Лекции по функциональному анализу Смолянова О.Г.

ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓÑÌÎËßÍÎÂÀ Î.Ã.ÄËß ÑÒÓÄÅÍÒΠ3 ÊÓÐÑÀ 6 ÑÅÌÅÑÒÐÀÇàïèñàíîßõîíòîâîé Âàëåðèåé,Ãðèöóê Ñâåòëàíîé,Ãîëÿêîâîé Àëåâòèíîéè Ïðèõîäüêî Èãîðåì2005 ãîä1 Ëåêöèÿ1 ËåêöèÿÏóñòü Ω = R1 èP0 = {[a, b), a ∈ R1 , b ∈ R1 , a < b} ∪ {∅}, òàê ÷òî P0 - ïîëóêîëüöî.Ïóñòü åùåP1 = {[a, b), [a, b], (a, b], (a, b), {a}, a < b} ∪ {∅},òàê ÷òî P1 - òàêæå ïîëóêîëüöî, ïðè÷åì P1 ⊃ P0 .Ìåðà νL íà P1 îïðåäåëÿåòñÿ òàê:νL ([a, b)) = νL ([a, b]) = νL ((a, b)) = νL ((a, b]) = b − a.Ñóæåíèå νL íà P0 îáîçíà÷àåòñÿ òåì æå ñèìâîëîì.

Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òîýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, òî åñòü ôóíêöèÿ νL êîíå÷íî àääèòèâíà íà P1 (à òåì ñàìûì èíà P0 ).Ò Å Î Ð Å Ì À 1. νL ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíî-àääèòèâíîé ìåðîé íà ïîëóêîëüöå P0 .Äîêàçàòåëüñòâî. Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî,åñëè [a, b) ⊂∞[∞¡¢ X¡¢[ai , bi ), òî ν [a, b) 6[ai , bi ) .i=1i=1Çàäàäèìñÿ ε > 0, òîãäà äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ε, âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óñëîâèå:∃c a < c < b :∀i∈N∃ di : di < ai < biε + ν[a, c] > ν[a, b)¡¢¡¢εè ν (di , bi ) − ν [ai , bi ) < i .2Ìû ïîëó÷èëè, ÷òî[a, c] ⊂ [a, b) ⊂∞[(di , bi )i=1Òî åñòü êîìïàêò [a, c] ïîêðûò îòêðûòûìè ìíîæåñòâàìè, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêîå n ∈ N,÷òî∞[[a, c] ⊂(di , bi ).i=111 ËåêöèÿÒàê êàê νL êîíå÷íî àääèòèâíà íà P1 , îòñþäà ñëåäóåò, ÷òînX¡¢ν([a, c]) 6ν (di , bi ) .i=1Ïîýòîìóν([a, b)) − ε 6n ³∞ ³∞XXX¡¢ ε´¡¢ ε´¡¢ν [ai , bi ) + i 6ν [ai , bi ) + i =ν [ai , bi ) + ε.22i=1i=1i=1Òàê êàê ε > 0 ïðîèçâîëüíî, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî¡ν [a, b)¢∞ ³X¡¢6ν [ai , bi ) .i=1Òåîðåìà äîêàçàíà.¤Îïðåäåëåíèå 1.

Ìåðîé Ëåáåãà íàçûâàåòñÿ (åäèíñòâåííîå) ñ÷åòíî àääèòèâíîå ïðîäîëæåíèå νL íà σ -àëãåáðó AL νL -èçìåðèìûõ ïîäìíîæåñòâ. Ýòî ïðîäîëæåíèå áóäåò òàêæåîáîçíà÷àòüñÿ òåì æå ñèìâîëîì νL .1.1 Èçìåðèìûå ôóíêöèè íà R1 .Îïðåäåëåíèå 2. Ôóíêöèÿ f : R1 → R1 ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìîé, åñëè îíà èçìåðèìà, êàêîòîáðàæåíèå:¡¢f : R1 , AL ) → (R1 , B(R1 ) ,òî åñòü ∀a ∈ R1 ìíîæåñòâî {x : f (x) < a} ∈ AL , òî åñòü èçìåðèìî ïî Ëåáåãó.Óïðàæíåíèå 1. Ïîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ èçìåðèìà.Åñëè ôóíêöèÿ f - íåïðåðûâíà, òî ìíîæåñòâî {x : f (x) < a} - îòêðûòî.

Çíà÷èò,{x : f (x) < a} ∈ B(R1 ).Òàê êàê B(R) ⊂ AL , òî {x : f (x) < a} ∈ AL .Óïðàæíåíèå 2. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ f íà R1 , èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ðèìàíó, èçìåðèìà.Äàëåå äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà A ñèìâîë γA îáîçíà÷àåò åãî èíäèêàòîð.Ïóñòü Ω - íåêîòîðîå ìíîæåñòâî. Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ íà Ω íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé, åñëè ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé êîíå÷íî. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ïðîñòûõ ôóíêöèéîáðàçóåò àëãåáðó (òî åñòü (êîíå÷íàÿ) ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ïðîñòûõ ôóíêöèé è ïðîèçâåäåíèå ïðîñòûõ ôóíêöèé - ñíîâà ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ).21 ËåêöèÿÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 1. Ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ÿâëÿåòñÿ (êîíå÷íîé) ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé èíäèêàòîðîâ êàêèõ-òî ìíîæåñòâ.Äîêàçàòåëüñòâî.Òàê êàê èíäèêàòîð (âñÿêîãî) ìíîæåñòâà - ýòî ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ, òî è èõ êîíå÷íàÿ ëèíåéíàÿêîìáèíàöèÿ - òàêæå ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè f - ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ è {a1 , a2 , .

. . , an } - ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé(òàê ÷òî ai 6= aj , åñëè i 6= j ), òîf (x) =nXaj γ{z∈Ω : f (z)= ai } (x).j=1¤Çàìå÷àíèå. Åñëè i 6= j, òî{z ∈ Ω : f (z) = aj } ∩ {z ∈ Ω : f (z) = aj } = ∅;òàêèì îáðàçîì, èç äîêàçàòåëüñòâà ïðåäëîæåíèÿ 1 âûòåêàåò, ÷òî âñÿêàÿ ïðîñòàÿ ôóíêöèÿÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé èíäèêàòîðîâ ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ.ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 2. Ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ f : Ω → R1 ÿâëÿåòñÿ ïîòî÷å÷åíûì ïðåäå-ëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn ïðîñòûõ ôóíêöèé, òî åñòü∀f : Ω → R1ïðè÷åì ∀ω ∈ Ωèçìåðèìûìè.∃ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } òàêàÿ, ÷òî ∀n fn - ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ,fn (ω) → f (ω). Åñëè f - èçìåðèìà, òî âñå fn ìîãóò áûòü âûáðàíûÄîêàçàòåëüñòâî.

Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå îòðåçêà îñè îðäèíàòîò 0 äî n íà ïîëóèíòåðâàëû äëèíû 21n .Òàêèì îáðàçîì, ÷òî ÷èñëî îòðåçêîâ ðàçáèåíèÿ ðàâíî 2n · 2n . Îïðåäåëèì ôóíêöèþ ϕk ðàâåíñòâîì:ϕk (ω) = k · 2−n · γ{w: k· 2−n 6 f (ω) < (k+1)· 2−n } .31 ËåêöèÿÏîëîæèìfn (ω) =n·2nXk=−n·ϕk (ω) + (n + 1) · γ{w:n6 f (ω)}− n · 2−n · γ{w:f (ω)< n} .2n êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî∀ω ∈ Ωfn (ω) → f (ω).¤Çàìå÷àíèå. Åñëè ∀ω ∈ Ω f (ω) > 0, òî ïîñòðîåííàÿ âûøå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn ñõîäèòñÿê f (ω) íå óáûâàÿ. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî çàìå÷àíèÿ ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Ïóñòü (Ω, A) - èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî.Çàìå÷àíèå. Íàïîìíèì, ÷òî èíäèêàòîð ìíîæåñòâà A ⊂ Ω èçìåðèì â òî÷íîñòè òîãäà,êîãäà ìíîæåñòâî A èçìåðèìî (òî åñòü êîãäà A ∈ A).Äåéñòâèòåëüíî, åñëè A ⊂ Ω è ôóíêöèÿ γA èçìåðèìà, òî ìíîæåñòâî A èçìåðèìî, òàêêàê¡ ¢A = f −1 {1} .Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ìíîæåñòâî A èçìåðèìî, ÷òî∅,1∀c ∈ R , {ω ∈ Ω : f (w) < c} = Ω\A,Ω,ôóíêöèÿ γA èçìåðèìà, òàê êàê:åñëè c 6 0;åñëè 0 < c 6 1;åñëè c > 1,ïðè÷åì ìíîæåñòâà A è Ω\A èçìåðèìû èëè íåò îäíîâðåìåííî.ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 3.

Ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ f èçìåðèìà â òî÷íîñòè òîãäà, êîãäà îíà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé èíäèêàòîðîâ ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ.Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, èç ïîñëåäíåãî çàìå÷àíèÿ ñëåäóåò, ÷òî èíäèêàòîðû èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ, à ñëåäîâàòåëüíî, è èõ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè èçìåðèìû.Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç ïåðâîãî çàìå÷àíèÿ ê ïðåäëîæåíèþ 2, òàê êàê ìíîæåñòâà{z ∈ Ω : f (z) = ai } = f −1 ({ai }),î êîòîðûõ ãîâîðèòñÿ â ýòîì çàìå÷àíèè, èçìåðèìû.¤Çàìå÷àíèå. Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ÍÅâåðíî:åñëè Ω =mFn=1Ωn è ôóíêöèÿ f, îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì:f (ω) =mXλj · γΩj (ω) - èçìåðèìà,j=1òî âñå fk (ω) - èçìåðèìû.41 ËåêöèÿÄîêàçàòåëüñòâî.

Ïðèâåäåì òàêîé êîíòðïðèìåð:Ïóñòü Ω = Ω1 t Ω2 , òîãäà f (ω) ≡ 1 = γΩ1 (ω) + γΩ2 (ω),íî ôóíêöèè γΩ1 è γΩ2 íå áóäóò èçìåðèìû, åñëè îäíî èç ìíîæåñòâ Ω1 , Ω2 (êîíå÷íî, òîãäàè äðóãîå) íåèçìåðèìî.¤1.2 Èíòåãðàë Ëåáåãà.Âñþäó äàëåå (Ω, A, ν) - ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîé.Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü f - ïðîñòàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, òàê ÷òîf (ω) =nXλi · γΩi (ω),i=1nGΩj = Ω,λj > 0,Ωj ∈ A.j=1R Èíòåãðàë RËåáåãà îò ôóíêöèè f ïî ìíîæåñòâó Ω, îáîçíà÷àåìûé îäíèì èç ñèìâîëîâf (ω)ν(dω), f (ω) dν, îïðåäåëÿåòñÿ òàê:ΩΩZZdeff (ω)ν( dω) =Ωf (ω) dν =nXλi · ν{ω : f (ω) = λi } =nXi=1Ωλi · ν(Ωi ).i=1Ïðîâåðèì êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ, òî åñòü íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà îò âûáîðà ñåìåéñòâà (èçìåðèìûõ) ìíîæåñòâ Ωj , äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:f (ω) =nXλi γΩi (ω).i=1Ïóñòü(1)f (ω) =nXaj γAj (ω)(2)èf (ω) =j=1íàì íóæíî ïîêàçàòü, ÷òîÏîëîæèì Cjk = AjTmXbk γBk (ω);k=1nXaj ν(Aj ) =mXi=1bk ν(Bk ).k=1Bk , òîãäà(3)f (ω) =Xcjk · γCjk (ω),ãäå cjk = bk = aj ,j,kòàê êàê, åñëè ω ∈ Aj ∩ Bk , òî îäíîâðåìåííî f (ω) = bk = aj .Ïîýòîìó, ñ îäíîé ñòîðîíû,Xj,kcjk ν(Aj ∩ Bk ) =n XmXcjk ν(Aj ∩ Bk ) =i=1 k=1n XmXi=1 k=15aj ν(Aj ∩ Bk ) =nXj=1aj ν(Aj );1 ËåêöèÿÑ äðóãîé ñòîðîíû,Xcjk ν(Aj ∩ Bk ) =m XnXj,kòàê ÷òîcjk ν(Aj ∩ Bk ) =k=1 i=1nPaj ν(Aj ) =i=1mPm XnXbk ν(Aj ∩ Bk ) =k=1 i=1mXbk (Bk ),k=1bk ν(Bk ).k=1Îïðåäåëåíèå 4.

Ïóñòü f - íåîòðèöàòåëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ è fn - íåóáûâàþùàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ ïðîñòûõ ôóíêöèé, ïðè÷åì ∀ωf (ω) = lim fn (ω)(â ýòîì ñëó÷àå ìû ïèøåì fn (ω) % f (ω)). ÒîãäàZZZdeff (ω)ν( dω) = f (ω) dν = limfn (ω)ν( dω).n→∞n→∞ΩÎïðåäåëåíèå 5. ÅñëèΩZΩZ³f (ω) ν(dω) = limn→∞Ω´fn (ω)ν( dω) < ∞,Ωòî ôóíêöèÿ fn íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé (ñóììèðóåìîé) ïî Ëåáåãó íà ìíîæåñòâå Ω .Îïðåäåëåíèå 6. Ëþáóþ ôóíêöèþ f (ω) : Ω → R ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàçíîñòèäâóõ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé:f (ω) = f + (ω) − f − (ω), ãäå((f (ω), åñëè f (ω) > 00,åñëè f (ω) > 0+−f (ω) =è f (ω) =0,åñëè f (ω) 6 0−f (ω), åñëè f (ω) < 0∀ωÎïðåäåëåíèå 7.

Ãîâîðèì, ÷òî f - èíòåãðèðóåìà, åñëè èíòåãðèðóåìû f + è f − è ïî îïðå-äåëåíèþZZdeff (ω) dν =ΩZ+f − (ω) dν.f (ω) dν −ΩΩÅñëè èíòåãðèðóåìà òîëüêî îäíà èç ôóíêöèé f + , f − , òî f - íåèíòåãðèðóåìà, íîRf (ω) dνΩîïðåäåëåí è ðàâåí +∞(−∞) (òàêèå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ êâàçèèíòåãðèðóåìûìè).

Åñëèîáå ôóíêöèè f + , f − íåèíòåãðèðóåìû, òî f - íåèíòåãðèðóåìà.Óïðàæíåíèå 3. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè f (ω) - èçìåðèìà, òî f + (ω) è f − (ω) - èçìåðèìû.Óïðàæíåíèå 4. Åñëè ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà îòðåçêå [0,1] òî îíà èíòåãðè-ðóåìà ïî Ëåáåãó è èíòåãðàëû ñîâïàäàþò.Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî îïðåäåëåíèå 4 êîððåêòíî (òî åñòü, ÷òî çíà÷åíèå èíòåãðàëà íå çàâèñèò îò âûáîðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn )).62 ËåêöèÿÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 4.