Лекции по функциональному анализу Смолянова О.Г., страница 10

Åñëè A - ñàìîñîïðÿæåííûé êîìïàêòíûé îïåðàòîð, òî ôóíêöèÿx 7→ |(Ax, x)| äîñòèãàåò âåðõíåé ãðàíè íà çàìêíóòîì åäèíè÷íîì øàðå.Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ), òàêóþ ÷òî ∀ n kxk = 1 误¯¯¯¯¯¯¯(Axn , xn )¯ −→ kAk = sup¯(Ax, x)¯, ïðè÷åì kxn k = 1 ∀nÂûáåðåì ñëàáî ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn ) è îáîçíà÷èìåå ýëåìåíòû òàêæå xn . Òàê êàêñëàáîñèëüíîxn −→ x0 , òî, ïî ïðåäûäóùåìó, Axn −→ Ax0 .Ìû õîòèì äîêàçàòü, ÷òî (Axn , xn ) −→ (Ax0 , x0 ) = kAk. Èòàê,¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯¯¯(Axn , xn ) − (Ax0 , x0 )¯ 6 ¯ (Axn , xn ) − (Ax0 , xn ) ¯ + ¯ (Axn , x0 ) − (Ax0 , x0 ) ¯ −→ 0|{z}|{z}(òàê êàê↓0kAxn −Ax0 k→0)↓0(òàê êàêAxnñëàáî→ Ax0 )¤Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî, ÷òî∃ x0 : |(Ax0 , x0 )| = sup |(Ax, x)| = kAk,kxk 61à, ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ a (íà ñòðàíèöå 71, êîíåö ïðåäûäóùåé ëåêöèè)x0 - (íîðìèðîâàííûé) ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà A, òî åñòü∃ λ ∈ R1 : Ax0 = λx0 .Ïðè ýòî쯯¯¯¯(Ax0 , x0 )¯ = ¯(λx0 , x0 )¯ = |λ| = kAk,òî åñòü λ = ±kAk.Èòàê, äëÿ ïîëíîãî äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ãèëüáåðòà-Øìèäòà, íàì îñòàëîñü äîêàçàòüïðåäëîæåíèå a èç ïðåäûäóùåé ëåêöèè.Îïðåäåëåíèå 35.

Îòîáðàæåíèå f : B1 → B2 , ãäå B1 è B2 - áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà,íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûì â òî÷êå x, åñëè ∃ f 0 (x) ∈ L(B1 , B2 ) :∀h f (x + h) − f (x) = f 0 (x)h + rx (h), ãäårx (th)→0tÏðè÷åì:Åñëè (∗) → 0 ∀ h, òî ýòî äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïî Ãàòî.74(∗)17 ËåêöèÿÅñëè (∗) → 0 ðàâíîìåðíî ïî h èç êàæäîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà, òî ýòî äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïî Ôðåøå.Åñëè (∗) → 0 ðàâíîìåðíî ïî h èç êàæäîãî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà, òî ýòî äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïî Àäàìàðó.Îòìåòèì, ÷òî äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïî Ôðåøå âëå÷åò äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïî Àäàìàðó, à äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïî Àäàìàðó âëå÷åò äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïî Ãàòî.ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 8. Ïóñòü èìååòñÿ öåïî÷êà îòîáðàæåíèé:gfB1 −→ B2 −→ B3 ,äèôôåðåíöèðóåìûõ âñþäó ïî Ôðåøå (ïî Àäàìàðó); òîãäà èõ êîìïîçèöèÿ g ◦ f äèôôåðåíöèðóåìà ïî Ôðåøå (ïî Àäàìàðó), è(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x)) ◦ f 0 (x)(äëÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè ïî Ãàòî ýòî íå òàê).Ï Ð È Ì Å Ð. Ïóñòü H → R1 , f : x 7→ (Ax, x), òîãäà f - äèôôåðåíöèðóåìà ïî Ôðåøå.Óïðàæíåíèå 29.

Äîêàçàòü, ÷òî ïðè x ∈ H, h ∈ H ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:f 0 (x)h = 2 Re(Ah, x)Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî, åñëè ñóùåñòâóåò âåêòîð x0 , äëÿ êîòîðîãî(Ax0 , x0 ) = sup(Ax, x), òî ∃ λ : Ax0 = λx0 .(íàïîìíèì, ÷òî çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ ëèøü, ÷òî A - ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, íî íåïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îí êîìïàêòåí).Âîçüìåì ýëåìåíò z0 : z0 ⊥Ax0 è ðàññìîòðèì êðèâóþ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå:ψ(t) = x0 cos t + z0 sin tf ◦ ψ : t 7→ (Aψ(t), ψ(t))ψR1 −→ Hx7→(Ax,x)−→R1Ïðè÷åì ýòà êîìïîçèöèÿ äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìóìà ïðè t = 0, çíà÷èò, åå ïðîèçâîäíàÿ âíóëå ðàâíà 0: (f ◦ ψ)0 (0) = 0.Íî(f ◦ ψ)0 (0) = f 0 (ψ(0)) ◦ ψ 0 (0) =| {z } | {z }kx0kz0= f 0 (x0 ) z0 = 2 Re(Az0 , x0 ) = 2 Re(Ax0 , z0 ) = 0Òàê êàê, åñëè z0 ⊥Ax0 , òî è iz0 ⊥Ax0 , è 2 Re(Ax0 , iz0 ) = 0;íîRe(Ax0 , iz0 ) = Re(−i (Ax0 , z0 )) = Im(Ax0 , z0 ),òàê ÷òî Im(Ax0 , z0 ) = 0; ïîýòîìó (Ax0 , z0 ) = 0.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ýëåìåíò⊥Ax0 ∈ (x⊥= {λx0 : λ ∈ C}⊥⊥ = {λx0 : λ ∈ C}.0)Ýòî çíà÷èò, ÷òî∃ λ0 : Ax0 = λ0 x07517 Ëåêöèÿ17.1 Òåîðåìû Ôðåäãîëüìà.Ïóñòü K - êîìïàêòíûé îïåðàòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H, λ 6= 0, λ ∈ C,Kλ = K − λI.I - òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå H â H. òåîðåìàõ Ôðåäãîëüìà ðàññìàòðèâàþòñÿ óðàâíåíèÿKλ ϕ = f,Kλ ϕ = 0è ñîïðÿæåííûå óðàâíåíèÿKλ∗ ψ = g,Kλ∗ ψ = 0.Ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ Kλ ϕ = 0, Kλ∗ ψ = 0 íàçûâàþòñÿ îäíîðîäíûìè, à óðàâíåíèÿKλ ϕ = f, Kλ∗ ψ = g - íåîäíîðîäíûìè (Kλ∗ = K ∗ − λI ).Äàëåå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó Øàóäåðà.Ò Å Î Ð Å Ì À 22 (Òåîðåìà Øàóäåðà).

Îïåðàòîðû K è K ∗ êîìïàêòíû èëè íåò îäíî-âðåìåííî.Äîêàçàòåëüñòâî åå ìîæíî ïðî÷èòàòü â § 6 ãëàâû 4 êíèãè Êîëìîãîðîâà-Ôîìèíà.Ò Å Î Ð Å Ì À 23 (1).Im Kλ = (Ker Kλ∗ )⊥ ,òî åñòü íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå Kλ ϕ = f ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàf ∈ (Ker Kλ∗ )⊥ .Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàíåå äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ëèíåéíîãî íåïðåðûâíîãî îïåðàòîðà A â H áûëîäîêàçàíî ðàâåíñòâîIm A = (Ker A∗ )⊥ ;ïîýòîìó ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî Im Kλ = (Ker Kλ∗ )⊥ , äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî Im Kλ çàìêíóòî, òî åñòü íàäî äîêàçàòü, ÷òî,åñëè zn ∈ Im Kλ è zn → z â H, òî z ∈ Im Kλ .Òàê êàê ∀ n zn ∈ Im Kλ , òî zn = Kλ xn äëÿ íåêîòîðîãî xn ∈ H.Åñëè sup kxn k < ∞, òî èç êîìïàêòíîñòè K ñëåäóåò, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé ïîäïîñëåäîâànòåëüíîñòè (xnk ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Kxnk ) ñõîäèòñÿ;òîãäà ñõîäèòñÿ è ñàìà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xnk ), òàê êàêxnk =11(Kxnk − Kλ xnk ) =(Kxnk − znk ),λλ7617 Ëåêöèÿà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (znk ) ñõîäèòñÿ êàê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (zn ). Åñëè x = lim xnk , òîKλ x = lim Kλ xnk = lim znk = z,òàê ÷òî z ∈ Im Kλ , ÷òî è òðåáîâàëîñü.Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî âñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû ïðåäïîëîæåíèå sup kxk < ∞ áûëîâûïîëíåíî.Èòàê, ïóñòü ∀n z = Kλ xn .

Ïîëîæèì xn = xn − prKer Kλ xn , ãäå ñèìâîë prKer Kλ xn îáîçíà÷àåò ïðîåêöèþ âåêòîðà xn íà ïîäïðîñòðàíñòâî Ker Kλ (òàê ÷òî xn ∈ (Ker Kλ )⊥ ); òîãäàzn = Kλ xn , ïðè÷åì sup kxn k < ∞.nÄåéñòâèòåëüíî, åñëè ýòî íå òàê, òî ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü xnr , òàêàÿ ÷òîkxnr k → ∞. Òîãäàzn−→ 0, òàê êàê zn = Kλ xn ,kxnr kýòî îçíà÷àåò, ÷òîK λ xn rxn rxn r= K−λ−→ 0.kxnr kkxnr kkxnr kÏîëîæèì, äëÿ êàæäîãî r,yr =xn r.kxnr kÒîãäà Kyr − λyr → 0, ïðè÷åì ∀ r kyr k = 1. Ïîýòîìó, â ñèëó êîìïàêòíîñòè K, íåêîòîðàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Kyr(j) ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (Kyr ) ñõîäèòñÿ; èç ñõîäèìîñòèïîñëåäîâàòåëüíîñòè (Kyr − λyr ) ñëåäóåò, ÷òî ñõîäèòñÿ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (yr(j) ).Ïóñòü a = lim yr(j) . Òàê êàê ∀ jkyr(j) k = 1, òî kak = 1; êðîìå òîãî,òàê êàê Kyr − λyr → 0, òî Ka − λa = Kλ = 0,òî åñòü a ∈ Ker Kλ .Íî ýòîãî íå ìîæåò áûòü, òàê êàê ∀r yr ∈ (Ker Kλ )⊥ , à ìíîæåñòâî (Ker Kλ )⊥ çàìêíóòî.Òåì ñàìûì äîêàçàíî, ÷òî sup kxn k < ∞.n¤Ò Å Î Ð Å Ì À 24 (2).

Àëüòåðíàòèâà Ôðåäãîëüìà.Âñÿêèé íåíóëåâîé ýëåìåíò ñïåêòðà êîìïàêòíîãî îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ åãî ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì(íàçâàíèå àëüòåðíàòèâà Ôðåäãîëüìà îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî òåîðåìó (2) ìîæíîïåðåôîðìóëèðîâàòü òàê:Ïðè λ 6= 0 ëèáî Ker Kλ 6= 0, ëèáî λ 6∈ spec K ).7717 ËåêöèÿÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü, äëÿ êàæäîãî n ∈ N, H n = Im Kλn . Òîãäà, â ñèëó òåîðåìû (1), âñåïîäïðîñòðàíñòâà H n çàìêíóòû, ïðè÷åìH1 ⊃ H2 ⊃ H3 . .

. ;êîíå÷íî, ∀ n Kλ (H n ) = H n+1 .Ïðè ýòîì èç êîìïàêòíîñòè K âûòåêàåò, ÷òî∃ j, òàêîå ÷òî H j = H j+1 = H j+2 = . . .Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü âñå H n ðàçëè÷íû è ïóñòü, äëÿ êàæäîãî n,xn ∈ H n ,xn ⊥H n+1 è kxn k = 1.Íî òîãäà:Kxn − Kxn+r = (K − λI + λI)xn − (K − λI + λI)xn+r =(Kλ + λI)xn − (Kλ + λI)xn+r = Kλ xn − Kλ xn+r + λ(xn − xn+r );ïðè ýòîìKλ xn ∈ H n+1 ,Kλ xn+r ∈ H n+r+1 ⊂ H n+1 ,λxn+r ∈ H n+1 ,íî λxn ∈ H n , xn ⊥H n+1 . ÏîýòîìókKxn − Kxn+r k > kλxn k = kλk äëÿ âñåõ n ∈ N, r ∈ N;íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (Kxn ) íåëüçÿ âûáðàòü ñõîäÿùåéñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, âîïðåêè êîìïàêòíîñòè îïåðàòîðà K.Âåðíåìñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû (2).Çàìåòèì, ÷òîKer Kλ = {0} ⇒ Im Kλ = H.Ïóñòü Ker Kλ = {0} è H 1 = Kλ H 6= H; òîãäà, â ñèëó âçàèìíîé îäíîçíà÷íîñòè Kλ ,H 2 = Kλ H 1 = Kλ2 H 6= Kλ H = H 1 ,H 3 = Kλ2 H 1 6= Kλ2 H = H 2è òàê äàëåå, òî åñòü öåïî÷êà ñîñòîèò èç ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ïîäïðîñòðàíñòâ, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò äîêàçàííîìó âûøå.

Ïîýòîìó Im Kλ = H.Òàê êàê, ïî òåîðåìå Øàóäåðà, îïåðàòîð K ∗ òàêæå êîìïàêòåí, òîKer Kλ∗ = {0} ⇒ Im Kλ∗ = H.Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî Im Kλ = H ⇒ Ker Kλ = {0}. Åñëè Im Kλ = H, òî Ker Kλ∗ = {0}è, ñëåäîâàòåëüíî, Im Kλ∗ = H, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî Ker Kλ = {0}.Òàêèì îáðàçîì, Im Kλ = H ⇐⇒ Ker Kλ = {0}; íî ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî, åñëè λ ∈ spec K,òî λ - ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå (λ 6= 0).¤7817 ËåêöèÿÒ Å Î Ð Å Ì À 25 (3).dim Ker Kλ = dim Ker Kλ∗ < ∞.Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè dim Ker Kλ = ∞, òî â Kλ ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûõ íîðìèðîâàííûõ âåêòîðîâ {en }. Ïðè ýòîì ∀n(K − λI) en = 0,òàê ÷òî ïðè n 6= m√kKen − Kem k = |λ|ken − em k = |λ| 2,òàê ÷òî èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Ken } íåëüçÿ âûáðàòü ñõîäÿùåéñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè.Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî, ÷òî dim Ker Kλ < ∞; òàê êàê, ïî òåîðåìå Øàóäåðà, K ∗ ∈L0 (H), òîdim Ker Kλ∗ (= dim Ker(K ∗ )λ ) < ∞.Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî dim Ker Kλ = dim Ker Kλ∗ .

Ïóñòüα = dim Ker Kλ < dim Ker Kλ∗ = βè ïóñòü e1 , . . . , eα - îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â Ker Kλ è e∗1 , . . . , e∗β - îðòîíîðìèðîâàííûéáàçèñ â Ker Kλ∗ . ÏîëîæèìαXKx = Kx +(x, ej )e∗j ,j=1îïåðàòîð K êîìïàêòåí êàê ñóììà äâóõ êîìïàêòíûõ îïåðàòîðîâ: îïåðàòîðà K è îïåðàòîðàαPx 7→(x, ej )e∗j (ïîñëåäíèé êîìïàêòåí, òàê êàê íåïðåðûâåí è îáëàäàåò êîíå÷íîìåðíûìj=1îáðàçîì).Ïîêàæåì, ÷òî Ker K λ = {0}. Ïóñòü x ∈ K λ ; ýòî çíà÷èò, ÷òîαXKλ x +(x, ej )e∗j = 0.j=1Òàê êàê e∗j ∈ Ker Kλ∗ , òî e∗j ∈ (Im Kλ )⊥ , òàê ÷òîαXKλ x ⊥(x, ej )e∗j .j=1Òàê êàê ñóììà ýòèõ äâóõ îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ ðàâíà íóëþ, òî îáà îíè òàêæå ðàâíûíóëþ:αX(x, ej )e∗j = 0.Kλ x = 0,j=1Ñëåäîâàòåëüíî, ∀ j = 1, 2, . . .

, α,â Ker Kλ , òî ýòî çíà÷èò, ÷òî(x, ej ) ≡ 0, òàê êàê âåêòîðû e1 , . . . , eα îáðàçóþò áàçèñx ∈ (Ker Kλ )⊥ ;7917 Ëåêöèÿíî òàê êàê Kλ x = 0, òî x ∈ Ker Kλ ; ýòî âîçìîæíî òîëüêî, åñëè x = 0.Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî Ker K λ = {0}. Òîãäà ïî òåîðåìå (2) ∃ z :K λ z = eα+1 , òî åñòü(∗)Kλ z +αX(z, ej )e∗j = e∗α+1 .j=1Íî ∀ j = 1, 2, . . . , α,e∗j⊥ e∗α+1è Kλ z ⊥ e∗α+1 , òàê êàê(Im Kλ ) = (Ker Kλ∗ )⊥ , à e∗j ∈ Ker Kλ∗ .Òàêèì îáðàçîì, âåêòîðû â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ ðàâåíñòâà (∗) îðòîãîíàëüíû äðóã äðóãó,÷òî âîçìîæíî ëèøü, åñëè îíè ðàâíû íóëþ, òîãäà êàê ke∗α+1 k = 1.Òàêèì îáðàçîì, ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî β > α ïðèâåëî ê ïðîòèâîðå÷èþ, òàê ÷òî α > β. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ è ÷òî α 6 β.Ñëåäñòâèå 4.

Âñÿêèé íåíóëåâîé ýëåìåíò ñïåêòðà êîìïàêòíîãî îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ åãîñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì êîíå÷íîé êðàòíîñòè.80.