Лекции по функциональному анализу Смолянова О.Г. (1134957)
Текст из файла
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓÑÌÎËßÍÎÂÀ Î.Ã.ÄËß ÑÒÓÄÅÍÒΠ3 ÊÓÐÑÀ 6 ÑÅÌÅÑÒÐÀÇàïèñàíîßõîíòîâîé Âàëåðèåé,Ãðèöóê Ñâåòëàíîé,Ãîëÿêîâîé Àëåâòèíîéè Ïðèõîäüêî Èãîðåì2005 ãîä1 Ëåêöèÿ1 ËåêöèÿÏóñòü Ω = R1 èP0 = {[a, b), a ∈ R1 , b ∈ R1 , a < b} ∪ {∅}, òàê ÷òî P0 - ïîëóêîëüöî.Ïóñòü åùåP1 = {[a, b), [a, b], (a, b], (a, b), {a}, a < b} ∪ {∅},òàê ÷òî P1 - òàêæå ïîëóêîëüöî, ïðè÷åì P1 ⊃ P0 .Ìåðà νL íà P1 îïðåäåëÿåòñÿ òàê:νL ([a, b)) = νL ([a, b]) = νL ((a, b)) = νL ((a, b]) = b − a.Ñóæåíèå νL íà P0 îáîçíà÷àåòñÿ òåì æå ñèìâîëîì.
Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òîýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, òî åñòü ôóíêöèÿ νL êîíå÷íî àääèòèâíà íà P1 (à òåì ñàìûì èíà P0 ).Ò Å Î Ð Å Ì À 1. νL ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíî-àääèòèâíîé ìåðîé íà ïîëóêîëüöå P0 .Äîêàçàòåëüñòâî. Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî,åñëè [a, b) ⊂∞[∞¡¢ X¡¢[ai , bi ), òî ν [a, b) 6[ai , bi ) .i=1i=1Çàäàäèìñÿ ε > 0, òîãäà äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ε, âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óñëîâèå:∃c a < c < b :∀i∈N∃ di : di < ai < biε + ν[a, c] > ν[a, b)¡¢¡¢εè ν (di , bi ) − ν [ai , bi ) < i .2Ìû ïîëó÷èëè, ÷òî[a, c] ⊂ [a, b) ⊂∞[(di , bi )i=1Òî åñòü êîìïàêò [a, c] ïîêðûò îòêðûòûìè ìíîæåñòâàìè, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêîå n ∈ N,÷òî∞[[a, c] ⊂(di , bi ).i=111 ËåêöèÿÒàê êàê νL êîíå÷íî àääèòèâíà íà P1 , îòñþäà ñëåäóåò, ÷òînX¡¢ν([a, c]) 6ν (di , bi ) .i=1Ïîýòîìóν([a, b)) − ε 6n ³∞ ³∞XXX¡¢ ε´¡¢ ε´¡¢ν [ai , bi ) + i 6ν [ai , bi ) + i =ν [ai , bi ) + ε.22i=1i=1i=1Òàê êàê ε > 0 ïðîèçâîëüíî, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî¡ν [a, b)¢∞ ³X¡¢6ν [ai , bi ) .i=1Òåîðåìà äîêàçàíà.¤Îïðåäåëåíèå 1.
Ìåðîé Ëåáåãà íàçûâàåòñÿ (åäèíñòâåííîå) ñ÷åòíî àääèòèâíîå ïðîäîëæåíèå νL íà σ -àëãåáðó AL νL -èçìåðèìûõ ïîäìíîæåñòâ. Ýòî ïðîäîëæåíèå áóäåò òàêæåîáîçíà÷àòüñÿ òåì æå ñèìâîëîì νL .1.1 Èçìåðèìûå ôóíêöèè íà R1 .Îïðåäåëåíèå 2. Ôóíêöèÿ f : R1 → R1 ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìîé, åñëè îíà èçìåðèìà, êàêîòîáðàæåíèå:¡¢f : R1 , AL ) → (R1 , B(R1 ) ,òî åñòü ∀a ∈ R1 ìíîæåñòâî {x : f (x) < a} ∈ AL , òî åñòü èçìåðèìî ïî Ëåáåãó.Óïðàæíåíèå 1. Ïîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ èçìåðèìà.Åñëè ôóíêöèÿ f - íåïðåðûâíà, òî ìíîæåñòâî {x : f (x) < a} - îòêðûòî.
Çíà÷èò,{x : f (x) < a} ∈ B(R1 ).Òàê êàê B(R) ⊂ AL , òî {x : f (x) < a} ∈ AL .Óïðàæíåíèå 2. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ f íà R1 , èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ðèìàíó, èçìåðèìà.Äàëåå äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà A ñèìâîë γA îáîçíà÷àåò åãî èíäèêàòîð.Ïóñòü Ω - íåêîòîðîå ìíîæåñòâî. Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ íà Ω íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé, åñëè ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé êîíå÷íî. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ïðîñòûõ ôóíêöèéîáðàçóåò àëãåáðó (òî åñòü (êîíå÷íàÿ) ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ïðîñòûõ ôóíêöèé è ïðîèçâåäåíèå ïðîñòûõ ôóíêöèé - ñíîâà ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ).21 ËåêöèÿÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 1. Ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ÿâëÿåòñÿ (êîíå÷íîé) ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé èíäèêàòîðîâ êàêèõ-òî ìíîæåñòâ.Äîêàçàòåëüñòâî.Òàê êàê èíäèêàòîð (âñÿêîãî) ìíîæåñòâà - ýòî ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ, òî è èõ êîíå÷íàÿ ëèíåéíàÿêîìáèíàöèÿ - òàêæå ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè f - ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ è {a1 , a2 , .
. . , an } - ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé(òàê ÷òî ai 6= aj , åñëè i 6= j ), òîf (x) =nXaj γ{z∈Ω : f (z)= ai } (x).j=1¤Çàìå÷àíèå. Åñëè i 6= j, òî{z ∈ Ω : f (z) = aj } ∩ {z ∈ Ω : f (z) = aj } = ∅;òàêèì îáðàçîì, èç äîêàçàòåëüñòâà ïðåäëîæåíèÿ 1 âûòåêàåò, ÷òî âñÿêàÿ ïðîñòàÿ ôóíêöèÿÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé èíäèêàòîðîâ ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ.ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 2. Ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ f : Ω → R1 ÿâëÿåòñÿ ïîòî÷å÷åíûì ïðåäå-ëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn ïðîñòûõ ôóíêöèé, òî åñòü∀f : Ω → R1ïðè÷åì ∀ω ∈ Ωèçìåðèìûìè.∃ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } òàêàÿ, ÷òî ∀n fn - ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ,fn (ω) → f (ω). Åñëè f - èçìåðèìà, òî âñå fn ìîãóò áûòü âûáðàíûÄîêàçàòåëüñòâî.
Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå îòðåçêà îñè îðäèíàòîò 0 äî n íà ïîëóèíòåðâàëû äëèíû 21n .Òàêèì îáðàçîì, ÷òî ÷èñëî îòðåçêîâ ðàçáèåíèÿ ðàâíî 2n · 2n . Îïðåäåëèì ôóíêöèþ ϕk ðàâåíñòâîì:ϕk (ω) = k · 2−n · γ{w: k· 2−n 6 f (ω) < (k+1)· 2−n } .31 ËåêöèÿÏîëîæèìfn (ω) =n·2nXk=−n·ϕk (ω) + (n + 1) · γ{w:n6 f (ω)}− n · 2−n · γ{w:f (ω)< n} .2n êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî∀ω ∈ Ωfn (ω) → f (ω).¤Çàìå÷àíèå. Åñëè ∀ω ∈ Ω f (ω) > 0, òî ïîñòðîåííàÿ âûøå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn ñõîäèòñÿê f (ω) íå óáûâàÿ. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî çàìå÷àíèÿ ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Ïóñòü (Ω, A) - èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî.Çàìå÷àíèå. Íàïîìíèì, ÷òî èíäèêàòîð ìíîæåñòâà A ⊂ Ω èçìåðèì â òî÷íîñòè òîãäà,êîãäà ìíîæåñòâî A èçìåðèìî (òî åñòü êîãäà A ∈ A).Äåéñòâèòåëüíî, åñëè A ⊂ Ω è ôóíêöèÿ γA èçìåðèìà, òî ìíîæåñòâî A èçìåðèìî, òàêêàê¡ ¢A = f −1 {1} .Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ìíîæåñòâî A èçìåðèìî, ÷òî∅,1∀c ∈ R , {ω ∈ Ω : f (w) < c} = Ω\A,Ω,ôóíêöèÿ γA èçìåðèìà, òàê êàê:åñëè c 6 0;åñëè 0 < c 6 1;åñëè c > 1,ïðè÷åì ìíîæåñòâà A è Ω\A èçìåðèìû èëè íåò îäíîâðåìåííî.ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 3.
Ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ f èçìåðèìà â òî÷íîñòè òîãäà, êîãäà îíà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé èíäèêàòîðîâ ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ.Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, èç ïîñëåäíåãî çàìå÷àíèÿ ñëåäóåò, ÷òî èíäèêàòîðû èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ, à ñëåäîâàòåëüíî, è èõ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè èçìåðèìû.Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç ïåðâîãî çàìå÷àíèÿ ê ïðåäëîæåíèþ 2, òàê êàê ìíîæåñòâà{z ∈ Ω : f (z) = ai } = f −1 ({ai }),î êîòîðûõ ãîâîðèòñÿ â ýòîì çàìå÷àíèè, èçìåðèìû.¤Çàìå÷àíèå. Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ÍÅâåðíî:åñëè Ω =mFn=1Ωn è ôóíêöèÿ f, îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì:f (ω) =mXλj · γΩj (ω) - èçìåðèìà,j=1òî âñå fk (ω) - èçìåðèìû.41 ËåêöèÿÄîêàçàòåëüñòâî.
Ïðèâåäåì òàêîé êîíòðïðèìåð:Ïóñòü Ω = Ω1 t Ω2 , òîãäà f (ω) ≡ 1 = γΩ1 (ω) + γΩ2 (ω),íî ôóíêöèè γΩ1 è γΩ2 íå áóäóò èçìåðèìû, åñëè îäíî èç ìíîæåñòâ Ω1 , Ω2 (êîíå÷íî, òîãäàè äðóãîå) íåèçìåðèìî.¤1.2 Èíòåãðàë Ëåáåãà.Âñþäó äàëåå (Ω, A, ν) - ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîé.Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü f - ïðîñòàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, òàê ÷òîf (ω) =nXλi · γΩi (ω),i=1nGΩj = Ω,λj > 0,Ωj ∈ A.j=1R Èíòåãðàë RËåáåãà îò ôóíêöèè f ïî ìíîæåñòâó Ω, îáîçíà÷àåìûé îäíèì èç ñèìâîëîâf (ω)ν(dω), f (ω) dν, îïðåäåëÿåòñÿ òàê:ΩΩZZdeff (ω)ν( dω) =Ωf (ω) dν =nXλi · ν{ω : f (ω) = λi } =nXi=1Ωλi · ν(Ωi ).i=1Ïðîâåðèì êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ, òî åñòü íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà îò âûáîðà ñåìåéñòâà (èçìåðèìûõ) ìíîæåñòâ Ωj , äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:f (ω) =nXλi γΩi (ω).i=1Ïóñòü(1)f (ω) =nXaj γAj (ω)(2)èf (ω) =j=1íàì íóæíî ïîêàçàòü, ÷òîÏîëîæèì Cjk = AjTmXbk γBk (ω);k=1nXaj ν(Aj ) =mXi=1bk ν(Bk ).k=1Bk , òîãäà(3)f (ω) =Xcjk · γCjk (ω),ãäå cjk = bk = aj ,j,kòàê êàê, åñëè ω ∈ Aj ∩ Bk , òî îäíîâðåìåííî f (ω) = bk = aj .Ïîýòîìó, ñ îäíîé ñòîðîíû,Xj,kcjk ν(Aj ∩ Bk ) =n XmXcjk ν(Aj ∩ Bk ) =i=1 k=1n XmXi=1 k=15aj ν(Aj ∩ Bk ) =nXj=1aj ν(Aj );1 ËåêöèÿÑ äðóãîé ñòîðîíû,Xcjk ν(Aj ∩ Bk ) =m XnXj,kòàê ÷òîcjk ν(Aj ∩ Bk ) =k=1 i=1nPaj ν(Aj ) =i=1mPm XnXbk ν(Aj ∩ Bk ) =k=1 i=1mXbk (Bk ),k=1bk ν(Bk ).k=1Îïðåäåëåíèå 4.
Ïóñòü f - íåîòðèöàòåëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ è fn - íåóáûâàþùàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ ïðîñòûõ ôóíêöèé, ïðè÷åì ∀ωf (ω) = lim fn (ω)(â ýòîì ñëó÷àå ìû ïèøåì fn (ω) % f (ω)). ÒîãäàZZZdeff (ω)ν( dω) = f (ω) dν = limfn (ω)ν( dω).n→∞n→∞ΩÎïðåäåëåíèå 5. ÅñëèΩZΩZ³f (ω) ν(dω) = limn→∞Ω´fn (ω)ν( dω) < ∞,Ωòî ôóíêöèÿ fn íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé (ñóììèðóåìîé) ïî Ëåáåãó íà ìíîæåñòâå Ω .Îïðåäåëåíèå 6. Ëþáóþ ôóíêöèþ f (ω) : Ω → R ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàçíîñòèäâóõ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé:f (ω) = f + (ω) − f − (ω), ãäå((f (ω), åñëè f (ω) > 00,åñëè f (ω) > 0+−f (ω) =è f (ω) =0,åñëè f (ω) 6 0−f (ω), åñëè f (ω) < 0∀ωÎïðåäåëåíèå 7.
Ãîâîðèì, ÷òî f - èíòåãðèðóåìà, åñëè èíòåãðèðóåìû f + è f − è ïî îïðå-äåëåíèþZZdeff (ω) dν =ΩZ+f − (ω) dν.f (ω) dν −ΩΩÅñëè èíòåãðèðóåìà òîëüêî îäíà èç ôóíêöèé f + , f − , òî f - íåèíòåãðèðóåìà, íîRf (ω) dνΩîïðåäåëåí è ðàâåí +∞(−∞) (òàêèå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ êâàçèèíòåãðèðóåìûìè).
Åñëèîáå ôóíêöèè f + , f − íåèíòåãðèðóåìû, òî f - íåèíòåãðèðóåìà.Óïðàæíåíèå 3. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè f (ω) - èçìåðèìà, òî f + (ω) è f − (ω) - èçìåðèìû.Óïðàæíåíèå 4. Åñëè ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà îòðåçêå [0,1] òî îíà èíòåãðè-ðóåìà ïî Ëåáåãó è èíòåãðàëû ñîâïàäàþò.Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî îïðåäåëåíèå 4 êîððåêòíî (òî åñòü, ÷òî çíà÷åíèå èíòåãðàëà íå çàâèñèò îò âûáîðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn )).62 ËåêöèÿÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 4.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
