Лекции по функциональному анализу Смолянова О.Г. (1134957), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ìåðà ν - ïîëíà, åñëè ∀A ∈ A, èç òîãî, ÷òîνA = 0, ñëåäóåò, ÷òî∀B ⊂ A, B ∈ A è νB = 0.Åñëè èìååòñÿ íåïîëíàÿ ìåðà, òî åå ìîæíî ïîïîëíèòü. Ïîïîëíåíèå âûãëÿäèò òàê:A = {A ∈ Ω; ∃B ∈ A, ∃C ∈ A : A M B ⊂ C, νC = 0}; åñëè A ∈ A,òî ïîëàãàåì, ÷òî νA = νB .Ïðîèçâåäåíèå ìåð ìîæåò áûòü íåïîïîëíåííûì, íî ìîæíî åãî ïîïîëíèòü. Òîëüêî ÷òîîïðåäåëåííîå ïðîèçâåäåíèå íå îáÿçàíî áûòü ïîëíîé ìåðîé, íî åå ìîæíî ïîïîëíèòü; òîãäàïîëó÷èòñÿ ïîïîëíåííîå ïðîèçâåäåíèå ìåð.8 ËåêöèÿÒ Å Î Ð Å Ì À 11 (Ôóáèíè). Ïóñòü f - ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ íà Ω1 × Ω2 .1. Åñëè f ∈ L0 (Ω1 × Ω2 , A1 ⊗ A2 , ν1 ⊗ ν2 ).Òîãäà∀ω1 ∈ Ω1 , Ω2 3 ω2 7→ f (ω1 , ω2 ) − ν2 - èçìåðèìà è∀ω2 ∈ Ω2 , Ω1 3 ω1 7→ f (ω1 , ω2 ) − ν1 - èçìåðèìà.2.
Åñëè f ∈ L1 (Ω1 × Ω2 , A1 × A2 , ν1 ⊗ ν2 ).Òîãäà äëÿ ν2 -ïî÷òè âñåõ ω2 ∈ Ω2 ôóíêöèÿω1 7→ f (ω1 , ω2 ) − ν1 -èíòåãðèðóåìà,ïðè÷åì ôóíêöèÿZω2 7→f (ω1 , ω2 )ν1 (dω1 )Ω1(îïðåäåëåííàÿ ν2 - ïî÷òè âñþäó) áóäåò èçìåðèìà è ν2 -èíòåãðèðóåìà èZ Z¡¢(1)f (ω1 , ω2 ) ν2 (dω2 ) ν1 (dω1 ) =Ω1 Ω2328 Ëåêöèÿ=Z Z¡Z¢f (ω1 , ω2 ) ν1 (dω1 ) ν2 (dω2 ) =Ω2 Ω1f (ω1 , ω2 ) ν1 ⊗ ν2 (dω1 , dω2 )Ω1 ×Ω2Åñëè ôóíêöèÿ f íåîòðèöàòåëüíà, òî ïðåäïîëàãàòü èíòåãðèðóåìîñòü íåîáÿçàòåëüíî èðàâåíñòâî (1) âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè.Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Ôóáèíè äëÿ ôóíêöèé íà ïîïîëíåííîì ïðîèçâåäåíèè ìåð îòëè÷àåòñÿ òîëüêî â ïóíêòå 1; â ñëó÷àå ïîïîëíåííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ôóíêöèÿ ω2 7→ f (ω1 , ω2 )îïðåäåëåíà è ν2 èçìåðèìà ëèøü äëÿ ν1 -ïî÷òè âñåõ ω2 , à ôóíêöèÿ ω1 7→ f (ω1 , ω2 ) îïðåäåëåíà è ν1 èçìåðèìà ëèøü äëÿ ν2 -ïî÷òè âñåõ ω1 .Ï Ð È Ì Å Ð.
Ïóñòü Ω = N, AN - σ -àëãåáðà âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà N èν(A) - ÷èñëî ýëåìåíòîâ A, A ⊂ N. Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ f : Ω → R âûïîëíåíî:f ∈ L1 (Ω, A, ν) ⇐⇒∞X|f (n)| < ∞n=1Zèf (ω)ν(dω) =∞Xf (n).n=1ΩÍàñ èíòåðåñóåò òî, êàê áóäåò âûãëÿäåòü òåîðåìà Ôóáèíè. Ïóñòüf : Ω1 × Ω2 → R(Ω1 = Ω2 = N)∞Xf ∈ L1 (Ω1 × Ω2 , A1 × A2 , ν1 ⊗ ν2 ) ⇐⇒|f (n, k)| < ∞,n,k=1Zf (ω)(ν1 ⊗ ν2 )(dω) =f (n, k)n,k=1Ω1 ×Ω2Z Z¡∞X∞∞ XX¢f (n, k).f (ω1 , ω2 ) ν1 (dω1 ) ν2 (dω2 ) =n=1 k=1Ω2 Ω1Çíà÷èò, òåîðåìà Ôóáèíè â äàííîì ñëó÷àå óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî,òî ñóììû ïîâòîðíîãî è äâîéíîãî ðÿäîâ ñîâïàäàþò.1 −10 −1 1¡¢ .1 −1 ..
- ýëåìåíòû áåñêîíå÷íîé ìàòðèöû - ýòîÏ Ð È Ì Å Ð. Ïóñòü f (n, k) = −1 1...0...çíà÷åíèÿ, ïðèíèìàåìûå ôóíêöèåé f íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàðàõ (n, k).ÒîãäàX|f (n, k)| = ∞ èn,k338 ËåêöèÿZ Z¡¢f (n, k)ν1 (dk) ν2 (dn) = 0 =Ω2 Ω1Z Z¡¢f (n, k)ν2 (dn) ν1 (dk),Ω1 Ω2òàê ÷òî ïîâòîðíûå èíòåãðàëû ñóùåñòâóþò è ðàâíû, õîòÿ äâîéíîé èíòåãðàë íå ñóùåñòâóåò.1 −101 −1¡¢ .. Ï Ð È Ì Å Ð. Ïóñòü f (n, k) = - áåñêîíå÷íàÿ ìàòðèöà.1 −1 . ...0...ÒîãäàZ ZX¡¢|f (n, k)| = ∞,f (n, k)ν1 (dk) ν2 (dn) = 0,n,kíîZ Z¡Ω2 Ω1¢f (n, k)ν2 (dn) ν1 (dk) = 1.Ω1 Ω2Çäåñü äâîéíûå èíòåãðàëû ñóùåñòâóþò, íî íå ðàâíû.Ñòàíäàðòíîå îáîçíà÷åíèålp = Lp (Ω, A, ν) (Ω = N).lp - ìíîæåñòâî âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.∞Xp|xn | < ∞, ïðè ýòîì íîðìà ðàâíà ||(xn )||lp =n=1∞¡X|xn |p¢ p1.n=1Äîêàçàòåëüñòâî. òåîðåìû Ôóáèíè (â äîêàçàòåëüñòâå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìåðû êîíå÷íû).1.
Ïóñòü P - ïîëóêîëüöî âñåõ ïðÿìîóãîëüíèêîâA1 × A2 , òîãäà (ν1 ⊗ ν2 )(A1 × A2 ) = ν1 A1 · ν2 A2 .Äîêàæåì, ÷òî ìåðà ν1 ⊗ ν2 ñ÷åòíî àääèòèâíà íà P . ÏóñòüGA1 × A2 = (An1 × An2 ) (∗).nÌû äîëæíû äîêàçàòü, ÷òîν1 A1 · ν2 A2∞∞XXnnν1 An1 · ν2 An2 .= (ν1 ⊗ ν2 )(A1 × A2 ) =(ν1 ⊗ ν2 )(A1 × A2 ) =n=1n=1Ââåäåì ôóíêöèþ f (ω1 ) = ν2 A2 · γA1 (ω1 ) è äëÿ êàæäîãî n òàêæå ââåäåì ôóíêöèþfn (ω1 ) = ν2 An2 γAn1 (ω1 ).∞PÓòâåðæäàåòñÿ, ÷òî èç (*) ñëåäóåò, ÷òî ∀ω1 f (ω1 ) =fn (ω1 ). Ýòî óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿn=1âåðíûì, ïîòîìó ÷òî ìåðà ν2 - ñ÷åòíî àääèòèâíà.348 Ëåêöèÿ∞P∀ ω1 ∈ A1 f (ω1 ) = ν2 A2 =n=1ν2 An2 =∞Pfn (ω1 ).n=1Òàê êàê âñå ôóíêöèè íåîòðèöàòåëüíû, òî ïî ò. Áåïïî - Ëåâè ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîZν2 A2 ·ν1 A1 =f (ω1 )ν1 (dω1 ) =∞ ZXn=1Ω1fn (ω1 )ν1 (dω1 ) =∞Xν2 An2 ·ν1 An1n=1Ω1∞X=(ν1 ⊗ν2 )(An1 ×An2 )n=1Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðîâåðèëè ñ÷åòíóþ àääèòèâíîñòü ìåðû ν1 ⊗ ν2 íà P .2.
Äîêàæåì òåîðåìó Ôóáèíè ñíà÷àëà äëÿ èíäèêàòîðîâ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ.Äëÿ èíäèêàòîðîâ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ, ÿâëÿþùèõñÿ ïðÿìîóãîëüíèêàìè, îíà âåðíà:ZγA1 ×A2 (ω)(ν1 ⊗ ν2 )(dω) = ν1 A1 · ν2 A2 =Ω1 ×Ω2==RZ Z¡¢f (ω1 , ω2 )ν2 (dω2 ) ν1 (dω1 ) =Ω1 Ω2ν2 A2 ν1 (dω1 ) = ν2 A2 · ν1 A1 ⇒ äëÿ èíäèêàòîðîâ äîêàçàíî.Ω13. Çíà÷èò, îíà âåðíà äëÿ êîíå÷íûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé èíäèêàòîðîâ ïðÿìîóãîëüíèêîâ. ÷àñòíîñòè, äëÿ èíäèêàòîðîâ ìíîæåñòâ, ïðèíàäëåæàùèõ êîëüöó S(P ), ïîðîæäåííîìóïîëóêîëüöîì P.Ïóñòü Φ - ñîâîêóïíîñòü âñåõ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ òàêèõ, ÷òî äëÿ èõ èíäèêàòîðîâ òåîðåìàÔóáèíè âåðíà:Φ = {A ∈ A1 × A2 , äëÿ γA òåîðåìà Ôóáèíè âåðíà.}.A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . . , Aj ∈ Φ ⇒358 Ëåêöèÿ⇒[Aj ∈ Φ (ýòîò ôàêò âûòåêàåò èç òåîðåìû Áåïïî-Ëåâè).jÈçâåñòíî, ÷òî äëÿ γAj - òåîðåìà âåðíà, òàê êàê Aj âîçðàñòàåò, òîγAj (ω1 , ω2 ) → γ∪Aj (ω1 , ω2 ),ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Áåïïî-Ëåâè:ZZγAj (ω1 , ω2 )(ν1 ⊗ ν2 )(dω) →Ω1 ×Ω2γ∪Aj (ω1 , ω2 )(ν1 ⊗ ν2 )(dω),Ω1 ×Ω2ïîêàæåì, ÷òî äëÿ òàêèõ îáúåäèíåíèé òåîðåìà Ôóáèíè âåðíà.Äàëåå, åñëè A, B ∈ Φ, B ⊂ A, òî γA\B = γA − γB è òàê êàê òåîðåìà Ôóáèíè âåðíà äëÿ γAè äëÿ γB , òî îíà âåðíà è äëÿ èõ ðàçíîñòè.
Èòàê, ñîâîêóïíîñòü ℘ îáëàäàåò ñëåäóþùèìèñâîéñòâàìè:(1) Ω ∈ Φ;(2) A1 , A2 ∈ Φ ⇒ A1 \A2 ∈ Φ;(3) Åñëè ∀ n An ∈ ℘, A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . . , òî[An ∈ Φ;n(4) S(P ) ⊂ Φ.Ïóñòü Φ0 - ìèíèìàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ìíîæåñòâ ñî ñâîéñòâàìè (1)-(4), òàê ÷òî Φ0 ⊂ Φ.Äîêàæåì, ÷òî, åñëè A1 , A2 ∈ ℘, òî A1 ∩ A2 ∈ Φ0 .ÏóñòüΦ1 = {A ∈ Φ : ∀ B ∈ S(P ), A ∩ B ∈ Φ0 }.Òîãäà(A)S(P ) ⊂ Φ1 ( òàê êàê ∀ A ∈ S(P ), ∀ B ∈ S(P ), A ∩ B ∈ S(P ) ⊂ Φ0 ;(B)åñëè Aj ∈ Φ1 è A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . .
, òî ∪ Aj ∈ Φ1 .Äåéñòâèòåëüíî, ðàç Aj ∈ Φ1 , òî∀ B ∈ S(P ), Aj ∩ B ∈ Φ0=⇒[Aj ∩ B ∈ Φ0 .j(C)åñëè A1 , A2 ∈ Φ1 è A1 ⊃ A2 , òî A1 \A2 ∈ Φ1 .Äåéñòâèòåëüíî, ðàç Aj ∈ Φ1 , òî∀ B ∈ S(P ), Aj ∩ B ∈ Φ0(A1 ∩ B) ⊃ (A2 ∩ B)è, çíà÷èò, â ñèëó ñâîéñòâà (2) ñèñòåìû Φ0 ,(A1 ∩ B)\(A2 ∩ B) = (A1 \A2 ) ∩ B ∈ Φ0 ,369 Ëåêöèÿà ýòî çíà÷èò, ÷òî A1 \A2 ∈ Φ1 . Òî, ÷òî Ω ∈ Φ1 , î÷åâèäíî.Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà Φ1 îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè (1)-(4) è ñîäåðæèòñÿ â Φ0 ; òàêêàê Φ0 - ìèíèìàëüíàÿ ñèñòåìà ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè, òî Φ1 = Φ0 .ÏóñòüΦ2 = {A ∈ Φ0 : ∀ B ∈ Φ0 , A ∩ B ∈ Φ0 }.Òîãäà ñèñòåìà Φ2 ñíîâà îáëàäàåò ñâîéñòâàìè (1)-(4). Äåéñòâèòåëüíî,S(P ) ⊂ Φ2 , òàê êàê ∀ B ∈ S(P ) ∀ A ∈ Φ1 , A ∩ B ∈ Φ0 , à Φ1 = Φ0 .Ñâîéñòâà (2), (3) äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãè÷íî.Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà Φ2 îáëàäàåò ñâîéñòâàìè (1)-(4) è ñîäåðæèòñÿ â ìèíèìàëüíîé ñèñòåìå (Φ0 ) ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè.
Çíà÷èò, Φ2 = Φ0 .Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà Φ0 îáëàäàåò ñâîéñòâàìè (1)-(4) è ñâåðõ òîãî ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì:∀ A, B ∈ Φ0 , A ∩ B ∈ Φ0 .Íî ýòî çíà÷èò, ÷òî Φ0 - ýòî σ -àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ S(P ) è, çíà÷èò, ñîäåðæàùàÿ ìèíèìàëüíóþ σ -àëãåáðó, ñîäåðæàùóþ S(P ) (â äåéñòâèòåëüíîñòè îíà ñ íåé ñîâïàäàåò, òàê êàêìèíèìàëüíàÿ σ -àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ S(P ), òàêæå îáëàäàåò ñâîéñòâàìè (1)-(4)).Èòàê, äîêàçàíî, ÷òî äëÿ èíäèêàòîðà êàæäîãî ìíîæåñòâà èç A1 ⊗ A2 (òî åñòü äëÿ êàæäîãîèçìåðèìîãî ìíîæåñòâà) òåîðåìà Ôóáèíè âåðíà.
Òîãäà îíà âåðíà è äëÿ êîíå÷íûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé òàêèõ èíäèêàòîðîâ, òî åñòü äëÿ ïðîñòûõ ôóíêöèé, à çíà÷èò, è äëÿ èõìîíîòîííûõ ïðåäåëîâ, òî åñòü äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íåîòðèöàòåëüíûõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé;òàê êàê ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ - ýòî ðàçíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ, òî òåîðåìàÔóáèíè äîêàçàíà ïîëíîñòüþ.¤9 ËåêöèÿÒ Å Î Ð Å Ì À 12 (Ðàäîíà-Íèêîäèìà). Ïóñòü (Ω, A) - èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî, ν, µ- ìåðû íà ñèãìà-àëãåáðå A ìíîæåñòâ ïîäìíîæåñòâà Ω (íåîòðèöàòåëüíûå êîíå÷íûå).Ïóñòü òàêæå µ - àáñîëþòíà íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî ν (µ << ν), òî åñòü èç òîãî,÷òî νA = 0 ñëåäóåò, ÷òî µA = 0.Òîãäà∃f ∈ L1 (Ω, A, ν) : µ = f ν,òî åñòüZ∀A ∈ A µ(A) =f (ω)ν(dω)).AÄîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì íîâóþ ìåðóη = µ + ν, òî åñòü ∀ A ∈ A η(A) = µ(A) + ν(A).379 ËåêöèÿÐàññìîòðèì íîâîå ïðîñòðàíñòâî L2 (Ω, A, η) è ôóíêöèîíàë F íà íåì:ZF (ϕ) = ϕ(ω)µ(dω).ΩÄîêàæåì, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ ϕ ∈ L2 (Ω, A, η) µ-èíòåãðèðóåìà.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ϕ ∈ L2 (Ω, A, η), òî ϕ ∈ L1 (Ω, A, η) :ZZZZ¡¢22|ϕ| dη 6 |ϕ| dν · 1 dη = |ϕ|2 dη · η(Ω);ΩΩΩΩïîýòîìó, åñëè ϕ ∈ L2 (Ω, A, η), òîZZZ∞ >|ϕ| dη = |ϕ| dν + |ϕ| dµ =⇒ ϕ ∈ L1 (Ω, A, µ).ΩΩÏðè ýòîìΩZ|F (ϕ)| = |Zϕ dµ| 6ΩZ1|ϕ| dµ 6Ω|ϕ| dη 6 ||ϕ||η · (η(Ω)) 2ΩÑëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèîíàë F - íåïðåðûâåí. ñèëó òåîðåìû Ðèññà îá îáùåì âèäå ëèíåéíîãî íåïðåðûâíîãî ôóíêöèîíàëà íà ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òîZ∃ g ∈ L1 (Ω, A, η) : F (ϕ) = (g, ϕ) = g(ω)ϕ(ω)η(dω).ΩÐàññìîòðèì ìíîæåñòâîA0 = {ω ∈ Ω : g(ω) > 1}.Äîêàæåì, ÷òî ýòî ìíîæåñòâî èìååò íóëåâóþ ìåðó η .ZZZZF (ϕ) = ϕ(ω)µ(dω) = g(ω)ϕ(ω)η(dω) = g(ω)ϕ(ω)µ(dω) + g(ω)ϕ(ω)ν(dω).ΩΩΩΩÏóñòü ϕ = γA0 .
Òîãäà:ZF (γA0 ) =ZγA0 (ω) dµ = µ(A0 ) =ΩZg(ω)µ(dω) +A0g(ω)ν(dω) > µ(A0 ) + ν(A0 ) =⇒A0=⇒ ν(A0 ) 6 0 ⇒ ν(A0 ) = 0 ⇒ µ(A0 ) = 0. èòîãå,ZF (ϕ) =Zϕ dµ =Ω\A0Zg(ω)ϕ(ω)η(dω) =Ω\A0gϕ dµ +Ω\A038ZΩ\A0gϕ dν ⇒9 ËåêöèÿZZ(1 − g)ϕ dµ =Ω\A0gϕ dν,∀ ϕ > 0, ϕ ∈ L2 .Ω\A0Èñïîëüçóÿ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä, ïîëó÷èì, ÷òî ýòî íåðàâåíñòâî âåðíî ∀ ϕ > 0.ÏóñòüγA (ω)∀ A ∈ A ϕA (ω) =.1 − g(ω)ÒîãäàZZZg(ω)g(ω)µ(A) = γA (ω) dµ =γA (ω) dν =dν.1 − g(ω)1 − g(ω)ΩΩ ÷àñòíîñòè, åñëè A = Ω è f (ω) =Ag(ω),1−g(ω)Zµ(Ω) =òîgdν =1−gΩZf (ω) dν;Ωñëåäîâàòåëüíî, f - èíòåãðèðóåìà ïî ìåðå ν . Èòàê, ìû ïîëó÷èëè, ÷òîZ∀ A ∈ A, µ(A) = f (ω) dν.A¤9.1 Îáîáùåííûå ôóíêöèè.
Òåîðèÿ îáîáùåííûõ ôóíêöèé.Ïóñòü D(R) - ïðîñòðàíñòâî ôèíèòíûõ, áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé íà R.Îïðåäåëåíèå 22. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕn ∈ D - ñõîäèòñÿ ê íóëþ, åñëèâûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:(1)∀k |ϕn(k) (t)| → 0 ðàâíîìåðíî ïî t;(2)∃ a > 0 : ∀n, ∀t : |t| > a ⇒ ϕn (t) = 0.Óïðàæíåíèå 9. Ïîêàçàòü, ÷òî íà ïðîñòðàíñòâå D íåëüçÿ ââåñòè ìåòðèêó, ñõîäèìîñòü îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ òîëüêî ÷òî îïðåäåëåííîé.Îïðåäåëåíèå 23. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕn ∈ D ñõîäèòñÿ ê ϕ ∈ D:n→∞n→∞ϕn → ϕ ∈ D(R) ⇐⇒ ϕn − ϕ → 0.∞SÏóñòü D =D[−n,n] , ãäå D[−a,a] = {ϕ ∈ D; ∀t ∈/ [−a, a]; ϕ(t) = 0},n=1òîãäà:D[−a,a] 3 ϕn → 0 ⇐⇒ ∀k |ϕ(k)n (t)| → 0 (ïðè n → ∞, ðàâíîìåðíî ïî t).Ìû õîòèì ââåñòè òîïîëîãèþ íà D[−n,n] .
Îíà çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñåìåéñòâà íîðì:k = 0, 1, ... pk (ϕ) = ||ϕ||k = max |ϕ(k) (t)|.t∈[−n,n]399 ËåêöèÿÓïðàæíåíèå 10. Ïîêàçàòü, ÷òî ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé â ýòîé òîïîëîãèè ñîâïàäàåò ñ òîé, êîòîðóþ ìû òîëüêî ÷òî îïðåäåëèëè.Òîïîëîãèÿ â D[−n,n] - ýòî òà òîïîëîãèÿ, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ ñåìåéñòâîì íîðì {pk }.Ñõîäèìîñòü ϕn → 0 â D[−n,n] ýêâèâàëåíòíà òîìó, ÷òî ∀ k pk (ϕn ) → 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
