Лекции по функциональному анализу Смолянова О.Г., страница 4

(1) f (x) = x1α , 0 < α < 1 èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó.(2) f (x) = x1 íå èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó ⇒ íå èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó.(3) èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó, à ïî Ëåáåãó íåèíòåãðèðóåìà.Âûáèðàåì ai òàê, ÷òîáûa1 ·11111= 1, a2 · = , . . . , an · n = .2422nZ1(R)f (x) dx =∞X(−1)n+1n=10n.Íî ðÿä èç ìîäóëåé ðàñõîäèòñÿ ⇒ ïî Ëåáåãó íåèíòåãðèðóåìà.Îïðåäåëåíèå 17. Lp (Ω, A, ν) - ìíîæåñòâî âñåõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé f íà Ω , òàêèõ ÷òîZ|f (x)|p ν(dω) < ∞.Ω246 ËåêöèÿÄîêàæåì, ÷òî ýòî ïðîñòðàíñòâî ëèíåéíî è îïðåäåëèì íà íåì íîðìó. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òîf (·) ∈ Lp ⇒ αf (·) ∈ Lp ∀α ∈ R.Äîêàæåì, ÷òî ñóììà ôóíêöèé èç Lp òîæå ïðèíàäëåæèò Lp . Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì∀a, b > 0 (a + b)p 6 Cp (ap + bp ),ïðåäâàðèòåëüíî äîêàçàâ åãî.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïîëîæèì(1 + t)p, t>01 + tpßñíî, ÷òî ψ(t) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé, ïðè÷åì ψ(0) = 1, ψ(t) → 1 (t → ∞).Ñëåäîâàòåëüíî, ψ(t) 6 Cp .Òåïåðü ñäåëàåì çàìåíó:at = , ãäå a > 0 è b > 0,bòîãäà(1 + t)p 6 Cp (1 + tp ) ⇐⇒ (a + b)p 6 Cp (ap + bp )ψ(t) =¤Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f (·), g(·) ∈ Lp , òî åñòü |f (·)| , |g(·)| ∈ L1 è ïîëîæèìppa = |f (ω)|, b = |g(ω)|.Òîãäà èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ öåïî÷êà íåðàâåíñòâ:¡¢p¡¢|f (ω) + g(ω)|p 6 |f (ω)| + |g(ω)| 6 Cp |f (ω)|p + |g(ω)|p ∈ L1 .Äëÿ èíòåãðàëîâ ýòè íåðàâåíñòâà ñîõðàíÿþòñÿ, çíà÷èò,f (·) + g(·) ∈ Lp .Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì(1)ab 6ap bq+ ,pqãäå 1 < p, q < ∞,1 1+ = 1,p q∀a, b > 0.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî íåðàâåíñòâà îñòàåòñÿ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.Îïðåäåëèì ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå Lp òàêèì îáðàçîì:Z¡¢1(2)||f ||p =|f (ω)|p ν (dω) p .ΩÄîêàæåì, ÷òî ýòî ïîëóíîðìà.

Èìåÿ f (ω), g(ω) ∈ Lp , ïîëîæèìa=|g(ω||f (ω)|, b=.||f ||p||g||q256 Ëåêöèÿè ïîäñòàâèì èõ â íåðàâåíñòâî (1). Òîãäà ïîëó÷èì:¡ |f (ω)| ¢p 1¡ |g(ω)| ¢q 1|f (ω)||g(ω)|6+.||f ||p ||g||q||f ||p p||g||q qÈíòåãðèðóåì ýòî íåðàâåíñòâîZΩ|f (ω)||g(ω)|ν(dω) 6||f ||p ||g||qZΩ¡¢â ñèëó (2)11pqν (dω)=p |f (ω)| +q |g(ω)|p ||f ||pq ||g||q=1 1+ =1p q èòîãå ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî:ZΩ|f (ω)||g(ω)|ν(dω) 6 1,||f ||p ||g||qêîòîðîå ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:Z|f (ω)||g(ω)|ν(dω) 6 ||f ||p ||g||q −Ω- Ýòî íåðàâåíñòâî íîñèò íàçâàíèå íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà. ÷àñòíîñòè, íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì íåðàâåíñòâàÃåëüäåðà (ïðè a = b = 2).Òàêæå îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî f (ω)g(ω) - èíòåãðèðóåìà. Íàäî ïðîâåðèòü, ÷òî ||f ||p - ïîëóíîðìà.(1) ||f ||p > 0.(2) ||αf ||p = |α| · ||f ||p .(3) ||f + g||p 6 ||f ||p + ||g||p (íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî).Ïðè äîêàçàòåëüñòâå íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà ìû ïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî ||f ||p , ||g||q > 0.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî||f ||p = 0.Òîãäà ýòî áóäåò ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó óñëîâèþ:Z|f (ω)|p ν(dω) = 0.ΩÀ, çíà÷èò,|f (ω)|p = 0 ν−ïî÷òè âñþäó ⇒ f (ω) = 0 ν−ïî÷òè âñþäó ⇒ f (ω)g(ω) = 0 ν−ïî÷òè âñþäó,ñëåäîâàòåëüíî, íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà ñïðàâåäëèâî è ïðè ||f ||p > 0, ||g||p > 0.

Òåïåðü äîêàæåì íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî.266 ËåêöèÿÄîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿZZp|f (ω) + g(ω)| ν(dω) = |f (ω) + g(ω)| |f (ω) + g(ω)|p−1 ν(dω) 6ΩΩZZ6|f (ω)| |f (ω) + g(ω)|Ωp−1|g(ω)| |f (ω) + g(ω)|p−1 ν (dω) =ν (dω) +Ω¾p==ïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî (p − 1) =qZZpp=|f (ω)| |f (ω) + g(ω)| q ν (dω) +|g(ω)| |f (ω) + g(ω)| q ν (dω) 6½ΩΩpqp6 kf kp k(f + g) kq + kgkp k(f + g) q kqÍîpqk(f + g) kq =¡Zp¢1|f (ω) + g(ω)|p ν(dω) q = kf + gkpq ,Ωòàê êàê kf +Zgkpp|f (ω) + g(ω)|p ν(dω),=Ωïîýòîìókf +gkpppqpq6 kf kp kf + qkp + kgkp kf + gkp ⇔ kf +p− pqgkp⇔ ||f + g|| 6 ||f ||p + ||g||p , òàê êàê p −6 kf kp + kgkp ⇔p= 1.q¤Îïðåäåëèì ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâîLp (Ω, A, ν)/{f ∈ Lp , f (ω) = 0 ν−ïî÷òè âñþäó} = Lp (Ω, A, ν).Ïîëó÷àåì ïðîñòðàíñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ôóíêöèé Lp , ìîäóëè êîòîðûõ èíòåãðèðóåìû â ð-îé ñòåïåíè. Äëÿ f ∈ Lp îïðåäåëèì íîðìóZ¡¢1||f ||p =|f (ω)|p ν (dω) p .ΩÍîðìà íå çàâèñèò îò ïðåäñòàâèòåëÿ êëàññà.Ò Å Î Ð Å Ì À 9.

Ïðîñòðàíñòâî Lp ïîëíî.277 ËåêöèÿÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (fn ) ⊂ Lp - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â Lp .Ïóñòü {εn } - ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ òàêèì ñâîéñòâîì:∞Xεn < ∞, εi > 0 ∀ in=1Òîãäà∃n1 : ∀n, k > n1 ||fn − fk ||p < ε1∃n2 : ∀n, k > n2 ||fn − fk ||p < ε2è òàê äàëåå. Òîãäà ðÿä ôóíêöèéf1 + (fn1 − f1 ) + (fn2 − fn1 ) + . .

.(àáñîëþòíî) ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó. Äåéñòâèòåëüíî, ðÿä |f1 | + |fn1 − f1 | + |fn2 − f1 | + . . . ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó.Äåéñòâèòåëüíî,Z|fnj+1 − fnj | ν (dω) 6 kfnj+1 − fnj kp k1kqΩk1kq =¢1 ¡¢1ν(dω) q = ν(Ω) q = c > 0 ⇒ΩZ⇒Z¡|fnj+1 (ω) − fnj (ω)|ν(dω) 6 kfnj+1 − fnj kp c < εp · c.ΩÏîýòîìóZZ|f1 (ω)| dν +Ω|fn1 (ω) − f1 (ω)| dν + . . . < ∞.ΩÏî òåîðåìå Áåïïî-Ëåâè:|f1 (ω)| + |fn1 (ω) − f1 (ω)| +∞X|fnj+1 − fnj | < ∞ ïî÷òè âñþäój=1Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä f1 (ω) + (fn1 (ω) − f1 (ω)) + . . .

ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó.7 Ëåêöèÿ×àñòè÷íûìè ñóììàìè ýòîãî ðÿäà ÿâëÿþòñÿ:s1 = f1 (ω), s2 = fn1 (ω), . . . , sk+1 = fnk (ω).Íî ñõîäèìîñòü ðÿäà îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì. Èòàê,ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fnj (ω) → f (ω) ν−ïî÷òè âñþäó.

Äîêàæåì, ÷òîf (·) ∈ Lp è ÷òî fnj (ω) → f (ω) â ìåòðèêå Lp .287 ËåêöèÿÒàê êàê fn (ω) - ôóíäàìåíòàëüíà â Lp , òî ôóíäàìåíòàëüíà è åå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü(fnj ) ⇒∀ ε > 0 ∃m ∈ N : ∀ k, r > m ⇒ kfnk − fnr kLp < εÝòî çíà÷èò, ÷òîZ|fnk (ω) − fnr (ω)|p dν < εp äëÿ òàêèõ k, rΩÇàôèêñèðóåì k è óñòðåìèì r ê áåñêîíå÷íîñòè. Òîãäà ïîëó÷èì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòür→∞|fnk (ω) − fnr (ω)| −→ |fnk (ω) − f (ω)|.Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ïðèìåíèòü òåîðåìó Ôàòó.

Òî åñòü ïîëó÷àåì, ÷òîZ|fnk (ω) − f (ω)| ∈ Lp ,|fnk (ω) − f (ω)|p dν < εp äëÿ âñåõ k, r (∗)ΩÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òî1. fnk (ω) − f (ω) ∈ Lp , à òàê êàê Lp - ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî è fnk ∈ Lp ïî óñëîâèþ,òî f ∈ Lp .2. Íåðàâåíñòâî (∗) âåðíî ïðè ∀ k > n0Z|fnk (ω) − f (ω)|p < εp ⇐⇒ ||fnk − f ||p < ε∀k > n0 .ΩÝòî è îçíà÷àåò, ÷òî fnk → f â íîðìå Lp .ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 3. Ïóñòü E - ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è {xn } ∈ E - ôóíäàìåí-òàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.

Ïóñòü òàêæå xnk → x ∈ E. Òîãäà xn → x (äîêàçàòüýòî â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ). íàøåì ñëó÷àå ðîëü E èãðàåò Lp , à ðîëü xn èãðàåò fn . Ñëåäîâàòåëüíî, fn → f â Lp .Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî Lp − ïîëíî.¤7.1 Ôîðìóëà çàìåíû ïåðåìåííîé â èíòåãðàëå Ëåáåãà.Îïðåäåëåíèå 18. Ïóñòü F - îòîáðàæåíèå (Ω1 , A1 ) â (Ω2 , A2 ).F − èçìåðèìî, òî åñòü ∀A ∈ A2F −1 (A) ∈ A1 .Ïóñòü òåïåðü ν1 - ìåðà íà A1 . Îïðåäåëèì (ïðÿìîé) îáðàç ìåðû ν1 : F∗ ν1 ñëåäóþùèìîáðàçîì:(F∗ ν1 )(A) ≡ (ν1 F −1 ) = ν1 (F −1 (A)).297 ËåêöèÿÒàê êàê F −1 (A) ∈ A1 (òî åñòü èçìåðèìî), çíà÷èò, ν1 (F −1 (A)) - îïðåäåëåíà, ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëåíèå êîððåêòíî.Ò Å Î Ð Å Ì À 10. Ïóñòü F - îïðåäåëåííîå âûøå èçìåðèìîå îòîáðàæåíèå:F : (Ω1 , A1 ) → (Ω2 , A2 )è g : Ω2 → R - èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ.

Òîãäà âåðíà ôîðìóëà çàìåíû ïåðåìåííûõ:ZZg(ω2 )(F∗ ν)(dω2 ) = g(F (ω1 ))ν(dω1 )Ω2Ω1Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïðîâåðèì äëÿ g = γA2 , ãäå A2 ∈ A2ZγA2 (ω2 )(F∗ ν)(dω2 ) = (F∗ ν)(A2 ) = ν(F −1 A2 )ZΩ2ZγF −1 A2 (ω1 )ν(dω1 ) = ν(F −1 A2 ).γA2 (F (ω1 ))ν(dω1 ) =Ω1Ω1Ñïðàâåäëèâîñòü ïåðâîãî ðàâåíñòâà â ïîñëåäíåé ñòðîêå âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé öåïî÷êèýêâèâàëåíòíîñòåé:γF −1 A2 (ω1 ) = 1 ⇐⇒ ω1 ∈ F −1 (A2 ) ⇐⇒ F (ω1 ) ∈ A2 ⇐⇒ γA2 (F (ω1 )) = 1Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðîâåðèëè, ÷òî ôîðìóëà çàìåíû ïåðåìåííûõ âåðíà äëÿ èíäèêàòîðîâ.2. Èç ïóíêòà 1 ñðàçó æå ñëåäóåò, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ g - íåîòðèöàòåëüíîé, ïðîñòîé.3.

Âåðíî è äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé (äîêàçûâàåòñÿ ïåðåõîäîì ê ïðåäåëó,òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîñòûõ ôóíêöèé ñòðåìèòñÿ ê èçìåðèìîé).4. Ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ ïðåäñòàâèì êàê ðàçíîñòü äâóõ íåîòðèöàòåëüíûõ.Ïðè÷åì ïåðâûé èíòåãðàë ñóùåñòâóåò ⇐⇒ ñóùåñòâóåò âòîðîé èíòåãðàë.Ï Ð È Ì Å Ð. Ïóñòü ôóíêöèÿ ψ : [c, d] → [a, b] íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è îáëàäàåòòàêîé æå îáðàòíîé. Òîãäà ïî ôîðìóëå çàìåíû ïåðåìåííûõ, èçâåñòíîé èç ìàòåìàòè÷åñêîãîàíàëèçà, ïîëó÷èì:ψ −1ZbZ b=d(∗)g(x) dx =g(ψ(z))ψ 0 (z) dzaψ −1 a=cÑðàâíèì ýòî ðàâåíñòâî ñ íàøåé ôîðìóëîé.Ïóñòü Ω1 = [c, d], Ω2 = [a, b], F = ψ è c 6 α 6 β 6 d.

Îïðåäåëèì ìåðó íà σ -àëãåáðåáîðåëåâñêèõ ïîäìíîæåñòâ îòðåçêà [c, d] òàê:Zβψ 0 (z) dz = ψ(β) − ψ(α).ν[α, β) =α307 ËåêöèÿÈíòåãðàë ïî ýòîé ìåðå îïðåäåëÿåòñÿ òàêψZ−1 bψZ−1 bg(ψ(z))ψ 0 (z) dz =ψ −1 ag(ψ(z))ν(dz).ψ −1 aÍàéäåì îáðàç ìåðû:−1 βψZ1−1−1−1Zβ10(ψ∗ ν)[α1 , β1 ) = νψ ([α1 , β1 )) = ν[ψ α1 , ψ β1 ) =ψ (z) dz = β1 − α1 =ψ −1 α1dx,α1òî åñòü ψ∗ ν - ýòî ìåðà Ëåáåãà íà [a, b] èZbZbg(ω) (ψ∗ ν) (dω) =ag(x) dx.aÒî åñòü ôîðìóëà èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì íàøåé ôîðìóëû èç òåîðåìû 10.ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 4. Ïóñòü g - èçìåðèìàÿ âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ íà (Ω, A),f ∈ L1 (Ω, A, ν).Òîãäàg ∈ L1 (Ω, A, f ν) ⇐⇒ gf ∈ L1 (Ω, A, ν).Ïðè ýòîì âåðíî ðàâåíñòâî:ZZg(ω)(f ν)(dω) = g(ω)f (ω)ν(dω).ΩΩÄîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåðèì äëÿ èíäèêàòîðîâ A ∈ A:ZZZγA (ω)(f ν)(dω) = (f ν)(A) = f ν(dω) = γA (ω)f (ω)ν(dω).ΩAΩÄàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ ïðîâåñòè ñàìèì àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó äîêàçàòåëüñòâó.¤Îïðåäåëèì ïðîèçâåäåíèå èçìåðèìûõ ïðîñòðàíñòâ è ïðîñòðàíñòâ ñ ìåðîé.Îïðåäåëåíèå 19.

Ïðîèçâåäåíèåì èçìåðèìûõ ïðîñòðàíñòâ (Ω1 , A1 ) è (Ω2 , A2 ) íàçûâàåòñÿ èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî, îáîçíà÷àåìîå ñèìâîëîì:(Ω1 , A1 ) × (Ω2 , A2 ) èëè (Ω1 × Ω2 , A1 ⊗ A2 ), ãäåA1 ⊗ A2 - σ -àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ ïîëóêîëüöîì ïðÿìîóãîëüíèêîâ; ïðÿìîóãîëüíèêîì íàçûâàåòñÿ âñÿêîå ìíîæåñòâî âèäà A1 × A2 , Aj ∈ Aj .Óïðàæíåíèå 8. Ïóñòü Ai ∈ Ai . Äîêàçàòü, ÷òî {A1 × A2 } - ïîëóêîëüöî.318 ËåêöèÿÄàëåå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå ðàññìàòðèâàåìûå ìåðû ñ÷åòíî àääèòèâíû.Îïðåäåëåíèå 20. Ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ ñ ìåðîé:(Ω1 , A1 , ν1 ) × (Ω2 , A2 , ν2 ) = (Ω1 × Ω2 , A1 ⊗ A2 , ν1 ⊗ ν2 ).Ïðè ýòîì (òåíçîðíîå) ïðîèçâåäåíèå ìåð ν1 ⊗ ν2 îïðåäåëÿåòñÿ òàê: íà ïîëóêîëüöåïðÿìîóãîëüíèêîâ îíî îïðåäåëÿåòñÿ òàê:(ν1 ⊗ ν2 )(A1 × A2 ) = ν1 (A1 ) · ν2 (A2 ).Çàòåì ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ýòà ìåðà ñ÷åòíî àääèòèâíà, ïîñëå ÷åãî îíà ïðîäîëæàåòñÿíà ïîðîæäåííóþ ïîëóêîëüöîì σ -àëãåáðó.Çàìå÷àíèå î ïîëíûõ ìåðàõ.Îïðåäåëåíèå 21. Ïóñòü èìååòñÿ (Ω, A, ν).