) ) + (ar , xm(j+k) ) − (ar , xm(j+k) )| 67217 Ëåêöèÿ¯¯¯¯6 ¯(a, xm(j) ) − (ar , xm(j) )¯ + ¯(ar , xm(j+k) ) − (a, xm(j+k) )¯ +¯¯+ ¯(ar , xm(j+k) ) − (ar , xm(j) )¯ 6 ε,òàê êà꯯¯(ar , xm(j) ) − (ar , xm(j+k) )¯ < ε â ñèëó âûáîðà j è k,3¯¯¯(a, xm(j) ) − (ar , xm(j) )¯ 6 kar − ak kxm(j) k < ε è3| {z }1¯¯ εàíàëîãè÷íî, ¯(a, xm(j+k) ) − (ar , xm(j+k) )¯ <â ñèëó âûáîðà ar .3Òàê êàê ∀ a ∈ H ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {(a, xm(j) )} ñõîäèòñÿ, òî ïî òåîðåìå Ðèññà∀f ∈ H ∗{(f, xm(j) )} ñõîäèòñÿ, ⇒ òàê êàê ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ðåôëåêñèâíî(ïî òîé æå òåîðåìå Ðèññà), òî∃z ∈ H∀ f ∈ H∗(f, xm(j) ) → (f, z).ñëàáîÝòî è îçíà÷àåò, ÷òî xm(j) −→ z; ïðè ýòîì, ïîñêîëüêó çàìêíóòûé øàð çàìêíóò è â ñëàáîéòîïîëîãèè, z ∈ S; òåîðåìà äîêàçàíà.¤ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 8.

Ïóñòü A - êîìïàêòíûé îïåðàòîð. Òîãäà îí ïåðåâîäèò ñëàáî ñõî-äÿùóþñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ ïî íîðìå.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî â äâà øàãà.1.Åñëè A - ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð è (xn ) - ñëàáî ñõîäÿùàÿñÿñëàáîñëàáîïîñëåäîâàòåëüíîñòü, (xn ) −→ x0 , òî Axn −→ Ax0 . Íàäî ïðîâåðèòü, ÷òî∀z ∈ HÝòî äåëàåòñÿ òàê:2.(Axn , z) → (Ax0 , z).(Axn , z) = (xn , A∗ z) → (x0 , A∗ z) = (Ax0 , z)Ïðîâåðèì, ÷òî,åñëè A - êîìïàêòåí è (xn ) - ñëàáî ñõîäÿùàÿñÿ ê x0 ∈ H ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,òî Axn → Ax0 ïî íîðìå.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê. Òîãäà ∃ ε > 0 è áåñêîíå÷íàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xnk ),òàêàÿ ÷òî(∗)∀kkAx0 − Axnk k > εÒàê êàê A êîìïàêòåí, à ñëàáî ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ) îãðàíè÷åíà ïî íîðìå(â ñèëó òåîðåìû Áàíàõà-Øòåéíõàóçà), òî èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (Axnk ) ìîæíî âûáðàòüïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Axnk(j) ), ñõîäÿùóþñÿ ïî íîðìå ê íåêîòîðîìó ýëåìåíòó z ∈ H;ñëàáîòåì áîëåå, Axnk(j) −→ z.7317 ËåêöèÿñëàáîñëàáîÍî Axnk(j) −→ Ax0 , òàê êàê Axn −→ Ax0 ; ïîýòîìó z = Ax0 , òî åñòü Axnk(j) −→ Ax0ïî íîðìå, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò (∗).¤ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 7.